闭区间上连续函数的性质(34).ppt

1,第3章 连续性,3.1.1 函数的连续性概念 与间断点的分类 3.1.2 连续函数的性质 与初等函数的连续性 3.1.3 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性,2,3.1.3 闭区间上连续函数的性质,1 有界性定理 2 最值定理 3 零点存在定理 4 介值定理 5 一致连续性,3,1. 有界性定理,在a,b上有界.,反证法 + 致密性定理,定理3.1.8,证明：,4,证,例1. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理,使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,5,2. 最大值和最小值定理,定理3.1.9,由上确界定义，,证法：确界原理 + 致密性定理 + 迫敛性。,证法一：由确界原理，f a, b 在a, b上有上确界M.,只验证存在 x1， s.t.,f a, b,6,证法二：由确界原理，f 在a, b上有上确界M.,只需验证存在 x1， s.t.,定理3.1.9,7,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;,2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,8,3.零点定理,几何解释,定理3.1.10,9,零点定理:,设 f 在闭区间a, b上连续, 且,至少存在一点,使得,证:,(应用确界原理),记,E 非空有界数集.,(因为,且,由确界原理,E 有下确界. 设,(i),先证,因,由连续函数的保号性:,存在,使,所以,即,不妨设,E,10,(ii),再证,E,由确界的定义，,得数列,由f (x) 的连续性，及连续函数的性质，有,且,11,小结：,用确界定理证题的三个步骤：,（1）分析所要证明的点满足的所谓“临界性质”，,由此构造一个点集；,（2）由确界定理，确认点,的存在性（关键一步）；,（3）验证,就是所要求的点。,(iii),最后证,若,则,则由局部保号性:,存在,使,特别,与,矛盾,故有,E,12,例2 证明方程,一个根 .,证 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,13,例3.,证：,14,例4,证,由零点定理,15,定理3.1.11,设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 m ,一点,证 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,使,至少有,4.介值定理,16,推论1 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,推论2 闭区间上非常数的连续函数的值域为闭区间.,17,例5.,证明：,思考题：某短跑运动员跑完100米用了10秒，证明其中必有10米的距离恰好用1秒跑完.,18,连续的定义,是一个局部概念,一致连续在某个区间上“一起”连续,整体化,5.函数的一致连续性,19,在 I 上一致连续 .,显然:,定义1,小于 ,不论两点 与 在 中处于什么位置,直观地说, 在 上一致连续意味着：,只要它们的距离,就可使,20,可以看出，一致连续要求函数变化不要“太陡”,21,例6,证明：,都有,22,例7,但不一致连续 .,因为,取点,则,但,这说明,在 ( 0 , 1 上不一致连续 .,证,对任意 d0,23,例8. 证明：,证：,24,即：闭区间上的连续函数都是一致连续的.,定理5（Cantor一致连续性定理）若函数 f 在闭区间,证明方法：反证法 + 致密性定理,证,设,为 yn 的任一子列,25,26,例9.,证明：,27,在a,b,上有界;,在a,b,上达到最大值与最小值;,在a,b,上可取最大与最小值之间的任何值;,4. 当,时,使,必存在,在a,b,上一致连续;,小 结,闭区间上连续函数的性质,28,29,化为指数函数或利用公式,原式=,1. 计算：,30,2. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,31,3.,证明：,32,4.,证明：,且异号，,33,5. 证明：黎曼函数,(p,q为正整数,为既约真分数),x=0,1,或为区间(0,1)的无理数,在(0,1)内任何无理点都连续, 任何有理点处都不连续.,读题:,(1),(2),(3),使,的x有几个?,使,的x有几个?,使,的x有不会超过8个.,使,的函数值为:,使,的x不会超过:,(4),对于任意给定的,使,的x至多有几个?,(有限个!),34,5. 证明：黎曼函数,(p, q为正整数,为既约真分数),x=0,1,或为区间(0,1)的无理数,在(0,1)内任何无理点都连续,任何有理点处都不连续.,证:,先证在有理点不连续.,设,为(0,1)内的有理点.,以下证,设,则,对,(无论,如何小),在,内总可以找到无理数x, 使得,即,故R(x)在点,不连续.,35,证: 再证函数在无理点连续.,设,为无理点, 则,以下要证:,即要证:,当,时有,(i) 当x为无