动态电路时域分析.ppt

重 点 1电路微分方程的建立 2微分方程解的物理意义 3. 三要素法,第4章 动态电路时域分析,本章作业：,4.7 (初始值) 4.8 (初始值) 4.10零输入(三要素法) 4.11零状态(三要素法) 4.18 (阶跃函数) 4.19 (阶跃响应),电感线圈,把金属导线绕在一骨架上构成一实际电感线圈，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种抵抗电流变化、储存磁能的部件。, (t)N (t),4.1 动态电路元件,4.1.1 电感元件,任何一个二端元件，如果在任意时刻的 电压和电流之间的关系总可以由自感磁通链-电流（-i）平面上的一条过原点的曲线所决定，则此二端元件称为电感元件。,1. 定义:,2线性时不变电感元件的韦安特性曲线,线性时不变电感的特性曲线,任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁链 成正比。 i 特性为过原点的直线。,3符号： L 4单位：亨利H、毫亨(mH) 、微亨(H) 5 . 元件符号与图形： 6 分类：线性、非线性，时不变、时变,1H=103 mH 1 mH =103 H,因为 ，而,(u、i关联),电感元件VCR的微分关系,电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与 i 的大小无关，电感是动态元件； 当i为常数(直流)时，u =0。电感相当于短路； 实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数。,7电感元件的伏安关系,所以电感元件的伏安关系为,其中,称为电感电流的初始值。,在已知电感电压uL(t)的条件下，其电流iL(t)为,电感元件VCR的积分关系,某一时刻的电感电流值与-到该时刻的所有电压值有关，即电感元件有记忆电压的作用，电感元件也是记忆元件。 研究某一初始时刻t0 以后的电感电流，不需要了解t0以前的电流，只需知道t0时刻开始作用的电压 u 和t0时刻的电流 i（t0）。,（关联方向）,8. 电感元件的功率及能量,功率：,在电压电流采用关联参考方向的情况下， 电感的吸收功率为,当p0时，电感吸收功率； 当p0时，电感发出功率。,储能：,电感在从 到任意时刻t时间内得到的能量为,若电感的 ,则任意时刻储存在电感中的能量为,电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变。 电感储存的能量一定大于或等于零。,当 时， ，电感储能增加 当 时， ，电感储能减少,9.关于电感元件的说明 电感为储能元件，并不消耗电能 电感为记忆元件，记忆电压的作用 电感为动态元件，其电压电流为微分关系 电感为电流惯性元件，即电压为有限值 时，电流不能跃变; 电感元件隔交通直，通低阻高,电容器,在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电能的部件。,电导体由绝缘材料分开就可以产生电容。,注意,4.1.2 电容元件,1定义 任何一个二端元件，如果在任意时刻的电流和电压之间的关系总可以由q - u平面上的一条过原点的曲线所决定，则此二端元件称为电容元件。,其特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容元件，否则称为非线性电容元件。,2线性时不变电容元件的库伏特性曲线,任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比。qu 特性曲线是过原点的直线。,o,3符号： C (或 c ) 4单位：法拉F 微法(F) 皮法pF 5元件符号与图形： 6分类：线性、非线性，时不变、时变,1F=106 F 1 F =106pF,C,7电容元件的伏安关系 因为 ，而 所以电容元件的伏安关系为,电容元件VCR的微分形式,某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u 的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容是动态元件； 当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电容有隔断直流作用； 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压 u 必定是时间的连续函数。