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15.4 两个自由度体系的自由振动,很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算，如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸的结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。,一、振动微分方程的建立 及自振频率和主振型计算,柔度法、刚度法,1、柔度法,建立振动微分方程：（建立位移协调方程） m1、m2的位移y1(t)、 y2(t)应等于体系在当时惯性力,作用下所产生的静力位移。,（15-40）柔度法建立的振动微分方程,频率方程：为一关于的二 次方程。解出的两个根：,振型方程：其中：=1/2 Y1 ，Y2不能全为零。,求得频率：,频率方程和自振频率：,设各质点按相同频率和初相角作简谐振动,Y1 ，Y2是质点位移幅值,体系频率的数目总等于其自由度数目,主振型(normal mode shape),不能有振型方程求出Y1 ，Y2的解，只能求出它们的比值。,第一主振型,第二 主振型,频率的数目总等于其自由度数目,主振型是体系由此主振型惯性力幅值,所引起的静力位移。,例176 求简支梁的自振 频率和主振型。,解：1）求柔度系数,求得频率：,求得主振型：,例176 求简支梁的自振 频率和主振型。,另解：如果结构本身和质 量分布都是对称的，则主 振型不是对称就是反对称。 故可取半边结构计算 ：,对称情况：,反对称情况：,例：求图示体系对称振动情况下的频率。,2,1,0.5,1,1,0.875,0.25,Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。,本题结束,验证正交性,2、刚度法：（建立力的平衡方程） 两个自由度的体系,r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,质点动平衡方程:,即:,设:,特点:1)两质点具有相同的频率和相同的相位角. 2)两质点的位移在数值上随时间变化,但两者的比值始终保 持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数.,结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型.,乘 y1(t),乘 y2(t),r1=k11y1+k12y2 r2=k21y1+k22y2,kij表示使j点产生单位位移(其它点位移=0)时,在i点需施加的力(称为刚度系数).,振型计算公式,频率计算公式,频率方程,振型方程,为了得到Y1、Y2的非零解， 应使系数行列式=0,展开是2的二次方程，解得2 两个根为：,可以证明这两个根都是正根。,与2相应的第二振型：,因为D=0，两个振型方程式线性相关的，不能求出振幅的值， 只能求出其比值 求与1相应的第一振型：,2 的两个根均为实根；,矩阵k为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主 子式全部大于零。,故矩阵k为正定矩阵。,k11k22-k12k210,2 的两个根均为正根；,与2相应的第二振型：,求与1相应的第一振型：,多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始位移和 初始速度应当与此主振型相对应。,几点注意：（P26） 12必具有相反的符号。 多自由度体系自振频率的个数= 其自由度数，自振频率由特征方程求出。 每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。 自振频率和主振型是体系本身的固有特性。,一般解：,在这种特定的初始条件下出现的 振动，在数学上称为微分方程组的特解，其线性组合即一般解。, 0, 0,例17-4：,质量集中在楼层上m1、m2 ，,层间侧移刚度为k1、k2,k21,k11,解：求刚度系数：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22,k12,k22=k2 , k12=k2,1)当m1=m2=m,k1=k2=k,代入频率方程：,求振型：,1第一主振型：,Y21=1.618,Y11=1,第一主振型,2第二主振型：,Y22=0.618,Y11=1,第二主振型,2)当m1=nm2 , k1=nk2 k11=（1+n）k2，k12=k2,求频率：,求振型：,如n=90时,当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。 （鞭梢效应）,第一振型：,第二振型：,特征方程：,y1,yi,yn,ri,动平衡方程：,ri,ri 应满足刚度方程,kij是结构的刚度系数，使点j产生单位位移（其它点位移为零） 时在点i所需施加的力。,*15.6 一般多自由度的体系的自由振动,或：,设解为： y=Ysin(t+),得振幅方程： ( K2 M )Y=0,得频率方程： K2 M0,可求出个频率,与相应的主振型向量由 ( K2 M )Y（）=0 不过只能确定主振型的形状，而不能唯一地确定它的振幅。 标准化主振型：令Y1i=1，或最大元素=1等。,例17-5：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。,解：1）求刚度系数：,k,k33=k/5,刚度矩阵K和质量矩阵M：,展开得：234222252250 解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027,2）求频率：代入频率方程： K2 M0,3）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后两式： （令Y3i=1）,（a）,Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。,利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：,由刚度法振幅方程： ( K2 M )Y=0 前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0 令=1/2 ( M I )Y=0 得频率方程： M I =0 其展开式:,是关于的n次代 数方程,先求出i 再求出频率i,将i代入 ( M i I )Y(i)=0 可求出n个主振型.,可见刚度法、柔度法实质上是相同的，可以互相导出。当 计算体系的柔度系数方便时用柔度法（如梁）；当计算体系的 刚度系数方便时用刚度法（如横梁刚度为无穷大的多层刚架）。,例17-5：,质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。