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第十节,一、最值定理,二、介值定理,闭区间上连续函数的性质,一、最值定理,(证明略),例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论.,由定理 1 可知有,证: 设,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,上有界 .,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),若 上连续, 则,曲线 y =f (x)是连续曲线,f (a) , f (b)异号,两端点 A (a, f (a), B (b, f (b) 在 x 轴,上下侧,连接A, B 的连续曲线,一定与 x 轴相交, 此,交点即为f (x) 的零值点.,A,B,几何解释:,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 不妨设A C B, 作辅助函数,则,且,由定理至少有一点,使,即,使,至少有,推论:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值 .,例1. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,在区间,内至少有,例如. 证明方程,一个根介于1,2之间 .,证: 显然,例2,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,则,证明至少存在,使,提示: 令,则,易证,1. 设,一点,2,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,3 .,设,均在,上连续,证明函数,也在
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