,某一时刻的电容电压值与- 到该时刻的所有电流值有关，即电容元件有记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。 研究某一初始时刻t0 以后的电容电压，需要知道t0时刻开始作用的电流 i 和t0时刻的电压 u（t0）。,电容元件VCR的积分形式,8电容元件的功率及能量 功率： 储能：,某时刻电容的储能取决于该时刻电容的电压值，与电容的电流值无关。,当 时， ，电容储能增加 当 时， ，电容储能减少,9关于电容元件的说明 电容为储能元件，并不消耗电能; 电容为记忆元件，具有“记忆”电流的作用; 电容为动态元件，其电压电流为微分关系; 电容为电压惯性元件，即电流为有限值时， 电压不能跃变； 电容元件隔直通交，通高阻低.,例：流过电容 的电流波形如下图所示, 初始电压为0V.,求：1 波形 2 3 时的储能,解： 1 波形,当 时，,所以，函数 为：,当 时，,而,当 时，,波形为：,2,3 时的储能,当 时，,当 时，,当 时，,4.1.3 电感、电容的串联和并联,电感,并联：,电容,串联：,并联：,串联：,4.2 动态电路的方程,4.2.0 电路的概念,动态电路：含动态元件L、C的电路。 KCL、KVL方程仍为代数方程，而元件伏安关 系为导数或积分形式。因此描述电路的方程为 微分方程。,电阻电路：电路中仅由电阻元件和电源元件构成。 KCL、KVL方程和元件特性均为代数方程。因此描述电路的方程为代数方程。,一、 电阻电路与动态电路,4.2.1 求解动态电路的方法,一、方程建立,根据KVL列出回路电压方程为,描述动态电路的电路方程为微分方程；,电容电路,根据KCL列出电流方程为,由于,一阶电路: 只含有一个动态元件的电路， 描述电路的方程是一阶线性微分方程。,RL电路,根据KVL可得,以电容电压uC(t)作为电路响应,一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。,RLC电路,二、求解动态电路的基本步骤,1、分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2、根据基尔霍夫定律列写电路方程 3、解微分方程，得出待求量。,三、一阶微分方程的求解,1、一阶微分方程的解的分析,其解为：,特征根p,2、 的求解,齐次方程的 特征方程,输入函数的形式,3、 的求解,特解的形式,4、一阶微分方程的解的求取,4.2.2 电路的初始条件,一、几个概念,2、换路-在电路分析中，把电路与电源的接通、 切断，电路参数的突然改变，电路联接方式的突然改变等等，统称为换路。,1、稳态-当电路中的电压和电流到达不随时间而变(是一个恒定的数值)或到达随时间作周期变化时的状态。,3、过渡过程 -电路在换路时将可能改变原来的工作状态，而这种转变需要一个过程，工程上称为过渡过程（暂态过程）。,4、过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,过渡期为零,例：电阻电路,S未动作前，电路已经处于稳态:,S接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态:,过渡过程,i = 0,i = 0,例：C充电过程,前一个稳定状态,过渡过程,新的稳定状态,?,uL= 0, i(+)=Us /R,uL = 0 , i(0-) = 0,k接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路：,k未动作前，电路处于稳定状态：,例：电感电路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,过渡过程,二、初始值及换路定律,初始值为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值。 换路定律在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。,UC(0+)不能跃变原因：,t = 0+时刻：,当i()为有限值时：,uC (0+) = uC (0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压换路前后保持不变。,结论：,iL(0+)不能跃变原因：,t = 0+时刻：,当u()为有限值时：,iL (0+) = iL (0),换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流换路前后保持不变。,结论：,步骤一： ，求 、 ；,步骤二： ，根据换路定律,假设换路时刻是 t = 0,步骤三：画出 等效图；求出的其余 各初始值。