统计检定详细分析

授 課 目 錄 第1章 導 論第2章 統計資料的整理與描述第3章 機率導論第4章 常用的機率分配與統計分佈第5章 描樣方法與描樣分佈第6章 統計估計第7章 統計檢定第8章 變異數分析第9章 相關分析與迴歸模式第10章 無母數統計檢定第11章 類別資料分析-列聯表與卡方檢定第七章 統計檢定母體樣本分佈、參數統計量隨機抽取推 論檢定計算描述未經檢定(Testing)，僅能稱為假設。實驗驗檢真理。 統計檢定是利用樣本統計式，對已提出的母體參數或特徵，進行統計程序的檢定，以決定是否接受先前提出的母體參數或特徵論點。此種統計程序過程又稱之為的假設檢定(Testing Hypothesis)。 假設檢定與區間估計是推論統計之主體。 倘無根據之理論與以前的研究，即無所謂之假設檢定。無根據之理論與以前的研究，即隨意進行假設檢定，實是假設檢定之濫用，此時宜作區間估計而不是假設檢定。總言之，要進行假設檢定，先問問此假設從何而來?。範例、倘系學會宣稱，本系學生每週平均看書時間為23 hrs，懷疑者進行隨機抽樣，欲以實際的資料驗證與駁斥此宣稱，然資料顯示懷疑者是不能駁斥此宣稱，因為， 該系學生每週平均看書時間為23 hrs的確在95%信賴區間21-25 hrs之內。倘系學會宣稱，本系學生每週平均看書時間為30 hrs，然資料顯示懷疑者能駁斥此宣稱，因為， 該系學生每週平均看書時間為30 hrs不在95%信賴區間21-25 hrs之內。-此過程稱之為假設檢定-7.1 統計檢定的概念一般而言，統計假設包括事先假設H0(Null Hypothesis)與對立假設H1(Alternative Hypothesis)。檢定統計式(Testing Statistics)就是用來檢驗統計假設的度量工具。在顯著水準a下(0 a 1)，檢定統計式將母體分為兩個區域：接受區域(Acceptance Region)與拒絕區域(Rejection Region)。此兩區域的分界點稱為臨界值(Critical Value)，通常以Ca表示 (若母體為常態分佈則以Za表示)。(雙邊與單邊)0a/2a/2-Za/2Za/20aZa檢定統計係利用適合的檢定統計式，在顯著水準a下，對統計假設進行統計程序之檢驗。此統計檢驗的過程又稱為假設檢定。其程序如下：模糊語句或思想確定問題與統計假設(H0、H1)選定檢定統計式T與樣本數n決定a並由檢定統計式T的機率分佈找出拒絕區域Ra由樣本資料代入檢定統計式計算其值，若該值落於Ra則拒絕H0假設統計檢定決策法則以拒絕域作為判定之準則範例、老闆欲知公司正研發的手機是否較Motorola手機好，如品質沒有比Motorola來得差，則考慮量產上市。因此各隨機抽取10部，比較其通話品質。(為方便，以通話品質為品質指標)。計算結果，在95%的信心下，二牌子手機品質的母體平均值的差異介於(-2.5, 3.2)，由於此區間包含著0 (即無差異)，那麼就不能說此二牌子手機品質的有差異。老闆會很高興，也許會將公司此新產品上市。-此即以事實作決策也-7.1.1 建立統計假設模糊語句或思想，轉換為確定問題的陳述，並建構統計假設，如：某型汽車輪胎平均壽命的國際標準為40 km，則事先假設H0：m = 40對立假設H1：m 40 (互斥的集合)一般統計假設被設立成立以下三種類型：(以上述為例)(a) 雙邊檢定事先假設H0：m = 40；對立假設H1：m 40 (b) 左邊檢定(以拒絕域作為判定之準則)事先假設H0：m 40；對立假設H1：m 40 7.1.2 決定拒絕域模糊語句或思想，轉換為確定問題的陳述，並建構統計假設，與選取適當的檢定統計式，再根據顯著水準a，並找出拒絕區域Ra。因統計檢定是一種決策法則，用來決定是否要拒絕事先假設，而這項法則便是以拒絕域作為判定的準則。7.1.3 型I誤差與型II誤差由檢定統計式根據顯著水準找出拒絕域後，最後即將隨機樣本值代入檢定統計式中求算。但進行假定檢定時，由於機率的關係，會產生二種錯誤的決策：(一般設為a= 5%) a= P(Type I Error) = P (Reject H0|True H0)Ex：事先假設H0：m = 40；對立假設H1：m 40a= P(Type I Error) = P (Reject m = 40 | True m = 40) b = P(Type II Error) = P(Accept H0| False H0)= P(Accept H0| True H1)b = P(Type II Error) = P(Accept m = 40| False m = 40)= P(Accept m = 40| True m 40)定義檢定力(Power)為：Power = 1- b = P (Reject H0| False H0)= P (Reject H0| True H1) 檢定力是評量統計檢定優劣的量值，檢定力愈大，表示此統計檢定的效率愈佳。