中考专项复习锐角三角函数.ppt

第二十三讲 锐角三角函数,一、三角函数的定义 在RtABC中,C=90,A,B,C 的对边分别为a,b,c,则 sinA= ,cosA= , tanA= .,二、特殊角的三角函数值,1,三、直角三角形中的边角关系 1.三边之间的关系:_. 2.两锐角之间的关系:_. 3.边角之间的关系:sinA=cosB=_,sinB=cosA=_, tanA=_,tanB=_.,a2+b2=c2,A+B=90,四、解直角三角形的应用 1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线 间的夹角,视线在水平线_的叫做仰角,在水平线 _的叫做俯角.,上方,下方,2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h 和_之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母_表 示,即i=_;坡面与_的夹角叫做坡角,记作. 所以i=_=tan.,水平宽度l,i,水平面,3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方位角.,【自我诊断】(打“”或“”) 1.锐角三角函数是一个比值. ( ) 2.直角三角形各边长扩大3倍,其正弦值也扩大3倍. ( ) 3.由cos= ,得锐角=60. ( ),4.锐角的正弦值随角度的增大而增大. ( ) 5.锐角的余弦值随角度的增大而增大. ( ) 6.坡比是坡面的水平宽度与铅直高度之比. ( ) 7.解直角三角形时,必须有一个条件是边. ( ),考点一 求三角函数值 【例1】(2017怀化中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sin的值是 ( ) 世纪金榜导学号16104353,【思路点拨】作ABx轴于点B,先利用勾股定理计算出OA=5,然后在RtAOB中利用正弦的定义求解.,【自主解答】选C.作ABx轴于点B,如图, 点A的坐标为(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5, 在RtAOB中,sin=,【名师点津】根据定义求三角函数值的方法 (1)分清直角三角形中的斜边与直角边. (2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.,(3)正确应用勾股定理求第三条边长. (4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值. (5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.,【题组过关】 1.(2017湖州中考)如图,已知在RtABC中, C=90,AB=5,BC=3,则cosB的值是 ( ),2.(2017金华中考)在RtABC中,C=90,AB=5, BC=3,则tanA的值是 ( ),【解析】选A.在RtABC中, 根据勾股定理,得AC= 再根据正切的定义,得tanA=,3.(2017滨州中考)如图,在ABC中,ACBC, ABC=30,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tanDAC的值为 世纪金榜导学号16104354( ),【解析】选A.设AC=a,则AB=asin30=2a, BC=atan30= a,BD=AB=2a. tanDAC=,4.(2017泸州中考)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值是( ),【解析】选A.四边形ABCD是矩形,AD=BC,ADBC, 点E是边BC的中点,BE= BC= AD, BEFDAF, EF= AF,EF= AE, 点E是边BC的中点,由矩形的对称性得:AE=DE,EF= DE,设EF=x,则DE=3x, DF= tanBDE=,考点二 特殊锐角三角函数值的应用 【例2】已知,均为锐角,且满足 =0,则+=_. 【思路点拨】根据非负数的性质求出sin,tan的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数,进一步求和.,【自主解答】 =0, sin= ,tan=1,又,均为锐角, =30,=45,则+=30+45=75. 答案:75,【名师点津】熟记特殊角的三角函数值的两种方法 (1)按值的变化:30,45,60角的正余弦的分母都 是2,正弦的分子分别是1, 余弦的分子分别是 1,正切分别是,(2)特殊值法: 在直角三角形中,设30角所对的直角边为1,那么 三边长分别为1, ,2; 在直角三角形中,设45角所对的直角边为1,那么 三边长分别为1,1, .,【题组过关】 1.(2017天津中考)cos60的值等于 ( ) 【解析】选D.由特殊角的三角函数值得cos60= .,2.(2016无锡中考)sin 30的值为 ( ) 【解析】选A.sin 30=,3.