基于MATLAB的概率统计数值实验ppt课件.ppt

基于MATLAB的概率统计数值实验,二、随机变量及其分布,主讲教师：董庆宽 副教授 研究方向：密码学与信息安全 电子邮件： 个人主页：/qkdong/,2/60,内容介绍,二、随机变量及其分布 1. MATLAB中概率分布函数 2. 二项分布实验 3. 泊松分布实验 4. 二项分布与泊松分布关系实验 5. 连续型随机变量分布实验 6. 随机变量的均值与方差 7. 逆累积分布函数实验 8. 中心极限定理实验,3/60,1. MATLAB中概率分布函数,MATLAB为常见自然概率分布提供了下列5类函数 概率密度函数（pdf），求随机变量X在x点处的概率密度值 累积分布函数（cdf），求随机变量X在x点处的分布函数值 逆累积分布函数（inv），求随机变量X在概率点处的分布函数反函数值 均值与方差计算函数（stat），求给定分布的随机变量X的数学期望E(X)和方差var(X) 随机数生成函数（rnd），模拟生成指定分布的样本数据(调用格式：x=分布rnd(分布参数)，如x=normrnd(0,1),4/60,1. MATLAB中概率分布函数,常见的分布类型名如下,5/60,1. MATLAB中概率分布函数,具体函数的命名规则是： 函数名分布类型名称+函数类型名称(pdf、cdf、inv、stat、rnd) 例如，normpdf、normcdf、norminv、normstat和normrnd分别是正态分布的概率密度、累积分布、逆累积分布、数字特征和随机数生成函数。 关于这5类函数的语法，请详见有关书籍 快捷的学习可借助MATLAB的系统帮助，通过指令doc获得具体函数的详细信息，语法是 doc ,6/60,2. 二项分布实验,已知Yb(20, 0.3)求Y分布率的值，并划出图形 在Matlab中输入以下命令： binopdf(10,20,0.2) x=0:1:20; y=binopdf(x,20,0.2) plot(x,y,r.),结果： ans = 0.0020 y =0.0115 0.0576 0.1369 0.2054 0.2182 0.1746 0.1091 0.0545 0.0222 0.0074 0.0020 0.0005 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000,7/60,2. 二项分布实验,已知Yb(20, 0.3)求Y分布函数的值，画出函数图像 在Matlab中输入以下命令： binocdf(10,20,0.2) x=0:1:20; y=binocdf(x,20,0.2) ezplot(binocdf(t,20,0.3),0,20),结果： ans = 0.9994 y = 0.0115 0.0692 0.2061 0.4114 0.6296 0.8042 0.9133 0.9679 0.9900 0.9974 0.9994 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000,8/60,2. 二项分布实验,9/60,2. 二项分布实验,到某服务机构办事总是要排队等待的。设等待时间T是服从指数分布的随机变量(单位：分钟)，概率密度为 设某人一个月内要到此办事10次，若等待时间超过15分钟，他就离去。求： (1)恰好有两次离去的概率； (2)最多有两次离去的概率； (3)至少有两次离去的概率； (4)离去的次数占多数的概率。,10/60,2. 二项分布实验,解 首先求任一次离去的概率，依题意 设10次中离去的次数为X，则Xb(10, p) p=1-expcdf(15,10) %任一次离去的概率 p1=binopdf(2,10,p) %恰有两次离去的概率 q=binopdf(0:2,10,p);p2=sum(q) %最多有两次离去的概率 q=binopdf(0:1,10,p);p3=1-sum(q) %最少有两次离去的概率 q=binopdf(0:5,10,p);p4=1-sum(q) %离去的次数占多数的概率 p = 0.2231 p1 = 0.2972 p2 = 0.6073 p3 = 0.6899 p4 = 0.0112,11/60,3. 泊松分布实验,假设电话交换台每小时接到的呼叫次数X服从参数=3的泊松分布，求 (1) 每小时恰有4次呼叫的概率 (2) 一小时内呼叫不超过5次的概率 (3) 画出分布律图像,在Matlab中输入以下命令： (1)p1= poisspdf(4,3) (2)p2= poisscdf(5,3) (3)x=0:1:20;y=poisspdf(x,3);plot(x,y),12/60,3. 泊松分布实验,13/60,4. 二项分布与泊松分布关系实验,二项分布与泊松分布的关系 例7：Xb(200,0.02)，Y 服从参数为4的泊松分布，划出分布率图像 x=0:20; y1=binopdf(x,200,0.02); y2=poisspdf(x,4); plot(x,y1,r.,x,y2,b.),14/60,15/60,4. 