倘有多個統計式存在，採同一顯著水準，則檢定力之大小，可從中找出最佳的檢定統計式。 顯著水準a可視為可能發生的錯誤機率或所能接受的錯誤機率。 統計檢定亦可視為抽樣結果與統計假設H0比較，以判決抽樣結果是被接受或拒絕。7.2 母體平均值m之檢定7.2.1 常態母體平均值m之假設檢定對母體(m, s2)的平均值m進行假設檢定。因為樣本平均值為母體平均值m之最佳點估計式，所以m值之檢定可透過統計量進行，然在小樣本(n 30)情況下，由於受到變異數已知與否的影響，須分2種情況處理。(a)變異數已知：檢定m用Z檢定式進行檢定: Z=(-m)/(s/n1/2) 統計假設決策法則雙邊檢定：H0: m = m0, H1: m m0If Z Za/2 , then Reject H0左邊檢定：H0: m m0, H1: m m0If Z m0If Z Za , then Reject H0(b) 變異數未知：檢定m用t檢定式進行檢定:tn-1=(-m)/(S/n1/2)統計假設決策法則雙邊檢定：H0: m = m0, H1: m m0If t ta/2,n-1 , then Reject H0左邊檢定：H0: m m0, H1: m m0If t m0 If t ta,n-1 , then Reject H0範例、致遠管理學院假設預算報告指出，A棟宿舍每月用電費為24萬。為了瞭解此預算之合適度，該校隨機抽取10與A棟相似之宿舍，求得其每月用電費平均為22萬，假設每月用電費為為常態分佈，且已知 s= 6，則在顯著水準a = 0.05時，試問此項預算合理乎?SOL：令m為A棟宿舍平均每月用電費。(1)建立統計假設H0：m = m0 , H1：m m0 H0：m = 24 , H1：m 24(2)樣本來自常態分佈，且已知 s= 6，故採用Z檢定(3)應用雙邊檢定，檢定臨界值Z0.025 = 1.96(4) 樣本統計量為Z=(-m)/(s/n1/2)=(22-24)/(6/101/2)= -1.05 -1.9600.0250.0251.96-1.96RejectReject-1.05Accept H0 A棟宿舍每月用電費為24萬預算是合理的。範例、某校規定所有教師每年平均出差不超過8天，董事會為了解此項規定執行情形，於是在去年所有教師中隨機抽取15位進行調查，發現平均出差天數10，假設該校所有教師每年出差為N(8,4)，則在顯著水準a = 0.05時，試問此項規定，校方是否依規定執行?SOL：令m為所有教師每年平均出差天數。(1) 建立統計假設H0：m m0 , H1：m m0 H0：m 8 , H1：m 8(2) 樣本來自常態分佈，且已知 s= 2，故採用Z檢定(3)應用右邊檢定，檢定臨界值Z0.05 = 1.645(4) 樣本統計量為Z=(-m)/(s/n1/2)=(10-8)/(2/151/2)= 3.87 1.64500.051.645Reject3.87Reject H0此項規定校方未依規定執行。範例、某公司宣稱它們每日生產之超大珍珠奶茶為N(3600, s2)，s2未知。其經理發現最近有減產現象，為實際瞭解平均每日產量，於是自每日產量記錄中隨機抽取20天進行調查，發現平均產量3500杯，標準差為180杯，則在顯著水準a = 0.05時，試問該公司生產之超大珍珠奶茶最近是否有減產現象?SOL：令m為該公司生產之超大珍珠奶茶每日平均產量。(1)建立統計假設H0：m m0 , H1：m m0 H0：m 3600 , H1：m 3600(2) 樣本來自常態分佈，且s未知，故採用t檢定(3)應用左邊檢定，檢定臨界值-t0.05/2,19 = -2.093(4) 樣本統計量為0-2.093Reject-2.485tn-1=(-m)/(S/n1/2)= (3500-3600)/(180/201/2)=-2.485Reject H0該公司生產之超大珍珠奶茶最近是有減產現象。7.2.2 兩個常態母體平均值差之假設檢定假設兩樣本平均值與分別來自兩母體N(m1, s12)、N(m2, s22)，由上節知-為m1-m2之最佳點估計式，所以m1-m2的檢定可透過統計量-來進行。