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文档简介

2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程,自 学 导 引 (学生用书P47),1.理解并掌握抛物线的定义标准方程. 2.能根据有关条件利用待定系数法求抛物线的方程.,课 前 热 身 (学生用书P47),1.抛物线定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做_.定点F叫做抛物线的_,定直线l叫做抛物线的_.,抛物线,焦点,准线,2.抛物线的标准方程的特点:,名 师 讲 解 (学生用书P47),1.抛物线的定义及其标准方程 (1)抛物线定义中的定点F不在定直线l上,否则动点的轨迹不是抛物线,而是过定点F与l垂直的一条直线. (2)抛物线的定义中,指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性,故二者可以相互转化. (3)在抛物线标准方程y2=2px(p0)中,参数p的几何意义是:焦点到准线的距离.焦点到顶点的距离等于顶点到准线的距离都等于,(4)焦点在x轴上的抛物线方程可统一为y2=ax(a0),焦点在y轴上的抛物线可统一为x2=ay(a0).,典 例 剖 析 (学生用书P47),题型一 利用抛物线的定义求方程 例1:若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x 答案:A,解析:如图所示,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设可知定圆圆心为C(2,0),半径r=1.两圆外切,|MC|=R+1.又动圆M与已知直线x+1=0相切,圆心M到直线x+1=0的距离d=R,|MC|=d+1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x+2=0的距离.由抛物线的定义可知点M的轨迹为以C为焦点,x+2=0为准线的抛物线,其方程为y2=8x.故正确答案为A.,变式训练1:动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线一支 D.抛物线 解析:将直线x=-2向左平移一个单位,由已知可得动点P到点(3,0)的距离等于到直线x=-3的距离. 答案:D,题型二 求抛物线的标准方程 例2:求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上; (3)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 分析:首先需确定使用哪种标准方程形式,若无法确定,则应讨论,然后由条件求p的值.,(2)令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2, 当抛物线的焦点为F(0,-2)时, 设抛物线方程为x2=-2py(p0), 则由 =2得p=4, 所求抛物线方程为x2=-8y. 令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4, 当抛物线的焦点为F(4,0)时, 设抛物线方程为y2=2px(p0), 则由 =4得p=8, 所求抛物线方程为y2=16x. 综上,所求抛物线方程为x2=-8y或y2=16x.,(3)焦点到准线的距离为 p= 所求抛物线方程为: y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y. 规律技巧:(1)抛物线的标准方程有四种形状,主要看其焦点的位置和开口方向.(2)不知道焦点的具体位置时,标准方程有两种一般形式:y2=mx(m0)或x2=ny(n0).,变式训练2:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,-4); (2)焦点在直线x+3y+15=0上.,解:(1)点(3,-4)在第四象限,设抛物线标准方程为y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10). 把点(3,-4)的坐标分别代入 y2=2px和x2=-2p1y, 得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15. 抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). 故所求的抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x.,题型三 与抛物线有关的最值问题 例3:已知抛物线x2=4y,点P是抛物线上的动点,点A的坐标为(12,6).求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值.,分析:由定义知,抛物线上的点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离d,求|PA|与点P到x轴的距离之和的最小值,转化成求|PA|+d- 的最小值.,解:如下图,易判断知点A在抛物线外侧,设P(x,y),则P到x轴的距离即y值,设P到准线y=-1的距离为d,则y=d-1.,故|PA|+y=|PA|+d-1,由抛物线定义知|PF|=d. 于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1. 由图可知,当APF三点共线时,|PA|+|PF|取最小值为13.故所求距离之和的最小值为|FA|-1=12.,规律技巧:定义是解决问题的基础和灵魂,要善于思考定义和应用定义,本题如果设P点坐标为(x,y),利用两点间距离公式求解,无法得到答案.由抛物线定义可知,|PF|等于P点到准线的距离,当PAF三点共线时,|PA|+|PF|的距离最小,这体现了数学中的转化思想.,变式训练3:(2008辽宁高考)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ),解析:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知,P点,(0,2)点和抛物线的焦点(,0)三点共线时距离之和最小.,答案:A,题型四 抛物线的应用,例4:一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如下图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.,分析:要求拱宽a的最小值,需建立适当的坐标系,写出抛物线方程,然后利用方程求解.,规律技巧:这是抛物线的应用问题.解题时,可画出示意图,帮助理解题意,转化为数学问题,作出解答.,变式训练4:某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m, 高2 m,载货后木船露在水面上的部分高为 m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?,答:水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.,技 能 演 练 (学生用书P49),基础强化,1.到定点(3,5)与定直线2x+3y-21=0的距离相等的点的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.线段 D.直线 解析:因为定点(3,5)在直线上,所以点的轨迹是直线. 答案:D,2.抛物线y2=8x的准线方程是( ) A.x=-2 B.x=-4 C.y=-2 D.y=-4 答案:A,解析:y2=8x=24x,p=4,准线方程为,答案:B,解析:x2=ay的准线方程为 ,a=-8.,答案:C,答案:B,6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点,且过点P(2,4),则该抛物线的方程为_.,y2=8x,解析:设抛物线方程为y2=ax,又抛物线过点P(2,4),则16=2a,a=8, y2=8x.,7.(2008上海,6)若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a=_.,-1,解析:由y2=4x得焦点F(1,0),代入直线方程得a+1=0.a=-1.,8.(2009海南宁夏卷)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两点,若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为_.,y2=4x,解析:设抛物线方程为y2=ax(a0), 由方程组 得交点坐标为A(0,0),B(a,a),而点P(2,2)为AB的中点,从而a=4. 故所求抛物线方程为y2=4x.,能力提升,9.已知抛物线的焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值,抛物线标准方程和准线方程.,10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60 cm,灯深为40 cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.,解:如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.,设抛物线的标准方程是y2=2px(p0). 由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程,得302=2p40,即 所求的抛物线标准方程为 ,焦点,品味高

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