微分中值定理与导数应用小结.ppt

Chapter 4(5),微分中值定理与导数应用小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,主要内容,1. Rolle定理,推论:,一、中值定理,2. Lagrange 中值定理,称为有限增量定理.,推论,3. Cauchy中值定理,4.Taylor中值定理,常用函数的麦克劳林公式,二、LHospital法则,LHospital法则 I：,LHospital法则 II:,三、导数应用,1. 函数单调性的判定法,设 f (x) 在区间 I上可导.,2. 函数的极值及其求法,定义:,极大值和极小值统称为极值,取得极值的点称为极值点.,导数为0的点称为函数的驻点.,极值存在的必要条件,注意：导数不存在的点也可能是极值点!,极值存在的第一充分条件,极值存在的第二充分条件,注意:,(1) 使二阶导数不为0的点一定是极值点.,求极值的步骤,(2) 求出驻点和不可导点.,(3) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点.,(4) 求出极值点处的函数值即得全部极值.,步骤:,(1)求驻点和不可导点;,(2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值.,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),3. 最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,4.曲线的凹凸与拐点,定义:,设 f (x)在 I内连续,则 f (x)在 I上图形为向上凹的.,则 f (x)在 I上图形为向上凸的.,判别法：,拐点存在的必要条件,一、内容小结,1. 中值定理,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,2. LHospital法则,3. 导数的应用,函数单调性判别法,函数极值与判别法,函数图形凹凸性判别法,函数图形拐点的求法,函数图形渐近线的求法,4. 弧微分及计算,1. 水平渐近线,则 y=A 是曲线 y = f(x) 的水平渐近线.,2. 铅直渐近线,则 x=a 是曲线 y = f(x) 的铅直渐近线.,3. 斜渐近线,则 y=kx+b 是曲线 y=f(x) 的斜渐近线.,由此可得,主要题型举例,1.证明等式或讨论根的存在性,2.证明不等式,3. LHospital法则的应用,4. 单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法,5. 应用问题的最值,6. 作图,1.证明等式或讨论根的存在性,Example 1.,Proof.,由Rolle定理，得,Example 2.,分析：,Proof.,由Rolle定理得:,证明在 (a , b) 内方程,Example 3.,若 a b 0,分析:,Proof.,设 0ab,显然, f(x),g(x)满足Cauchy中值定理的条件.,由Cauchy中值定理,Proof.,由介值定理,Example 4.,(1),(2),注意到,由(1), (2)得,(3),(4),(3)+(4),得,2.证明不等式,Example 5.,Proof.,利用Lagrange中值定理证明不等式时,由Lagrange中值定理, 则,注意:,Example 6.,Proof.,Example 7.,设函数f(x)在0,1上具有三阶连续导数, 且,Proof.,由 f(x)在0,1上具有三阶连续导数,且,从而,两式相减得，,Example 8.,Proof.,当 x=0 时, 等号成立.,所以 f(x) 单调递增.,从而,Example 9.,Proof.,所以 f(x) 单调递增.,Example 10.,Proof.,3. LHospital法则的应用,Example 11.,Solution.,Example 12.,Solution.,Example 13.,Solution.,Example 14.,问 f (x)在 x=0处是否连续可导?,Solution.,故 f (x)在 x=0处连续.,故 f (x)在 x=0处可导.,4. 单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法,Example 15.,Solution.,列表讨论如下:,Example 16.,Proof.,所以 G(x) 单调递增.,所以 F(x) 单调递增.,Example 17.,Solution.,列表讨论如下:,极大,极小,Example 18.,Solution.,拐点,拐点,Example 19.,Solution.,Example 20.,Solution.,5. 应用问题的最值,Example 21. 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去 同样大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截去 多大的小方块，才使