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文档简介

精华资料2012年全国初中数学联赛试题参考谜底和评分标准2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 第一试 一、选择题:(本题满分42分,每小题7分) 1(已知,那么的大小关系是 ( )c,62b,32a,21abc,abc,acb,bac,bca,A. B. C. D. 【答】C. 1111ba,因为,,,32,所以,故.又 ,,210,ca,(62)(21)6baab22bac,621,,而,所以,故.因此.ca,(21),(6)(21)3220,,,222(方程的整数解的组数为 ( )(,)xyxxyy,,2334. C(5. D(6. A(3. B(4【答】B. 22xy,方程即,显然必须是偶数,所以可设,则原方程变为xyt,,2()234xyy,,t,2,22,它的整数解为从而可求得原方程的整数解为,,(,)xy(7,3),(1,3)(7,3),217ty,,y,3,,共4组. (1,3),3(已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的延长线上一点,CE,1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的长为 ( )652625A( B( C( D( 3333【答】D. DA过点C作CP/BG,交DE于点P.因为BC,CE,1,所以CP是?BEG的中位线,所以P为EG的中点. G又因为AD,CE,1,AD/CE,所以?ADF?ECF,所以CF,DF,又CP/FG,所以FG是?DCP的中位线,所以G为DP的中点.FP 12B因此DG,GP,PE,DE,. CE33连接BD,易知?BDC,?EDC,45?,所以?BDE,90?. 22522又BD,,所以BG,. BDDG2,,,,29322444(已知实数满足,则的最小值为 ( )ab,,1aabb,ab,2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页(共7页) 19A(. B(0. C(1. D(. ,88【答】B. 194422222222. aabbabababababab,,,,,,,,,()2122()481131119222因为,所以,从而,故,因此,ab,ab0(),ab2|1abab,,,224444161999244,即. 0,,,aabb02(),,,ab8488222244因此aabb,的最小值为0,当或时取得.ab,ab,2222232325(若方程的两个不相等的实数根满足,则实数pxx,xxxx,,,4()xpxp,,2320121122的所有可能的值之和为 ( )35,1,A(0. B(. C(. D(. 44【答】 B. 由一元二次方程的根与系数的关系可得xxp,,2,xxp,32,所以12122222, xxxxxxpp,,,,,()24641212123322. xxxxxxxxppp,,,,,()()32(496)121212122323223322又由得,所以,xxxx,,,4()xxxx,,,4()46442(496)ppppp,,,112212123ppp,0,1所以,所以. ppp(43)(1)0,,12343pp,0,p,1代入检验可知:均满足题意,不满足题意. 123433ppp,,,,0()因此,实数的所有可能的值之和为. 1244acbd,,,abcd6(由1,2,3,4这四个数字组成四位数(数字可重复使用),要求满足.这样的四位数共有 ( )A(36个. B(40个. C(44个. D(48个. 【答】C. 根据使用的不同数字的个数分类考虑: (1)只用1个数字,组成的四位数可以是1111,2222,3333,4444,共有4个.(2)使用2个不同的数字,使用的数字有6种可能(1、2,1、3,1、4,2、3,2、4,3、4).如果、2,组成的四位数可以是1122,1221,2112,2211,共有4个;同样地,如果使用的数字使用的数字是1是另外5种情况,组成的四位数也各有4个.因此,这样的四位数共有64,24个.(3)使用3个不同的数字,只能是1、2、2、3或2、3、3、4,组成的四位数可以是1232,2123,2321,3212,2343,3234,3432,4323,共有8个. (4)使用4个不同的数字1,2,3,4,组成的四位数可以是1243,1342,2134,2431,3124,3421,4213,4312,共有8个. 2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页(共7页) 因此,满足要求的四位数共有4,24,8,8,44个. 二、填空题:(本题满分28分,每小题7分) 1111(已知互不相等的实数满足,则_(abct,,,,,,abc,t,bca,1【答】 . 111112bt,,at,,b,,,t由得,代入得,整理得 ?ctactac,,,(1)()0cbta,tac,1222acat,,1ct,,又由可得,代入?式得,即,又,ctatac,,,()0()(1)0cat,ca,a2t,1t,10所以,所以. 11a,11a,t,1t,1t,1bc,bc,验证可知:时;时.因此,.1,aa1,aam521,2(使得是完全平方数的整数的个数为 ( m(【答】 1 m2m2nk,21521,,n设(其中n为正整数),则,显然n为奇数,设521(1)(1),,,,nnnmm,2k(其中是正整数),则,即. 524(1),,kk52(1),,kkm,2m,2k,5,k,,52,k,2,k,1kk,1显然,此时和互质,所以或或解得km,5,4.,m,2k,11,k,12,k,15,m因此,满足要求的整数只有1个. BC3(在?ABC中,已知AB,AC,?A,40?,P为AB上一点,?ACP,20?,则, (APA【答】 . 3F设D为BC的中点,在?ABC外作?CAE,20?,则?BAE,60?.P1作CE?AE,PF?AE,则易证?ACE?ACD,所以CE,CD,BC.2E133sinsin又PF,PA?BAE,PA60?,AP,PF,CE,所以AP,BC,CBD222BC因此,3. APabc4abc,1abc,,44(已知实数满足,则,,abc,222aabbcc,3131319222, ( abc,33【答】 . 222因为,所以aaaaabcabcaabcbcabc,,,,,,,313(3)(1)(1)(1)2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页(共7页) a1. ,2aabc,31(1)(1)b1c1同理可得,. ,22bbac,31(1)(1)ccab,31(1)(1)abc41114,,结合可得,,222aabbcc,3131319(1)(1)(1)(1)(1)(1)9bcacab,4(1)(1)(1)(1)(1)(1)abcabc,,,,,所以. 91abc,1abc,,4abbcac,,结合,可得. 4332222abcabcabbcac,,,,,,()2()因此,. 