,C替代成U0=uc(0+)的电压源； L替代成I0=iL(0+)的电流源。,初始值的确定：,例1,三、例题,已知：US=12V，R1=4K，R2=2K； 求：uc(0+)、ic(0+)、i1(0+)、i2(0+)。,分析：在开关动作前的旧稳态，电容C 在直流电路中相当于开路。,步骤一：求 uc(0-); 作换路前 t=0- 时电路,步骤二：求：uc(0+) 根据换路定律,步骤三：求：ic(0+)、i1(0+)、i2(0+)。 画出换路后 t=0+ 等效图;,等效图原则： C电压源: uc(0+) L电流源: il(0+)； 开关处在换路后位置。,例2,作 t=0- 时电路,(2) 计算 iL(0+),根据换路定律,(3) 计算 uL(0+); i1 (0+); i2(0+),画出 t=0 + 时的等效电路,t = 0时开关 K转换至2 , 求各初始值 。,作 t=0- 时电路 ，,例3,画出 t=0 + 时的等效电路,(3) 计算 uL(0+); i (0+); i2(0+),例4 电路在t0时已达稳定，t=0时开关S闭合， 求初始值i (0+)。,作 t=0- 时等效电路,(2) 计算 iL(0+),根据换路定律,画出 t=0 + 时的等效电路,(3) 计算 i (0+),由KVL得：,四. 求初始值的一般方法：,(1) 由换路前电路求uc(0-)和iL(0-)；,(2) 由换路定律，得uC(0+)和iL(0+)；,(3) 作t=0+等效电路：,由t=0+电路求所需的u(0+)、i(0+)。,电容用电压为uC(0+)的电压源替代；,电感用电流为iL(0+)的电流源替代。,一、概念,2零输入响应电路在无输入激励情 况下，仅由初始储能产生的响应。,4.3 一阶电路的零输入响应,1零输入电路无输入激励，仅有初始储能的电路。,一、电路方程,4.3.1 一阶RC电路的零输入响应,二、方程的求解,特征方程 ：,通解：,特征根,t,三、一阶RC电路的零输入响应曲线,经过45 的时间就可以认为放电过程基本结束。,四、时间常数,1它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。 是决定电路过渡过程中电压和电流变化快慢的物理量。,2.对于含电容的一阶电路，,电压初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小,C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大,物理含义,3 越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电 时间越长。,1时间常数是体现一阶电路电惯性特性的参数，它只与电路的结构与参数有关，而与激励无关。,时间常数,2对于含电容的一阶电路， ； 对于含电感的一阶电路，,3 越大，电惯性越大，相同初始值情况下，放电时间越长。,4一阶电路方程的特征根P为时间常数的负倒数; 它具有频率的量纲，称为“固有频率”,4.3.2 一阶 RL电路的零输入响应,其解答形式为： iL(t) = Aept,特征方程 Lp+R=0,初值 iL(0+)=iL(0-)= I0,得 A= iL(0+)= I0,一、电路方程,得,(1) iL, uL 以同一指数规律衰减到零； (2) 衰减快慢取决于 。,（3）经过3 5 过渡过程结束。,L大 W=LiL2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小,物理含义,电流初值iL(0+)一定：,（4）含电感的一阶电路的时间常数 =L/R,结论：,用yx（t）表示零输入响应，初始值认为yx（0+），那么，一阶电路的零输入响应可统一表示为,2. 衰减快慢取决于时间常数 .,RC电路 ： = RC, RL电路： = L/R,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,一阶电路的零输入响应的暂态过程电路储能元件的放电过程（它的储能逐渐消失的过程）。,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时,打开开关S，求uv,。电压表量程：50V,解,4.4 一阶电路的零状态响应,2.零状态响应电路在仅由电路的输入激励产生的响应。,1. 零状态电路又称为“零原始状态”，是指在t=0-时各个电容电压与电感电流均为零，称这种电路为“零状态电路”。