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Gauss 整数环的主理想及其商环研究整数环的主理想及其商环研究 王小娟 (孝感学院数学系 031114328) 摘要摘要:本文给出了 Gauss 整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献1 中提出的一个猜想: Gauss 整数环的商环 () Z i nmi+ 元素个数是 22 mn+. 关键词关键词:Gauss 整数环;商环;素元;主理想;单位 Research the Principal Ideal and Quotient Ring of Gaussian Integral Domain Wang xiao-juan (Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328) Abstract:This paper gives some proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.1 with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is 22 mn+. Key words: Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit. 1 1 介绍介绍 在文献1中,提出两个猜想 :(1) Gauss 整数环的商环 () Z i nmi+ 元素个数是 22 mn+;(2) 对于 () Z i ni+ ,显然1,2ii+为素元,问ni+形式的素元是否为无穷多. 文献1证明了:对0m = (或0n =)以及1m =但n任意(或1n =但m 任意)的情 形有 () Z i nmi+ 的元素个数恰为 22 mn+ .近期有关 Gauss 整数环的商环 () Z i nmi+ 所含 元素的个数, 文献1 2都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即 () Z i nmi+ = 22 mn+ 其中()nmi+表示由nmi+所生成的主理想.本文以一种新的初等的方 法明确了 () Z i nmi+ 的元素个数就是 22 mn+ ,为了解决上述两个猜想,首先给出 Gauss 整数环的一些相关定义. 我们用 X 表示集合X的元素个数，nmi+的范数 用 22 ()N nmimn+=+来表示，表示 Gauss 整数环中的元素的共轭. 下面给出 Gauss 整数环的一些相关定义： 设Z 表示整数环，i表示虚数单位，则高斯整数环 Z i是指一切形如abi+ ( 2 ,1a bZ i= )的复数关于数的普通加法与乘法作成的环, 高斯整数环中的元 素称为高斯整数.因此我们有以下定义： 定义1 设Z表示整数环,则环 |,Z iabia bZ=+称为Gauss整数环. 定义 2 若环R 的非空子集I满足下面条件: （1）I是一个子加群； （2） 对任意aI, rR ,元素,ar ra都在I中. 此时我们称I是环R 的一个理想. 定义 3 我们称环(R/I,+,.)为环R关于理想I的商环,其中 R/I,=a+ I,aR (a+I)+(b+ I )=()ab+ I (a+I).(b+I )=abI+ 定义 4 设H = ()nmi+= ()()|,xyi nmix yZ+为 Z i的一个主理想. 2 2 性质性质 Gauss 整数环有下列显然的基本性质: 命题 1 Z i的单位(可逆元)是1, 1, , ii. 证明 设 xyiZ i+， xyi+可逆，其逆元为 abiZ i+，则 ()()1xyi abi+= 两边取模并平方，得到 2222 ()()1xyab+= 由于 22 ()xyZ+， 22 ()abZ+，故 22 1xy+= ，于是 1 0 x y = = ，或 1 0 x y = = ，或 0 1 x y = = ，或 0 1 x y = = 即 Z i的单位(可逆元)是1, 1, , ii. 命题 2 Z i是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环 证明 见文献3中. 命题 3 4 Z i 中的素元当且仅当是不可约元。 证明 设为 Z i 中的不可约元，并有 （, Z i ），由命题 2 知： Z i ，使得( , )( ) = 令 1212 , Z i = ,因为是 Zi的不可 约元，故 1, 中必有一个是单位。 若 1 是单位，则 11 121 ,() = 即 若是单位，由( ) ( ,) = 故可设 3434 , Z i =+ ，于是 11 24 1 =+ 则 11 24 =+ ，由 于|及|，所以|,因此是 Z i 中的素元。 反之，设是 zi的素元，若 = ,则有|或|,不妨设|，可设 = Z i ,故 () = ，由 Z i 是无零因子环，所以有 1= ，即得 是单位，故是不可约的。 命题 4 4 设 Z i ，如果 ( )N 是 z 中的素数，则是 Zi的素元；若 是 Zi中的素元则也是 Z i中的素元。 证明 设 abiZ i=+ ,由 22 ( )Nab=+ 是 Zi中的素数，若是 Zi 中的可约元，可设 1212 , = 均不是 Zi中的单位，由 1212 ( )()(),(),()NNNNN= 均不为 1，与 ( )N 是 Zi中的素数矛盾，所以 是 Zi中的不可约元， 由命题 3 知是 zi中的素元。 设 12121212 ()()bb ibb icc i dd i=+=+=+ ，则 12121212 ()()()()cc i dd icc i dd i=+= 由可约可知可约，因此是 Zi中的素元，则也是。 命题命题 4 5 设是 Zi中的素数且 1(mod4)p ,当且仅当 P 中 Zi中的可约 元。 