=1/k,11=,解：1）求柔度系数：,k,柔度矩阵和质量矩阵M：,21,31,32=4,22=4,13=,23=4,33=9,12=,展开得:,解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151,三个频率为：,3）求主振型： （令Y3i=1）将1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前两式：,2）求频率：,解得：,同理可得第二、 第三振型,主振型的位移幅值恰好 为相应惯性力幅值产生 的静力位移。,对这两种静力平衡状态 应用功的互等定理：,因为：12,主振型之间的 第一正交关系,一般说来，设ij 相应的振型分别为：y（i）， y（j）,由振幅方程： ( K2 M )Y=0,得： K Y=2 M Y,K Y（i）=2 M Y（i）,Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i） （a）,K Y（j）=2 M Y（j）,Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j） （b）,主振型的正交性(orthogonality of normal modes),Y（j）T,KT,Y（i）,=2jY（j）T,MT,Y（i）,Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i） （a）,Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j） （b）,（c）=,（b）转置,（a）（c）,第一正交关系：相对于质量矩阵(mass matrix)M来说，不 同频率相应的主振型彼此是正交的;,第二正交关系：相对于刚度矩阵(stiffness matrix)K来说， 不同频率相应的主振型彼此是正交的;,如同一主振型,定义：,所以：,由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。,注：主振型的正交性是体系本身的固有特性，与外荷载无关。 利用正交性来检查主振型是否正确、来判断主振型的形 状特征。,用Y（j）TM前乘,位移按主振型分解,可将n个耦联运动方程化成 n 个独立的一元方程求解,主振型正交性的物理意义：体系按某一主振型振动时， 在振动过程中，其惯性力不会在其它振型上作功。因此 它的能量便不会转移到别的振型上去，从而激起其它振 型的振动。即各主振型可以单独出现。,利用正交关系确定位移展开公式中的系数。,例：图示体系的刚度矩阵K和质量矩阵M为：,解：（1）演算第一正交性。,三个主振型分别如下，演算正交性。,（2）演算第二正交性。,同理：,同理：,返回,1、柔度法（忽略阻尼） 因为在简谐荷载作用下， 荷载频率在共振区之外，阻尼 影响很小；在共振区之内时， 计不计阻尼，虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。,（2）动位移的解答及讨论 通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动， 由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振 动是平稳阶段的纯强迫振动。,15.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动,（1）建立振动微分方程,各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法,n各自由度体系，存在n个可能的共振点,设纯强迫振动解答为：,代入：,（3）动内力幅值的计算,荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最 大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为 静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠 加公式求：,由Y1 ，Y2值可求得位移和惯性力。,惯性力的幅值为：,代入位移幅值方程,可得求惯性力幅值的方程 （直接求惯性力幅值）,例：图示简支梁EI=常数,=0.751求动位移幅值和动弯矩幅值。,解：1)求柔度系数,2)作MP图，求1P 2P,5)计算动内力,1.4119P,0.2689P,0.8740P,Qd 图,0.3530Pl,0.2180Pl,Md 图,6)比较动力系数,因此，多自由度体系没有统一的动力系数。,2、刚度法,在平稳阶段,各质点也作简谐振动:,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,求得位移幅值Y1、Y2 ,计算惯性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力计算方法求得动内力幅值。,求图示刚架楼面处的侧移幅值，惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值。,解：1）求刚度系数,2)求位移 幅值,3)求惯性力幅值,位移幅值,0.9P,0.9P,A,例17-9：,质量集中在楼层上m1、m2 ，,层间侧移刚度为k1、k2,解：荷载幅值：P1=P，P2=0 ，求刚度系数：,k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2,当m1=m2=m,k1=k2=k,两个质点的 位移动力系 数不同。,当,趋于无穷大。 可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。 也有例外情况。,如图示对称结构在 对称荷载作用下。,与2相应的振型是,=1,当=2 ，D0=0 ，也有：,不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。,对称体系在对称荷载作用下时， 只有当荷载频率与对称主振型的自 振频率相等时才发生共振；当荷载 频率与反对称主振型的自振频率相 等时不会发生共振。同理可知：对 称体系在反对称荷载作用下时，只 有当荷载频率与反对称主振型的自 振频率相等时才发生共振。,yst1,yst2=P/k,荷载幅值产生的静位移和静内力,yst1= yst2=P/k,层间剪力: Qst1= P,动荷载产生的位移幅值和内力幅值,由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。,层间动剪力:,这说明在图a结构上，,适当加以m2、k2系统,可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。,吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才 有必要设置。,例：如图示梁中点放一点动机。重2500N，电动机使梁中点 产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN 问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm),解：1）,频率比在共振区之 内应设置吸振器。,2）,对于n个自由度体系强迫振动方程,如果荷载时简谐荷载,则在平稳阶段,各 质点作简谐振动.,振幅方程:,如系数矩阵的行列式,可解得振幅Y,如系数矩阵的行列式D0=0(=i),解得振幅Y=无穷大,对于具有n个自由度的体系,在n种情况下都可能出现共振.,例:质量集中在楼层上，,层间侧移刚度如图。