,一、概念,4.4.1 一阶RC电路的零状态响应,一、电路方程,或写成,二、方程的求解,齐次方程的通解 ：,非齐次方程的特解 ：,得,代入,表 4-1 不同激励时动态电路的特解,非齐次方程的通解 ：,由初始值：,电压源为直流电压源时：,3、一阶RC电路的零状态响应曲线,1、电路方程,4.5 一阶电路的全响应,全响应当一个非零初始储能的电路在输入 激励的情况下产生的响应。,4.5.1 全响应及其分解,2、方程的求解,特征方程 ：,齐次方程的通解 ：,非齐次方程的特解 ：,非齐次方程的通解 ：,由初始值：,电压源为直流电压源时：,自由响应,强制响应,（稳态响应）,（暂态响应）,3、一阶动态电路的解的有关概念,1）自由响应（固有响应） 从电路方程的求解过程来看，其中对应的齐次方程的通解与输入函数（激励）无关，称为电路的自由（固有）响应。这一部分分量无论激励如何，都具有 的形式，在有损耗的电路中，它总是随着时间按指数规律衰减到零，也称为暂态响应。,2）强制响应（强迫响应） 电路方程解中的特解部分与电路的激励形式有关，或者说受到电路输入函数的约束，因此这一部分分量也被称为强制响应（forced component）。如果强制响应为常量或周期函数，那么该响应也称为稳态响应（steady state response）。,（稳态响应）,（暂态响应）,强制响应(稳态解),自由响应(暂态解),全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,=,+,uC 1(0-)=0,uC2 (0-)=U0,uC (0-)=U0,4.5.2 三要素法,假如电路的响应用y(t)表示，激励用f(t)表示，那么一阶电路微分方程的一般形式可表示为,式中为一阶电路的时间常数。b为常数，其大小由电路结构和元件参数所决定。上式为一阶线性常系数非齐次微分方程。其齐次解为Ae-t/，其中A为待定常数。由于激励f(t)为直流电源，故其特解为常数，令yp(t)=K。上式的完全解为,将初始条件代入上式， 得,当t时，上式右端的第二项趋于零，于是得,y()称为响应的稳态值，它表示在直流电源作用下，t时的响应值。得,-为时间常数 。,1)、三要素法的计算公式,-为任意瞬时电路中的待求电压或电流；,-为相应所求量的初始值(t=0+时的值)；,-为相应的稳态值；,2）计算稳态值 用断路代替电容，用短路代替电感。,2、三要素法的计算步骤,4）响应曲线,3）计算时间常数,例1 图(a)所示电路，t=0时开关S闭合，闭合前电路处于稳定。求t0时的电感电流iL。,解 (1) 求iL(0+)。 开关闭合前电路处于稳定，电感看作短路，iL(0-)=Is=3A，根据换路定律，有,(2) 求iL()。,(3) 求。,(4) 求iL,例2,t=0时 ,开关K闭合，求t 0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,(1) 求uc(0+),(2) 求uc (),(4) 求uc(t),(3) 求,uc(0+)= uc(0-)= 1V,(1) 求初始值,例3,t=0时 ,开关闭合，求t 0后的iL、i1、i2,解,(2) 求稳态值,(3)求时间常数,(4) 求响应,三要素为：,三要素公式,解法二：,例4,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t),解,(1) 求uC(0+),t=0-时,电容C开路，,(2) 求uC(),画出 t=时的电路,(3) 求,(4) 求uC(t),例5 电路如图(a)所示，t0时电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。求电容电压uC和电流i.,解 (1) 求uC(0+)和i(0+). t=0-时，电容C相当于开路，故,画出 t=0 + 时的等效电路,(2) 求uC()和i().,画出 t=时的电路,(3) 求。,(4) 求uC和i。,已知：电感无初始储能t = 0 时合S1 , t =0.2s时合S2 ，求两次换路后的电感电流i(t)。,0 t 0.2s,解,例6,(0 t 0.2s),t 0.2s,(0 t 0.2s),(t 0.2s),(0 t 0.2s),( t 0.2s),4.6 一阶电路的阶跃响应,4.6.1 阶跃函数,1、单位阶跃函数,2、阶跃函数,定义,3、单位阶跃延时函数,4、延时阶跃函数,单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流源接入电路的情况。,5、阶跃函数在电路中的物理实现,单位阶跃函数的作用,在电路中模拟开关的动作,起始一个函数,延迟一个函数,分段常量信号,矩形脉冲信号与脉冲串,用单位阶跃函数表示复杂的信号,例 1,例 2,例 3,4.6.2 一阶电路的阶跃响应,