(2017六盘水中考)三角形的两边a,b的夹角为 60且满足方程x2-3 x+4=0,则第三边长的长是 ( ) 世纪金榜导学号16104355,【解析】选A.解方程x2-3 x+4=0,得x1=2 ,x2= , 假设a=2 ,b= ,如图所示,在直角三角形ACD中, CD= cos60= ,DB=2 - = ,AD= sin60= , AB=,4.(2015庆阳中考)在ABC中,若角A,B满足 +(1-tanB)2=0,则C的大小是 ( ) A.45 B.60 C.75 D.105,【解析】选D.由题意得,cosA= ,tanB=1, 则A=30,B=45, 则C=180-30-45=105.,考点三 解直角三角形 【例3】(2016连云港中考)如图,在ABC中,C= 150,AC=4,tanB= . 世纪金榜导学号16104356,(1)求BC的长. (2)利用此图形求tan15的值(精确到0.1,参考数据: 1.4, 1.7, 2.2),【思路点拨】(1)过点A作ADBC交BC的延长线于D.由 ACB的度数ACD的度数AC=4AD的长CD的长 tanB= BD的长BC的长. (2)在BC边上取M,使CM=AC,连接AMAMC=MAC= 15tan 15= 化简得结论.,【自主解答】(1)过A作ADBC,交BC的延长线于点D,如图1所示:,在RtADC中,AC=4,ACB=150,ACD=30, AD= AC=2, CD=ACcos30=4 在RtABD中,tanB= BD=16, BC=BD-CD=16-,(2)在BC边上取一点M,使得CM=AC,连接AM,如图2所示: ACB=150, AMC=MAC=15, tan15=tanAMD= 0.270.3.,【名师点津】解直角三角形的类型及方法 (1)已知斜边和一个锐角(如c,A),其解法: B=90-A,a=csinA,b=ccosA(或b= ). (2)已知一直角边和一个锐角(如a,A),其解法: B=90-A,c= ,b= (或b= ).,(3)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法:b= , 由sinA= 求出A,B=90-A. (4)已知两条直角边a和b,其解法:c= ,由tanA= 得A,B=90-A.,【题组过关】 1.(2017烟台中考)在RtABC中,C=90,AB=2, BC= ,则sin =_. 【解析】在RtABC中,C=90,AB=2,BC= , sinA= ,A=60,sin = . 答案:,2.(2017广州中考)如图,RtABC中,C=90, BC=15,tanA= ,则AB=_. 世纪金榜导学号16104357,【解析】因为BC=15,tanA= ,所以AC=8, 由勾股定理得,AB=17. 答案:17,3.(2016上海中考)如图,在RtABC中,ACB=90, AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DEAB,垂足为点E,连接CE,求: 世纪金榜导学号16104358 (1)线段BE的长.(2)ECB的余切值.,【解析】(1)AD=2CD,AC=3,AD=2. 在RtABC中,ACB=90,AC=BC=3, A=45,AB= DEAB,AED=90,ADE=A=45, AE=ADcos45= . BE=AB-AE=2 ,即线段BE的长是2 .,(2)过点E作EHBC,垂足为点H, 在RtBEH中,EHB=90,B=45, EH=BH=EBcos45=2,又BC=3,CH=1. 在RtECH中,cotECB= 即ECB的余切值 是 .,考点四 解直角三角形的应用 【考情分析】 利用解直角三角形解决实际问题是各地中考的热点,这一类题的题型通常以解答题为主,利用直角三角形求物体的高度(宽度),解决航海问题等.,命题角度1:利用直角三角形解决和高度(或宽度)有 关的问题 【例4】(2017鄂州中考)小明想要测量学校食堂和 食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M处出发,向 前走3米到达A处,测得树顶端E的仰角为30,他又继 续走下台阶到达C处,测得树的顶端E的仰角是60,再继续向前走到大树底D处,测得食堂楼顶N的仰角为45.已知A点离地面的高度AB=2米,BCA=30,且B,C,D三点在同一直线上.,(1)求树DE的高度. (2)求食堂MN的高度.,【思路点拨】(1)先在ABC中求AC的长,再求出ACE=90,在ACE中求CE的长,最后在CDE中求DE的长. (2)延长NM交BC于点G.先求GB,BC,CD的长,得到GD的长,再在DNG中求NG的长,最后求MN的长.,【自主解答】(1)由题意,得AFBC. FAC=BCA=30. EAC=EAF+CAF=30+30=60. ACE=180-BCA-DCE =180-30-60=90.,AEC=180-EAC-ACE =180-60-90=30. 在RtABC中,BCA=30,AB=2, AC=2AB=4. 在RtACE中,AEC=30,AC=4, EC= AC=4 .,在RtCDE中,sinECD= ,ECD=60,EC=4 , sin60= ED=4 sin60=4 =6(米). 