由文献5 54 55 p 中的高斯平方和定理即知命题 5 成立。 3 商环商环 定理定理 1 1 22 () Z i mn nmi =+ + ，这里记 ()Hnmi=+ ，则元素 z 所在的陪集记 为: ()(),zHzxyi nmix yZ+=+ ，简记为 z 引理引理 1 1 设H 是环R 的一个理想，则 12 zHzH+=+，即 12 zz=的充分 必要条件是 12 zzH 定理定理 1 1 的证明的证明 当( , )1m n = 时，下证 22 0,1,2,1mn+这 22 mn+个数在不同的陪集中，即 xy ,对 , a b 22 0,1,2,1mn+,有a bH ，即 设 22 01bamn 0t 2222 ()ct mnmn=+ 与上式 0 ,则 11 , .m nZ st 11 ,mm d nn d= 且 11 (,)1m n= ()(),Ixyi nmix yZ=+ = 11 ()(),d xyi nmix yZ+ 若主理想 11 ()Jnmi=+()(xyi=+ 11) nmi+| ,x yZ 则显然I J 且有 11 | | / | ()() Z iZ iJ nminmiI = + 22 11 | ()/ | () Z iJ mn nmiI =+ + 下证 2 | J d I =: 在 J 中选取 2 d个元素: ()kli+( 11) nmi+J (3) 其中,0,1,2.,1k ld= 对(3)中的任意两个不同的元素与: 1111 ()()kl i nmi=+ = 2211 ()()kl i nmi+ 其中 1122 , ,k l k l不全相同，即坐标 1122 ( , )(, )k lk l 则= 121211 ()() ()kkll i nmi+ 下证:I (反证法)假设I,则 121211 ()() ()kkll i nmi+ 11 ()()d xyi nmi=+ 11 ( ,)0n m 1212 ()()kkll i+dxdyi=+ 12 kkdx= 12 lldy= 12 12 | | d kk d ll 这显然矛盾,故假设不成立 即商环 J I 至少有 2 d个不同的陪集 又对 ()(xyi=+ 11) nmi+J 由带余除法,设 11 xq dx=+, 21 yq dy=+其中 11 (0,0)xdyd 则()(xyi=+ 11) nmi+= ( 11 q dx+)+( 21 q dy+)i 11 ()nmi+ 1211 ()()d qq i nmi=+ 1111 ()()xy i nmi+ 所以 1111 ()()xy i nmi+= 1211 ()()d qq i nmi+ = 12 ()qq i+()nmi+I 这说明与元素 1111 ()()xy i nmi+在同一个陪集中,而 1111 ()()xy i nmi+必为(3)中的一个 元素，故商环 J I 中元素的个数为 2 d . 即 2 | J d I = . 4 4 素元素元 对于 Gauss 整数环 Z i ,它的元素可以分为两部分,一部分是整数,另一部分 是形如, ,abi a bZ+的元素.下面讨论 Z i 中的素元及形如ni+的素元的个数. 首先， Z i中的非素数肯定不是 Z i中的素元，因为素元要求除本身及单位外无 其它因子， 故只有素数才可能是 Z i中的素元 但素数在 Z i中是素元， 在 Z i中 则不一定如素数2，在 Z i可分解为2(1)(1)ii=+,1 i都不是2的相伴元显 然它不是 Z i中的素元. 引理引理 9 1 若 abiZ i+，abi+是素元,且 ,0a b 则( , )1a b = 应用反证法不难看出结论是显然的。 引理引理 9 2 设( , )1a b = ，若有 xyiZ i+，使得()()abi xyin+=(n是一整 数)，则 22 |abn+ 证明:由()()abi xyin+=得到 0 axbyn aybx = += 即 22 22 an x ab bn y ab = + = + ( , )1a b =,必有整数 12 ,d d 使得： 12 1adbd+= 12 ()()an dbn dn+= 将方程组的解代入上式得： 22 12 ()()abxdydn+= 22 |abn+ 引引理理 9 3 若 abiZ i+,且,0a b ,则abi+是素元的充要条件是： 22 ab+是 素数。 证明证明 （充分性）设有 11, abi+ 22 ab iZ i+使得 1122 ()()abiabi ab i+=+ 22 ab+ 22 11 ()ab=+ 22 22 ()ab+ 因 22 ab+是素数， 22 11 1ab+=或 22 22 1ab+= 11 abi+或 22 ab i+是单位 abi +是素元 （必要性）假设有自然数 12 ,n n，使 22 12 abn n+=，另一方面，由于 22 ab+()()abi abi=+，而abi+是素元 abi+| 1 n或abi+ 2 |n 不妨设abi+| 1 n,即存在 xyiZ i+使得()()abi xyi+= 1 n， 根据引理1应有( , )1a b = ,进一步根据引理2，得 22 ab+| 1 n 有自然数k 使( 22 ab+) 1 kn=,代入 22 12 abn n+=，得到 22 ab+=( 22 ab+) 2 . k n 2 . k n1= 2 1,1kn= 22 ab+是素数. 参考文献参考文献 1王海坤.Gauss 整数环诸类问题探J.工科数学.1999,15(3):6769. 2王芳贵.关于 Gauss 整数环的商环元素个数的注记J.工科数学,2001,17(4):6263. 3聂灵沼,丁石孙.代数学引论M.北京:高等教育出版社,1988. 4方辉. 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