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对一道中考试题解题方法的探讨及评析摘要:作为一道探究性几何题,考点全面,涉及到初中数学重要内容.本题以直角三角形为载体,综合了中点、垂直、相似、比例线段、解方程等主要知识.在数学思想方法方面,考查了数形结合、特殊与一般辨证思想、转化等数学思想和利用平行构造相似、利用线段之间的数量关系构造方程的解题方法.关键词:平行线分线段成比例定理的运用、构造三角形相似的比例线段、转化思想武汉市中考调研考试中有这样一道试题:如图1,已知等腰Rt,为边上一动点,于点,延长交于点.(1)若,则 , ; (2)若,求证; (3)当 ,为的中点.1.解题思路分析本题第(1)问设计了两个填空,都是求两线段的比值,一个是同一个直角三角形两直角边的比,另一个是同一条直线上的两线段的比.与是的两直角边,运用射影定理将转化成求的值, 可以看作,易求出其值为9.第(2)问给出的点位置更特殊,求证的结论也很简洁、常见,如果不添加辅助线,无法从现有的已知条件推导出结论,找到添加辅助线的方法就找到解题突破口,从条件的特殊性和结论形式分析,至少有三种思路,其一,当时说明点是线段的中点,由中点可以联想到常规的辅助线:如倍长中线、作中位线等;其二,将线段看作的两倍关系,由线段的倍分关系联想到截长补短的构造三角形全等的方法,当然本问题用此方法不易证明结论;其三,将形式看成的形式,由线段的比例关系联想到构造相似三角形. 第(3)问的设置实质上与第(2)问是互逆的,其解决方法可以选取解决第(2)的方法,为便于解答, 引进参数无疑是一种好的方法,设,则,依据所构造的相似三角形的对应边之间的比例关系,可以建立方程求出的值.2.解题方法探讨第(2)问的证明方法很多,笔者进行了探讨、分类、归纳,现枚举一些,如下:2.1构造相似三角形法2.1.1构造相似三角形,使所求(证)的两条线段为对应边,即:确定一边所在的三角形,然后构造另一边为对应边的三角形与之相似证法一:先确定所在的,构造以为边的三角形与相似.过点作,交的延长线于点,得 ,又,由得,即.证法二:先确定所在的,构造以为边的三角形与相似.过点作,交的延长线于点 ,连结.由(1)问中得到,又,.故得结论 (*),又,又,在中,又,.又,,即. 证法三:先确定所在的,构造以为边的三角形与相似.过点作,交的延长线于点 ,连结.则,又,即.证法四:先确定所在的,构造以为边的三角形与相似.过点作,交的延长线于点 ,连结.,又由证法二中得出的(*)结论,可得,又,又,即.2.1.2构造相似三角形,将其中一条线段用相等线段进行转化,求出转化后的两线段的比就得到要求的两线段的比证法五:过点作,交于点,连结,易得,.与有公共的斜边,故点、均在以中点为圆心,以长为半径的圆上,由(*)结论,.,即.2.1.3构造相似三角形,借助中间过渡线段,分别求两条线段与中间线段的关系证法六: 过点作,交于点.,即,又,即,.证法七: 过点作,交于点.易得, ,由,即,由,即,. 证法八: 过点作,交的延长线于点. 易得, ,即,即.2.1.4通过作平行线构造相似,将要求的两线段的比直接转化为同一直线上的两线段的比证法九: 过点作,交于点.由(*)结论,.又由,即.证法十: 过点作,交的延长线于点.易得, ,而,即.2.1.5利用线段之间和差、倍分关系构造相似三角形,先求另外两线段的比,再转化成要求的两线段之比证法十一: 过点作,交于点.易得, ,即.2.2面积法证法十二:由证法二的*结论有,过点作,垂足分别为、,设点到的距离为,则,化简得,易证,故,即.2.3解析法证法十三:如图,以点为原点,分别以、所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,不妨设,则点,可求得直线解析式: ,直线解析式: ,解方程组得点坐标,可求得直线的解析式为,可求得点坐标,故,.2.4杠杆平衡原理法所谓杠杆平衡原理即为:“动力动力臂=阻力阻力臂”.应用杠杆平衡原理解几何线段比值问题,关键在于可将图形中的各个交点视为受力点,从而可利用两个同向平行力的法则“ 合力的大小等于两个分力的和,合分力对于以合力作用点为支点的合力矩等于零”,即如右图:利用,或来解题.证法十四:观察系统,若在点挂牛,则由于,所以需在点挂牛,这样系统就能达到平衡状态,此时点受力就为2牛.观察系统,以点为支点,因为点受力2牛,所以需在点受力0.5牛,这样系统就能达到平衡状态,此时点支点受力应为牛.观察系统,由于点受力牛, 点受力0.5牛,所以有,即.3.试题评析从试题的编拟与设计来看,体现两大特点:一是试题设计了具有层次性的三个问题,体现了关注学生个体差异、以人为本的理念. (1)至(3)问对学生的能力要求逐步提高,第(1)问比较常规,学生比较容易上手,容易让学生获得解决综合题的信心;第(2)问,需要求证的结论是学生非常熟悉形式,这样可以避免学生产生畏惧的心理,但从思维层次上做了适当的提升,对中等偏下的学生设置了障碍,第(3)问为少数优秀的学生提供了展示自己能力的平台,让这部分学生能脱颖而出.(1)至(3)问逐步增加了试题的思维难度,达到增加试卷区分度的目的. 二是注重解题策略的多样性,尊重了不同的学生在解决问题过程中表现出来的不同水平,给不同的学生创造不同的成功机会,有利于增强学生进一步解决问题和战胜困难的信心.从所考查的知识点和数学思想方法上看,作为一道探究性几何题,考点全面,涉及到初中数学重要内容.本题以直角三角形为载体,综合了中点、垂直、相似、比例线段、解方程等主要知识.在数学思想方法方面,考查了数形结合、特殊与一般辨证思想、转化等数学思想和利用平行构造相似、利用线段之间的数量关系构造方程的解题方法.从对学生的能力要求上看,对学生的解题能力提出较高的要求.首先,要求学生能根据几何语言作出相应的几何图形的基本画图能力,第(1)问,当n=3时,如果画出准确的图形,更直观准确; 其次是要求对图形的性质能灵活运用, 虽说第(2)问的有多种作辅助线的方法来构造相似三角形,而新教材没有平行线分线段成比例的内容,前几年的中考中也没有过多的涉及,平时没做重点训练,对中等学生来说要求比较高,本题(2)问还必须结合(1)问的结论综合考虑才能完成证明过程;对于学生来说,本题最大的障碍是如何将几何问题转化成代数问题,第(3)问尽管不需写解题过程,但必须在严密的推理和计算的前提下才能写出正确结果,仅仅建立在感性上的猜想是无法得到正确的答案.从数学美学的角度看,本题构图及解答涉及到平面几何学的三个经典问题:射影定理、梅涅劳斯定理、黄金分割.三个经典图形完美结合,浑然一体,体现平面几何的经典之美,不得不让人赞叹拟题者的别具匠心.试题以动

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