F(t)=100sin20.96t,解：1、求刚度系数：,刚度矩阵K和质量矩阵M：,负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值.,2、各层柱的剪力幅值,3、各层柱的剪力幅值,各楼层的惯性力幅值：,负号表示干扰力向右达到幅值时，位移向左达到幅值.,Q3=89.187kN,Q2=89.187 26.045+100= 15.232kN,Q1=89.187 26.045 19.751 +100= 34.983kN,另外,剪力也可又侧移刚度来求:,kN/mm,惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。,用Y（j）TM前乘,正则坐标i是将实际位移按主振型分解时的系数。,（1）正则坐标,任意一个位移向量y都可按主振型展开：,第一正交关系：,第二正交关系：,如同一主振型,定义：,所以：,由广义刚度和广义质量求频率的公式。 是单自由度体系频率公式的推广。,*15.7 多自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动振型分解法,（2）主振型矩阵,它的转置,主振型的正交性,广义质量矩阵是 对角矩阵。,同样广义刚度矩阵 是对角矩阵。,主振型矩阵的性质：当M、K为非对角矩阵时，如果前乘以 YT、后乘以Y，这可以使它们转换为对角矩阵M*、K*。利用 主振型的这一性质，可将多自由度体系的振动方程变为简单形式。,（3）振型分解法,进行正则坐标变换， 使方程组解耦。,任何弹性体系都属于无限自由度体系。常简化为有限自 由度体系，得出近似结构，以解决实际问题。 按无限自由度体系进行分析可以了解近似算法的应用范围和 精确程度。另外对某类结构（如等截面直杆）也有其方便之处。,在无限自由度体系的动力计算中，各质点的动力位移（内 力）将是截面位置坐标x、时间t两个独立变量的函数。其运动 方程是偏微分方程。,挠曲线微分方程,自由振动时梁上荷载只有惯性力：,等截面梁弯曲时的自 由振动微分方程即为：,设,曲线形状,振动曲线的形状不变，只是幅度在变。,或：,=2,15-8 无限自由度体系的自由振动,（a）式的通解:,的解为：,为了求的频率和振 幅，研究（b）的解。,由边界条件写出含C1C4 的四个奇次方程。为了求得非零解， 要求方程的系数行列式为零。得到确定的特征方程，求出,再 求频率n（n=1，2，），对于每一个频率，可求出C1C4的 一组比值，得到相应的主振型Yn（x），是微分方程（17-77）的一 个特解。全解为各特解的线性组合：,其中待定常数an和n应由初始条件确定。,(不振),例15-19试求等截面简支梁的自振频率和主振型。,左端 x=0 弯矩=0，位移=0,C1+C3=0 C1C3=0,C1=C3=0,解：,左端 x=l 弯矩=0，位移=0,系数行列 式等于零,动态振性,1、能量法求第一频率Rayleigh法,此外，根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位 置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变 能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度 为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： Umax=Tmax,求Umax ，Tmax,求频率,如梁上还有中质量mi,Yi是集中质量mi处的位移幅值,位移幅值,.,15-9 近似法求自振频率,振动过程,根据能量守恒和转化定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应变能U之和应等于常数。,设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：,1、必须满足运动边界条件: （铰支端：Y=0；固定端： Y=0，Y=0）,尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的n的准确解。但主振型通常是未知 的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于 假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh 法主要用于求1的近似解。 3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现 的变形形式。曲率小，拐点少。 3、通常可取结构在某个静荷载q（x） （如自重）作用下的弹 性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷 载q（x）所作的功来代替，即,2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x).,例15-20 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线，,满足边条且与 第一振型相近,3）假设.,正是第一振型的精确解。,精 确 解,例15-21 求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为，高 度h=h0x/l。,解：,设位移形状函数,满足：,Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原 因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，就是迫使梁 按照这种假设的形状振动，这就相当于给梁加上了某种 约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越 接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的 频率越接近于真实，即偏高量越小。,1、假设多个近似振型,都满足前述两个条件。,2、将它们线性组合,3、确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的 Y（x）代入（17-85）得到的2 的值虽仍比精确解偏高，但对 所有的a1，a2，an的可能组合，确实获得了最小的2值。,当所选的a1，a2，an使,2 获得最小的值的条件是,这是以a1，a2，an为未知量的n个奇次线性代数方程。零其 系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低 n 阶 频率来。阶次越低往往越准。,为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假 设振型对体系所附加的约束， Ritz提出的改进方法：,例17-14 用RayleighRitz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。,