二项分布与泊松分布关系实验,泊松定理 (用泊松分布来逼近二项分布的定理) 设0是一个常数，n是任意正整数，设npn，则对于任意固定的非负整数k，有 例9 某种重大疾病的医疗险种，每份每年需交保险费100元，若在这一年中，投保人得了这种疾病，则每份可以得到索赔额10000元，假设该地区这种疾病的患病率为0.0002，现该险种共有10000份保单，问： (1)保险公司亏本的概率是多少? (2)保险公司获利不少于80万元的概率是多少?,16/60,解 设 表示这一年中发生索赔的份数，依题意， 的统计规律可用二项分布 来描述。由二项分布与泊松分布的近似计算关系有 近似服从参数为2的泊松分布。 当索赔份数超过100份时，则保险公司发生亏本，亏本的概率为 当索赔份数不超过20份时，则保险公司获利就不少于80万元，其概率为,17/60, p=poisspdf(0:19,2);%计算出20个泊松分布概率值 或 p=binopdf(0:19,10000,0.0002); %按二项分布计算 p2=sum(p) %求出保险公司获利不少于80万元的概率 p2 = 1.0000, p=poisspdf(0:100,2);%计算101个泊松分布概率值 或 p=binopdf(0:100,10000,0.0002); %按二项分布计算 p1=1-sum(p) %求出保险公司亏本的概率 p1 = 0.0000,18/60,5. 连续型随机变量分布实验,离散均匀分布的概率密度函数和累积分布函数 unidpdf(X,N) unidcdf(X,N) 随机变量X在1到N上的N各自然数之间等可能取值 在Matlab中输入以下命令： x=1:1:10; y=unidpdf(x,10) 结果：y = 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 0.1000 在Matlab中输入以下命令： x=0:1:10; y=unidcdf(x,10) 结果：y = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000,19/60,5. 连续型随机变量分布实验,连续均匀分布 密度函数：f=unifpdf(x,a,b) 分布函数：f=unifcdf(x,a,b) 例: 画出均匀分布U(2,5)的概率密度函数和分布函数的图形. 在Matlab中输入以下命令： x=0:0.01:7; y=unifpdf(x,2,5); z=unifcdf(x,2,5); plot(x,y,x,z),20/60,21/60,5. 连续型随机变量分布实验,(2) 指数分布 密度函数：f=exppdf(x,) 分布函数：F=expcdf(x,) 例: 画出指数分布E(1)的概率密度函数和分布函数的图形. 求P(0X5) P(0X20). 在Matlab中输入以下命令： x=0:0.1:5; y=exppdf(x,2); z=expcdf(x,2); plot(x,y,x,z) result1=expcdf(5,2)-expcdf(0,2) result2=expcdf(20,2)-expcdf(0,2),22/60,结果：result1 = 0.91791500137610 result2 = 0.99995460007024,23/60,5. 连续型随机变量分布实验,(3) 正态分布 密度函数：f=normpdf(x,) 分布函数：F=normcdf(x,) 例: 画出正态分布N(1,4)的概率密度函数和分布函数的图形. 求P(1X6). 在Matlab中输入以下命令： x=-5:0.1:6; y=normpdf(x,1,2); z=normcdf(x,1,2); plot(x,y,x,z) result=normcdf(6,1,2)-normcdf(1,1,2),24/60,结果：Result =0.4938,5. 连续型随机变量分布实验,25/60,例11：在同一坐标下,画下列正态分布的密度函数图像,(1) =3, =0.5, 0.7, 1, 1.5, 2,(2) =0.5, =1,2,3,4,(1)命令： x=-6:0.1:6; y1=normpdf(x,3,0.5); y2=normpdf(x,3,0.7); y3=normpdf(x,3,1); y4=normpdf(x,3,1.5); y5=normpdf(x,3,2); plot(x,y1,.,x,y2,+,x,y3,*,x,y4,d,x,y5),5. 连续型随机变量分布实验,26/60,27/60,28/60,例 观察正态分布参数对密度曲线的影响。,解： clear mu1=2.5;mu2=3;sigma1=0.5;sigma2=0.6; x=(mu2-4*sigma2):0.01:(mu2+4*sigma2); y1=normpdf(x,mu1,sigma1); %考察均值的影响 y2=normpdf(x,mu2,sigma1); y3=normpdf(x,mu1,sigma1); %考察方差的影响 y4=normpdf(x,mu1,sigma2); subplot(1,2,1) %考察结果的可视化 plot(x,y1,-g,x,y2,-b) xlabel(fontsize1212,1=2 ) legend(1,2) subplot(1,2,2) plot(x,y3,-g,x,y4,-b) xlabel(fontsize121=2,12 ) legend(1,2),29/60,30/60,5. 