(a) 兩變異數已知，兩平均值是否相等的Z檢定式Z=(-)-(m1-m2)/( s12/n1)+( s22/n2)1/2 統計假設決策法則雙邊檢定：H0: m1=m2, H1: m1m2 If ZZa/2 , then Reject H0左邊檢定：H0: m1m2, H1: m1m2If Zm2If Z Za , then Reject H0(b)兩變異數未知，兩平均值是否相等的t檢定式其中假設s12= s22= s2，共同(Common)變異數統計假設決策法則雙邊檢定：H0: m1=m2, H1: m1m2 If tta/2,n-1 , then Reject H0左邊檢定：H0: m1m2, H1: m1m2If tm2If t ta,n-1 , then Reject H0範例、甲公司廣告宣稱它們的嬰兒奶粉較乙公司的產品好，此謂好是指嬰兒食用甲公司的奶粉，體重明顯增加較快。消基會為查證甲公司為此廣告是否誇大其詞，隨機抽取10位甫出生的健康寶寶，其中5位餵食甲公司的奶粉，另5位餵食乙公司的奶粉，經過2週後觀察每位嬰兒體重增加值如下：(單位：盎司)嬰兒12345甲公司的奶粉3224302927乙公司的奶粉3036283740假設2週內嬰兒體重上升服從常態分佈，試問(a)已知食用甲公司的奶粉體重上升變異數為11，而食用乙公司的奶粉體重上升變異數為9，則在顯著水準a = 0.05時，試問甲公司廣告之聲稱是否正確？(b)若s12= s22= s2，但s未知，則在顯著水準a = 0.05時，試問甲公司廣告之聲稱是否正確?SOL：令食用甲公司的奶粉與乙公司的奶粉體重增加的平均值分別為m1, m2。(a)(1)建立統計假設H0: m1m2, H1: m1m2 H0: m1-m20, H1: m1-m20(2)樣本來自常態分佈，且s12=11，s22= 9，故採Z檢定(3)應用左邊檢定，檢定臨界值-Z0.05 = -1.645(4) 樣本統計量為Z=(-)-(m1-m2)/(s12/n1)+(s22/n2)1/2= (28.4-34.2)-0/(s12/n1)+(s22/n2)1/2= -2.9 -1.6450-1.645Reject-2.9Reject H0甲公司廣告宣稱是誇大其詞。(b)(1)建立統計假設H0: m1m2, H1: m1m2 H0: m1-m20, H1: m1-m2 m0 H0: m 6, H1: m 6(2) 樣本來自卜氏分佈，因大樣本故採用Z檢定(3)應用右邊檢定，檢定臨界值Z0.05= 1.645(4) 樣本統計量為Z=(-m)/(s/n1/2)=(7-6)/(3/361/2)= 2 1.64500.051.645Reject2Reject H0拒絕關西休息站平均每小時維持6部遊覽車進入的說法，當實施週休2日，假日820時。7.3 母體變異數之假設檢定常態母體N(m, s2)中的變異數s2進行假設檢定，可由樣本變異數S2來進行。其檢定式為：c2n-1=(n-1)S2/s2 統計假設決策法則雙邊檢定： H0: s2= s20, H1: s2s20If c2 c21-a/2,n-1 or c2 c21-a/2,n-1 , then Reject H0左邊檢定：H0: s2 s20, H1: s2 s20If c2 s20If c2 c21-a,n-1 , then Reject H07.3.1 兩個常態母體變異數之假設檢定兩常態母體的變異數s12, s22進行假設檢定，可由樣本變異數S12, S22來進行。其檢定式為(檢定s12, s22是否相等)：=(S12/s12)/(S22/s22)= (S12/S22) 統計假設決策法則雙邊檢定：H0: s12=s22, H1: s12s22If F or F then Reject H0左邊檢定：H0: s12s22, H1: s12s22If Fs22If F , then Reject H0範例、存量管制中，有一主要的考量因素是產品每日需求量的變異程度。A公司存管人員根據經驗相信其產品每日需求量呈常態分佈、且變異數為250。茲由存量記錄隨機抽取25天，得其平均值為50.6、樣本變異數為500，試問在顯著水準a = 0.1時，是否有足夠證據說明該公司存管人員的經驗想法是對的?SOL：令s2為產品每日需求量的變異程度。(1)建立統計假設H0: s2= s02, H1: s2s02 H0: s2=250, H1: s2250(2) 因樣本來自常態分佈，故採用c2檢定(3)應用右邊檢定，檢定臨界值c20.95,24= 13.8, c20.05,24 = 36.4(4) 樣本統計量為c2n-1=(n-1)S2/s2= (24)(500)/250= 48 36.4Reject H0 A公司存管人員經驗是不正確的。