答:树DE的高度为6米.,(2)延长NM交BC于点G,则GB=MA=3.,在RtABC中,AB=2,AC=4, BC= 在RtCDE中,CE=4 ,DE=6, CD= GD=GB+BC+CD=,在RtGDN中,NDG=45, NG=GD=3+4 . MN=NG-MG=NG-AB=3+4 -2 =(1+4 )米. 答:食堂MN的高度为(1+4 )米.,命题角度2:利用直角三角形解决航海问题 【例5】(2017十堰中考)如图,海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60方向上,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?,【思路点拨】作ACBD于点C,设AC=x海里,由三角函数计算BC,CD的长,进而求得AC的长,通过比较AC的长度与8海里的大小关系进行作答.,【自主解答】作ACBD于C,由题意知ABC=30, ADC=60,设AC=x海里,则BC= x海里,DC= x海里, 因为BC-CD= x- x=12,所以x=6 海里. 因为6 8, 所以渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.,命题角度3:利用直角三角形解决坡度问题 【例6】(2017达州中考)如图,信号塔PQ座落在坡度 i=12的山坡上,其正前方直立着一警示牌.当太阳光 线与水平线成60角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的 影子QN长为2 米,落在警示牌上的影子MN长为3米, 求信号塔PQ的高.(结果不取近似值) 世纪金榜导学号16104359,【思路点拨】过点M作MFPQ于点F,过点Q作QEMN于点E,分别解RtQEN和RtMFP,求出EN,PF即可求出PQ的高.,【自主解答】过点M作MFPQ于点F,过点Q作QEMN于点E,i=12,设EN=k,QE=2k, 由勾股定理可得QN= k=2,EN=2,FM=QE=4, FQ=ME=MN-NE=3-2=1. 在RtPFM中,FPM=180-90-60=30,PMF=60, PF=FMtan60=4 , PQ=FQ+PF=(1+4 )米. 答:信号塔PQ的高为(1+4 )米.,【名师点津】解决解直角三角形的实际问题,有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来,再根据以下方法和步骤解决: (1)根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系.,(2)若三角形是直角三角形,根据边角关系进行计算,若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找准三角形.,【题组过关】 1.(2017温州中考)如图,一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米,已知cos= ,则小车上升的高度是 ( ) A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米,【解析】选A.在直角三角形中,小车水平行驶的距离为13cos=12米, 则由勾股定理得到其上升的高度为 =5(米).,2.(2017烟台中考)如图,数学实践活动小组要测量 学校附近楼房CD的高度,在水平地面A处安置测倾器测 得楼房CD顶部点D的仰角为45,向前走20米到达A 处,测得点D的仰角为67.5.已知测倾器AB的高度为 1.6米,则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米, 1.414) ( ),A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米,【解析】选C.设BB交DC于点C, 则 BB=BC-BC, 解得DC34.14. DC34.14+1.635.7.,3.(2017山西中考)如图,创新小组要测 量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组 成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A 的仰角为54.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树 的高度为_米(结果保留一位小数.参考数 据:sin540.8090,cos540.5878,tan54 1.3764). 世纪金榜导学号16104360,【解析】由题知BD=CE=1.5,在RtADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtanACD=10tan54101.3764 =13.764,所以AB=AD+BD13.764+1.5=15.26415.3. 答案:15.3,4.(2017天津中考)如图,一艘海轮位 于灯塔P的北偏东64方向,距离灯塔 120海里的A