连续型随机变量分布实验,计算正态分布的累积概率值 例，设XN(4,32), P33 调用函数normcdf(x,) 返回函数值 解： p1=normcdf(6,4,3)-normcdf(3,4,3) p1 = 0.3781 p2=1-normcdf(3,4,3) p2 = 0.6306,31/60,例 正态分布参数和对变量x取值规律的约束3准则。,解： clear,clf %（标准）正态分布密度曲线下的面积 X=linspace(-5,5,100); Y=normpdf(X,0,1); yy=normpdf(-3,-2,-1,0,1,2,3,0,1); plot(X,Y,k-,0,0,0,yy(4),c-.) hold on plot(-2,-2,0,yy(2),m:,2,2,0,yy(6),m:,-2,-0.5,yy(6),yy(6),m:,0.5,2,yy(6),yy(6),m:) plot(-1,-1,0,yy(3),g:,1,1,0,yy(5),g:,-1,-0.5,yy(5), yy(5),g:,0.5,1,yy(5),yy(5),g:) plot(-3,-3,0,yy(1),b:,3,3,0,yy(7),b:,-3,-0.5,yy(7), yy(7),b:,0.5,3,yy(7),yy(7),b:),32/60,hold off text(-0.5,yy(6)+0.005,fontsize1495.44%) text(-0.5,yy(5)+0.005,fontsize1468.26%) text(-0.5,yy(7)+0.005,fontsize1499.74%) text(-3.2,-0.03,fontsize10-3) text(-2.2,-0.03,fontsize10-2) text(-1.2,-0.03,fontsize10-) text(-0.05,-0.03,fontsize10) text(0.8,-0.03,fontsize10+) text(1.8,-0.03,fontsize10+2) text(2.8,-0.03,fontsize10+3),5. 连续型随机变量分布实验,33/60,34/60,6. 随机变量的数学期望和方差,对于任意的分布，可用Matlab中的函数和运算编程实现 对于给定的分布，只需给出分布的参数，即可调用stat族函数，得出数学期望和方差，调用格式 E,D=分布+stat(参数) 例：求二项分布参数n=100，p=0.2的数学期望和方差： 解：n=100; p=0.2; E,D=binostat(n,p);,结果显示：E= 20 D= 16,35/60,例 绘制正态分布的密度函数、分布函数曲线，并求均值与方差,解： clear mu=2.5;sigma=0.6; x=(mu-4*sigma):0.005:(mu+4*sigma); y=normpdf(x,mu,sigma); f=normcdf(x,mu,sigma); plot(x,y,-g,x,f,:b) M,V=normstat(mu,sigma) legend(pdf,cdf,-1),6. 随机变量的数学期望和方差,36/60,M=2.5000 V=0.3600,从图中可以看出，正态密度曲线是关于x对称的钟形曲线(两侧在处各有一个拐点)，正态累积分布曲线当x时F(x)0.5。,37/60,7. 逆累积分布函数,逆累积分布函数就是返回给定概率条件下的自变量的临界值，实际上是分布函数的逆函数。 icdf(Inverse Cumulative Distribution Function) 即：在分布函数F(x)=p中已知p求其相对应的x的值 调用：在分布函数名后加inv 如:X=norminv(p,mu,sgm) 也有2)X=icdf(name,p,A1,A2,A3),其中name为相应的函数名，如normal;p为给定的概率值； A1,A2,A3为相应的参数,38/60,例、计算标准正态分布N(0,1)概率值0.1，0.3， 0.5，0.7，0.9，所对应的x的值,命令： y=0.1:0.2:0.9； x=norminv(y,0,1),结果： x=-1.2816 -0.5244 0 0.5244 1.2816,检验：y1=normcdf(x,0,1);,y1=0.1000 0.3000 0.5000 0.7000 0.9000,7. 逆累积分布函数,39/60,例、计算二项分布b(10,0.5)概率值0.1，0.3， 0.5，0.7，0.9，所对应的x的值,命令： p=0.1:0.2:0.9; x=binoinv(p,10,0.5),结果： x=3 4 5 6 7,检验：y1=binocdf(x,10,0.5);,结果： y1=0.1719 0.3770 0.6230 0.8281 0.9453,7. 逆累积分布函数,40/60,7. 逆累积分布函数,在离散分布情形下，icdf 返回使cdf(x)p的第一个值x 上例中，对p=0.1，对应cdf(x)0.1的第一个值为3，故返回值为3 B(10,0.5)的分布函数图像,41/60,命令： x=0.1,0.05,0.025; y=chi2inv(1-x,8),结果： y=13.3616 15.5073 17.5345,定义：上 分位点：设随机变量X的分布函数为： F(x),如果实数 满足P(X )= ,则称 为上 分位点,例14、计算自由度为8的卡方分布的上 分位点， 其中=0.1，0.05，0.025,7.