範例、花旗銀行成長基金欲比較2種投資(A、B)之風險，假設各投資1千萬在2種投資方案上，並預測其每月盈收如下(單位：萬元)A12625-5186-310915B180-153225-2037-15若每月報酬率是常態分佈，試問在顯著水準a = 0.05時，A種投資風險是否較B種投資風險高?SOL：令2種投資方案的風險報酬的變異程度s12, s22。(1)建立統計假設H0: s12 s22 , H1: s12 s22(2) 因樣本來自常態分佈，故採用F檢定(3)應用右邊檢定，檢定臨界值F0.95,9,7 = 0.304(4) 樣本統計量為= (S12/S22)= (9.072/23.032)= 0.15 0.304Reject H0 A種投資風險不較B種投資風險高7.4 母體比例之假設檢定欲對(二項分佈)母體比例p進行假設檢定，茲樣本比例為母體比例p的最佳估計式。故母體比例p之檢定式：Z=(-p)/p(1-p)/n1/2(= x/n) 統計假設決策法則雙邊檢定：H0: p = p0, H1: p p0If ZZa/2 , then Reject H0左邊檢定：H0: p p0, H1: p p0If Z p0If Z Za , then Reject H07.4.1 兩二項分佈母體比例差之假設檢定欲比較兩個二項分佈母體比例p1 , p2是否相等時，可對其比例差p1-p2進行假設檢定，茲樣本比值為兩母體比例p1 , p2的最佳估計式。故母體比例差p1-p2之檢定式：Z = (-)-(p1-p2)/(1-)/n1+(1-)/n21/2=x1/n1, =x2/n2) 統計假設決策法則雙邊檢定：H0: p1= p2, H1: p1 p2 If ZZa/2 , then Reject H0左邊檢定：H0: p1 p2, H1: p1 p2If Z p2If Z Za , then Reject H0範例、致遠管理學院最近買進一批課桌椅，賣方保證不合格率在5%以下，送貨時該校負責人隨機取144張檢驗，發現有12張不合格。在顯著水準a = 0.05時，是否接受不合格率在5%以下之保證?SOL：令p為課桌椅不合格率。(1)建立統計假設H0: p p0, H1: p p0 H0: p 0.05, H1: p 0.05(2) 因大樣本故採用Z檢定(3)應用右邊檢定，檢定臨界值Z0.05= 1.645(4) 樣本統計量為=x/n=12/144=0.083 Z=(-p)/p(1-p)/n1/2=(0.083-0.05)/0.05(0.95)/1441/2=1.82 1.645Reject H0拒絕賣方保證其課桌椅不合格率在5%以下之宣稱。範例、致遠管理學院去年舉辦2次教師甄試，第1次有98位報名，錄取54位；第2次有142位報名，錄取91位。在顯著水準a = 0.05時，試問2次教師甄試錄取率是否相同?SOL：令2次教師甄試錄取的比例為p1 , p2。(1)建立統計假設H0: p1= p2, H1: p1 p2 (2) 因大樣本故採用Z檢定(3)應用雙邊檢定，檢定臨界值Z0.025= 1.96(4) 樣本統計量為=x1/n1= 54/98, =x2/n2= 91/142,Z = (-)-(p1-p2)/(1-)/n1+(1-)/n21/2 =1.4 -1.64Accept H0同意此新出產的拔河繩子抗張力強度合乎標準。2. A公司宣稱其所製造的電池可使用超過300個小時。消基會人員隨機抽最12個電池檢檢，得到以下資料：290、331、329、364、332、333、346、356、352、272、316、347。假設電池可使用期限是服從常態母體，且母體標準差未知，試問在顯著水準a = 0.01時，是否相信A公司的宣稱?t=(-m)/(S/n1/2) = (330.67-300)/(27.02/(12)1/2) = 3.92 -1.363Accept H0同意宣稱此電池可使用超過300個小時。3. 工管系統計學暑期訓練營宣稱：經過該營訓練出的學生，平均解一題統計題目所須時間為3分鐘。校方欲證實此事，於是抽查9位該訓練營學生測試解題，得資料如下：2.5、3.4、2.3、3.7、2.2、3.1、2.4、3.5、4.2、4.4，假設解一題統計題目所須時間為常態分配，且變異數未知，試問在顯著水準a = 0.05時，是否相信該營：經過該營訓練出的學生，平均解一題統計題目所須時間為3分鐘的宣稱?t=(-m)/(S/n1/2) = (3.17-3)/(0.8/(10)1/2) = 0.67 於 2.26間Accept H0同意經過該營訓練出的學生，平均解一題統計題目所須時間為3分