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文档简介

1,2-8 闭区间上连续函数的性质,2,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.间断点的分类与判别;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,复习,3,一、最大值和最小值定理,最大(小)值定义:,例如,对于在区间I上有定义的函数 f(x),如果有,使得对于任一,都有,(或,),第九节 闭区间上连续函数的性质,(小),4,定理1(最大值和最小值定理),1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,从图形上看成立.,说明:,即,对于,有,注意,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,5,如:,无最大值无最小值.,又如:,在,无最大值,有最小值0,又如:,无最大值也无最小值.,在(0,2)内,6,定理2(有界性定理),证,二、介值定理,零点定义:,在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,至少存在一,点,使得,(又叫根的存在定理).,即:,定理3(零点定理),7,几何解释:,个端点位于x轴的不同侧,,则曲线弧与x轴至少有一个,交点.,证,由零点定理知,令,8,例2,令f(x)=x5-3x-1, x1,2,则f(x)C(1,2),且f(1)=-3,f(2)=25,证,故由零点存在定理,至少存在一点x0(1,2),使得f(x0)=0,即方程x5-3x=1在x=1与x=2之间至少有一根,9,证,由零点定理,令,使,即,例3,设函数,在闭区间,上连续,,且,证明,使得,注意,10,例4,证,由零点定理知,总之,11,几何解释:,定理4,(介值定理),且在该区间的,那么,,对于A与B之间的任意一个数C,,至少有一点,使得,水平直线 y=C 至少有,一个交点.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大,值 与最小值 之间的任何值.,(证略),12,例5,因为f(x)C(x1,xn),所以f(x)在x1,xn上有最大值和最小值存在,证,13,由介值定理的推论,至少存在一点x0x1,xn,使,14,设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和为 An=A0+nA0r=A0(1+nr) 这就是单利的本利和计算公式,第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利和为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2,照此计算,n年后应得本利和为 AnA0(1r)n 这就是一般复利的本利和计算公式.,三、 极限在经济学中的应用,15,资金周转过程是不断持续进行的, 若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为 A1A(1 r/n )n,,t年后本利和为 AtA(1 r/n )nt ,,若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为 这就是连续复利公式,16,因此,在年利率为r的情形下,若采用连续复利,有: (1)已知现值为A0, 则t年后的未来值为 AtAert,,(2)已知未来值为At , 则贴现值为 A At e-rt,17,P16,9 (3)由,复合而成。,P45, 5,由,存在,可知:,18,P49,4 (1) 由于,所以,P54,1 (3),19,P54, 1 (5),解: 由于,所以,,20,P54,1 (9),解: 原式=,21,P54,2 (1) 由于,故:,即:,代入原式,有:,即:,得:,22,P62, 1 (1),P62, 1 (7),23,P66, 2 (3) 当x0时,,因此,原式=,1,,2,运算过程没有极限符号,24,1、邻域,2、特殊函数:,常函数;绝对值函数;最值函数;,符号函数;,复习 1.1,25,1、函数的基本性质:,2、复合函数的合成与分解,3、基本初等函数和初等函数,4、常用的经济学函数,复习 1.2, 1.3,26,恒有,2、收敛数列的有界性:,收敛的数列必定有界.,反之不成立:,有界的数列不一定收敛.,逆否命题成立:,无界的数列一定发散.,复习 2.1,27,恒有,定理:,复习 2.2,28,定理:,说明: 该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题,(即考察左右极限是否存在且相等).,29,1、无穷小与无穷大:,无穷小与无穷大是相对于极限过程(x的变化趋势)而言的.,一种极限是零,另一种极限是无穷大.,(1)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,重要性质,(2)在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,复习 2.3,30,1. 极限的求法:,1、代入法;,2、约零因式法;,3、无穷小的运算性质法,5、无穷小因子分出法,6、化无限为有限法,7、换元法,4、无穷小与无穷大的关系法,复习 2.4,31,二、两个重要极限,一、极限存在准则,夹逼准则 ;单调有界准则,复习 2.5,32,1、无穷小的比较,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢.,2、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换,对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,复习 2.6,33,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,2.间断点的分类与判别;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点

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