211,4实际上,满足条件的abc,可以分别为. 22第二试 (A) 一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的面积.abc,abc,,30解 设直角三角形的三边长分别为(),则. abc,显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长,下面先求的值. ccabc,abc,,30303,,,abccc,10由及得,所以. abc,,abc,,30302,,,abccc,15由及得,所以. 1114,c又因为为整数,所以. 5分c222cab,30根据勾股定理可得,把代入,化简得,所以abc,,abab,,,30()450022, 10分(30)(30)450235,,ab2,a,5,305,a,ab,因为均为整数且,所以只可能是解得15分ab,2b,12.3023,,b,169c,13,所以,直角三角形的斜边长,三角形的外接圆的面积为. 20分42?OP于点D.证明:ADBDCD,.二(本题满分25分)如图,PA为?O的切线,PBC为?O的割线,ADAOD PBC 证明:连接OA,OB,OC. 22PAPDPO,ADPDOD,?OA?AP,AD?OP,?由射影定理可得,. 5分2PBPCPDPO,PAPBPC,又由切割线定理可得,?,?D、B、C、O四点共圆,2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页(共7页) 10分?PDB,?PCO,?OBC,?ODC,?PBD,?COD,?PBD?COD, 20分PDBD2?,?. 25分,ADPDODBDCD,CDOD12三(本题满分25分)已知抛物线的顶点为P,与轴的正半轴交于A、yxbxc,,(,0)xx163B()两点,与轴交于点C,PA是?ABC的外接圆的切线.设M,若AM/BC,y(0,),(,0)xxx,2122求抛物线的解析式. 32解 易求得点P,点C. (3,)bbc,(0,)c2设?ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为.(3,)bm122xbbc,,396显然,是一元二次方程的两根,所以,,,,xbxc0xx,112622xbbc,,396,又AB的中点E的坐标为,所以AE,.5分96bc,(3,0)b22因为PA为?D的切线,所以PA?AD,又AE?PD,所以由射影定理可得,即AEPEDE,3222m,0m,6,又易知,所以可得. 10分(96)()|bcbcm,,,,22222222m,6DADC,又由DA,DC得,即,把代入后可解(96)(30)()bcmbmc,,,,c,6c,0得(另一解舍去). 15分3|,2396bbc,,OAOM2,又因为AM/BC,所以,,即. 20分2|6|,OBOC396bbc,55c,6b,b,把代入解得(另一解舍去). 22152yxx,,,6因此,抛物线的解析式为. 25分62第二试 (B) 一(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为60,求它的外接圆的面积.abc,abc,,60解 设直角三角形的三边长分别为abc,(),则. cc显然,三角形的外接圆的直径即为斜边长,下面先求的值. abc,abc,,60603,,,abccc,20由及得,所以. abc,,abc,,60602,,,abccc,30由及得,所以. 又因为为整数,所以2129,c. 5分c222cab,60根据勾股定理可得,把代入,化简得,所以abc,,abab,,,60()18000322, 10分(60)(60)1800235,,ab2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页(共7页) 32,6025,,a6025,,a,ab,因为均为整数且,所以只可能是或ab,2226035,,b6023,,b,a,20,a,10,解得或 15分,b,15,b,24.,625c,25,当时,三角形的外接圆的面积为; ab,20,154c,26169,当时,三角形的外接圆的面积为. 20分ab,10,24二(本题满分25分)如图,PA为?O的切线,PBC为?O的割线,AD?OP于点D,?ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:?BAE,?ACB. AODPBEC证明:连接OA,OB,OC,BD. 22PAPDPO,ADPDOD,?OA?AP,AD?OP,?由射影定理可得,. 5分2PBPCPDPO,PAPBPC,又由切割线定理可得,?,?D、B、C、O四点共圆,10分PDBD?PDB,?PCO,?OBC,?ODC,?PBD,?COD,?PBD?COD, ?,,CDOD15分BDAD2?,?. ,BDCDPDODAD,ADCD又?BDA,?BDP,90?,?ODC,90?,?ADC,?BDA?ADC, 20分?BAD,?ACD,?AB是?ADC的外接圆的切线,?BAE,?ACB. 25分三(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同. 第二试 (C) 一(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同. 二(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第二题相同. 12三(本题满分25分)已知抛物线的顶点为P,与轴的正半轴交于A、yxbxc,,(,0)xx16B()两点,与轴交于点C,PA是?ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移y(,0)xxx,24(31),2122012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页(共7页) 个单位,得到的新抛物线与原抛物线交于点Q,且?QBO,?OBC.求抛物线的解析式.213b322(3,)bbc,解 抛物线的方程即yxbc,,(3),所以点P,点C.(0,)c262设?ABC的外接圆的圆心为D,则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上,设点D的坐标为.(3,)bm122xbbc,,396,,,xbxc0显然,xx,是一元二次方程的两根,所以,112622xbbc,,39696bc,又AB的中点E的坐标为,所以AE,. (3,0)b22AEPEDE,因为PA为?

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