微积分课件与习题函数.ppt

,第二节 函数的极限,当 x 1时,定义4 设 f (x)在点 x0 的某空心邻域内有定义,A 为常数.,若 x 无限接近 x0时, f (x)的值,无限接近A,则称A为 f (x)在x x0时的极限.,记为,或 f (x) A (x x0),定义4 设 f (x)在点 x0 的某空心邻域内有定义,A 为常数., 0, 若 0,则称A为 f (x)在x x0 时的极限.,当 0 | x x0 | 时, 恒有,| f (x) A | ,记为,或 f (x) A (x x0),对于任意给定的不论多么小的正数 , 作两直线 y = A+ 和 y = A ,总有一个x0的,图形落在这两条直线之间.,空心邻域,在该邻域内 y = f (x)的,x,y,0,A+,A,x0 ,x0,x0 +,y = f (x),A,讨论 f (x)在 x0处的极限, 就是研究当 x x0 时 f (x)的变化趋势, 这种变化趋势与 f (x)在x0处是否有定义无关.,注:,例如,1,0,1,y,x,0,y,x,0,y,x,1,2,例1.,证:,所以, 对于 0,只要取 = ,于是, 当 0 | x 1 | 时, 恒有,例2.,证: 由于 |3x12 | = 3 | x1 |,所以, 对于 0, 欲使 |3x12 | ,于是, 当 0 | x 1 | 时, 恒有,|3x12 | ,例3.,证: 由 |sinxsin x0|,所以, 对于 0, 欲使 |sinxsin x0| | x x0 | ,于是, 当 0 | x x0 | 时,只要取 = ,恒有 |sinxsin | 成立.,练 习,定义5. 如果 x 从 x0 的左侧趋向于x0 (记作x )时,函数 f (x)与常数 A无限接近,则称 A 为 f (x)在x x0时的左极限.,定义5 设 f (x) 在(x0, b)内有定义, A为常数., 0, 若 0,当 x0 x x0+ 时,恒有,| f (x) A| ,则称 A 为 f (x)在x x0时的左极限.,类似地,f (x)在x x0时的右极限:,显然,双侧 x x0, x .,定 理,双侧极限存在的充要条件是相应的两个单侧极限存在且相等.,例4.,解:,例5.,证 :,例6.,证 :,1),2),练 习,答案:,3) P42, 对数列和函数的极限综述:,4) P43 例8, 例9,5),6),第三节 无穷小量与无穷大量,1. 定义: 以零为极限的变量称为无穷小量(简称无穷小),例如, 函数 2x4是当 x2时的无穷小量.,1 不要将无穷小与很小的数混淆.,2 常数0可视作任何趋向下的无穷小.,注:,2. 性质:,1) 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,2) 有界函数与无穷小之积是无穷小.,3) 有限个无穷小之积仍是无穷小.,例1.,解:,注:,但原式随n项数无限增多, 因此在求极限过程中不是有限项的和, 故不能用无穷小的性质1.,定 理,3. 函数极限与无穷小量的关系:,证 : 必要性.,则 0, 0,使当 0 |x x0| 时, 有,| f (x) A |,令 = f (x) A , 则 | | ,充分性.,则 0, 0, 使当 0 |x x0| 时, 有,| | ,即 | f (x) A | ,于是 | f (x) A| = | |,其中A为常数,二、无穷大量,其特点: 在自变量的给定趋向下, 函数的绝对值无限增大.,1. 定义: 在自变量的一定趋向下(x x0或 x), 若 |f (x)|无限增大,则称 f (x)为该趋向下,的无穷大量, 简称无穷大.,例如,正无穷大量:,负无穷大量:,1 不要将无穷大量与很大的数混淆.,无穷大量是变量, 很大的数的极限是它本身, 并非无穷大.,注:,比如, f (x) = xsinx 在(, +)内是无界的, 但它不是无穷大量(因在x的过程中, 当 xn= 2n 时, f (xn) = 0).,定 理: 在自变量的一定趋向下,2. 无穷大和无穷小的关系,1) 如果 f (x)是无穷大量,2) 如果 f (x)是无穷小量且 f (x)0,3. 无穷大量性质:,1) 无穷大量与有界量的和仍为无穷大量.,2) 有限个无穷大量的积仍为无穷大量.,3) 两个正无穷