逆累积分布函数-上分位点,42/60,例 标准正态分布分位数的概念图示。,解 %分位数示意图（标准正态分布，=0.05） clear,clf data=normrnd(0,1,300,1); xalpha1=norminv(0.05,0,1); xalpha2=norminv(0.95,0,1); xalpha3=norminv(0.025,0,1); xalpha4=norminv(0.975,0,1); subplot(3,1,1) capaplot(data,-inf,xalpha1);axis(-3,3,0,0.45) subplot(3,1,2) capaplot(data,xalpha2,inf);axis(-3,3,0,0.45) subplot(3,1,3) capaplot(data,-inf,xalpha3);axis(-3,3,0,0.45) hold on capaplot(data,xalpha4,inf);axis(-3,3,0,0.45) hold off xalpha1 xalpha2 xalpha3 xalpha4,43/60,xalpha1 = -1.6449 xalpha2 = 1.6449 xalpha3 = -1.9600 xalpha4 = 1.9600,44/60,8. 中心极限定理,例1利用随机数样本验证中心极限定理 独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态分布，通过产生容量为n的poiss分布和exp分布的样本，研究其和的渐近分布。 算法如下： 产生容量为n的独立同分布的随机数样本，得其均值和标准差； 将随机数样本和标准化； 重复、； 验证所得标准化的随机数样本和是否服从标准正态分布,45/60, clear n=2000; means=0; s=0; y=; lamda=4; a=lamda; for i=1:n r=poissrnd(a,n,1);%可换成r=exprnd(a,n,1)； means=mean(r);%计算样本均值 s=std(r);%计算样本标准差 y(i)=sqrt(n).*(means-a)./sqrt(s); end normplot(y);%分布的正态性检验 title(poiss分布，中心极限定理),8. 中心极限定理,46/60,47/60,48/60,8. 中心极限定理,棣莫弗-拉普拉斯定理的应用 Galton钉板模型和二项分布 Galton钉板试验是由英国生物统计学家和人类学家Galton设计的。故而得名。 通过模拟Calton钉板试验，观察和体会二项分布概率分布列的意义、形象地理解De Moivre -Laplace中心极限定理。,49/60,共15层小钉,高尔顿钉板试验,小球最后落入的格数 ?,记小球向右落下的次数为 则,记小球向左落下的次数为 则,符号函数,大于0返回1,小于0返回-1,等于0返回0,高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气象学家,8. 中心极限定理,W取值从-8到8,落下的位置为 15层中向右的次数减向左的次数,50/60,O,记,则,近似,高尔顿钉板试验,共15层小钉,8. 中心极限定理,51/60,模拟Galton钉板试验的步骤： (1) 确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵X和Y中。 (2) 在Galton钉板试验中，小球每碰到钉子下落时都具有两种可能性，设向右的概率为p，向左的概率为q1-p，这里p=0.5，表示向左向右的机会是相同的。,8. 中心极限定理,52/60,8. 中心极限定理,模拟过程如下：首先产生一均匀随机数u，这只需调用随机数发生器指令rand(m,n)。 rand(m,n)指令：用来产生mn个(0,1)区间中的随机数，并将这些随机数存于一个mn矩阵中，每次调用rand(m,n)的结果都会不同。如果想保持结果一致，可与rand(seed,s)配合使用，这里s是一个正整数，例如 rand(seed,1),u=rand(1,6) u = 0.5129 0.4605 0.3504 0.0950 0.4337 0.7092 而且再次运行该指令时结果保持不变。除非重设种子seed的值，如 rand(seed,2),u=rand(1,6) u = 0.0258 0.9210 0.7008 0.1901 0.8673 0.4185 这样结果才会产生变化。,53/60,8. 中心极限定理,将0,1区间分成两段，区间0,p)和p,1。如果随机数u属于0,p)，让小球向右落下；若u属于p,1 ，让小球向左落下。将这一过程重复n次，并用直线连接小球落下时所经过的点，这样就模拟了小球从顶端随机地落人某一格子的过程。 (3) 模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m(例如m50、100、500等等)，计算落在第i个格子的小球数在总球数m中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率 用频率反映小球的堆积形状,54/60,(4)用如下动画指令制作动画： movien(n)：创建动画矩阵；制作动画矩阵数据； Getframe：拷贝动画矩阵； movie(Mat, m