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1 例例1. 如图如图，3块平行金属板块平行金属板，面积均为面积均为S，AB 间距间距 离为离为d1，AC间距离为间距离为d2，且且Sd1，d2 ，如果如果A板带板带 正电正电Q，求求 (1) B 、C板上的电荷分布板上的电荷分布 (2)若若C 板接地板接地，B 、C上的电荷分布上的电荷分布 (3)若若C、D 板接地板接地，B 、C板上的电荷分布板上的电荷分布 1 BAC 1 d 2 d 2 3 4 5 6 2 解解: : (1)(1)由静电平衡条件，可得由静电平衡条件，可得 同时，由电荷守恒，有同时，由电荷守恒，有 12 ()0S 34 ()SQ 56 ()0S 可解出可解出 1645432 , 22222 QQQQQ SSSSS 23 45 16 1 BAC 1 d 2 d 2 3 4 5 6 3 (2)若若C板接地，则板接地，则 。所以。所以 6 0 162 00 4 Q S 5 Q S (3)若若B、C板接地，则板接地，则 16 0 23 45 34 ()SQ 且同时应满足且同时应满足 12ABAC E dEd 1 BAC 1 d 2 d 2 3 4 5 6 1 BAC 1 d 2 d 2 3 4 5 6 4 即即 34 12 00 dd 联立求解得联立求解得 2 23 12 () d Q ddS 1 45 12 () d Q ddS 5 2. 如图所示如图所示在真空中有两块相距为在真空中有两块相距为 d，面积均为，面积均为 S， 带电量带电量 分别为分别为 +Q 和和 -Q 的的 平行板。平行板。 两板的线度两板的线度 远大于远大于 d，因此可忽略边缘效应。（，因此可忽略边缘效应。（作业作业6.2） 2 0 2 4d Q f 对下面几种说法你认为对还是错？对下面几种说法你认为对还是错？ 为什么？为什么？ S d +Q -Q （A）根据库仑定律，）根据库仑定律， 两板间的作用力大小为两板间的作用力大小为 错。错。 （不是点电荷间的作用力）（不是点电荷间的作用力） 【答答】 6 3 一个半径为一个半径为 R1 的金属球的金属球 A 带有总电量带有总电量 q1 ，在它外面有，在它外面有 一个同心的金属壳一个同心的金属壳 B，其内外半径分别为，其内外半径分别为 R2 和和 R3 ，带有总电量，带有总电量q （ 1） 求此系统的电荷，场强和电势的分布及其电容。求此系统的电荷，场强和电势的分布及其电容。 （ 2 ） 如果将金属求壳如果将金属求壳 B 接地，或者用导线将接地，或者用导线将 A 和和 B 连接连接 一下，结果又如何？一下，结果又如何？ R1 R2， ，R3 解：解： 设导体球壳设导体球壳B内外表面上的总电量为内外表面上的总电量为q2 ,q3 q2 q3 在导体球壳内作一个包围其内腔的高斯面，在导体球壳内作一个包围其内腔的高斯面， 由高斯定理可得由高斯定理可得 0 21 qq 再由导体球壳上电荷守恒，可得电荷分布为再由导体球壳上电荷守恒，可得电荷分布为 , 12 qq 23 qqq 1 qq 7 以过场点的同心球面作为高斯面，可求出导体内外的场强分布以过场点的同心球面作为高斯面，可求出导体内外的场强分布 为：为： 2 0 1 4r q E )( 21 RrR 2 0 1 4r qq E )( 3 Rr 场强方向均沿半径方向；导体内场强均为场强方向均沿半径方向；导体内场强均为 0 。 以无穷远处为电势零点，导体球壳和导体球的电势分别为以无穷远处为电势零点，导体球壳和导体球的电势分别为 B B rdEU A A rdEU B U q C A 1 dr r qq R 3 2 0 1 4 30 1 4R qq B rdE B A rdE B Udr r q R R 2 1 2 0 1 4 30 1 4R qq ) 11 ( 4 210 1 RR q 1 210 ) 11 ( 4 1 RR 12 210 4 RR RR 8 （ 2 ） 如果将金属球壳 如果将金属球壳 B 接地，则接地，则 UB =0，B 的外表面的外表面 电荷为电荷为 0；如果用导线将；如果用导线将 A和和 B 连接一下，则球壳连接一下，则球壳 B的外表面的外表面 上的电荷仍保持为上的电荷仍保持为 q1 +q，它外面的场强和电势均保持不变，它外面的场强和电势均保持不变， 但其内表面上的电荷都将变为但其内表面上的电荷都将变为 0，内部场强也将变为，内部场强也将变为 0。 R1 R2， ，R3 q2 A B 9 4. 一平行板电容器极板面积为一平行板电容器极板面积为 S ，分别带，分别带 Q 的两极板的间距的两极板的间距 为为d 。若将一厚度为。若将一厚度为 d ，电容率为，电容率为的电介质插入极板间隙，试求：的电介质插入极板间隙，试求： （1）静电能的改变；（）静电能的改变；（2）电场力对电介质所做得功。）电场力对电介质所做得功。 解解: +Q -Q d （1）电容器能量）电容器能量 C Q WC 2 2 1 真空中真空中 , 2 1 0 0 0 2 d S C C Q W 介质中介质中 , 2 1 0 2 d S d S C C Q W r 且且 0 2 0 2 1 , C Q WCC r r 电容器静电能的增量电容器静电能的增量 ) 11 ( 2 ) 1 1 ( 2 0 2 0 2 S dQ C Q WWW r （2）电场力作的功等于电场能量的减少量）电场力作的功等于电场能量的减少量 ) 11 ( 2 0 2 S dQ WA 静电能和电场力！静电能和电场力！ 10 （C）两板间的作用力大小为）两板间的作用力大小为 S Q q SQ qqEf QQQ0 2 00 222 d / dd )()()( （B）根据电场力的定义两板间的作用力大小为）根据电场力的定义两板间的作用力大小为 S Q q SQ qqEf QQQ0 2 00 d / dd )()()( 错。错。 （ 不应用总场强不应用总场强 E 计算）计算） 正确。正确。 【答答】 【答答】 类似的问题，作业类似的问题，作业6.18，请认真思考！，请认真思考！ 11 例例5. 如图所示如图所示，平行板电容器两极板相距平行板电容器两极板相距d，面积面积 为为S，电势差为电势差为U，其中放有一块厚为其中放有一块厚为t，面积为面积为S， 相对电容率为相对电容率为 的介质板的介质板，介质板上下两边都是空介质板上下两边都是空 气气， 忽略边缘效应忽略边缘效应。求：求： (1)介质中的电场强度介质中的电场强度E，极化强度极化强度P 和电位移和电位移D (2)极板上的电量极板上的电量Q (3)极板和介质间隙的场强极板和介质间隙的场强 (4)电容电容C r r d t 12 解解: (1)设电容器介质中和空气中的场强分别为设电容器介质中和空气中的场强分别为 E介质 介质， ，E空气 空气 ， ，则则 ()UEtEdt 介质空气 为求为求E，作如图所示左边的圆柱形高斯面作如图所示左边的圆柱形高斯面，由由E 的高斯定律的高斯定律 0 d S ESES 空气 0 E 空气 式中式中 是极板面自由电荷面密度，故是极板面自由电荷面密度，故 r d t 13 dDSD SS D 0r DE 介质 故故 00rr D E 介质 代入代入U的表达式，得的表达式，得 ()() (1) r rr UEtEdtEtEdt Etd 介质空气介质介质 介质 为求介质中的为求介质中的E ，可作图右边的圆柱形高斯，可作图右边的圆柱形高斯 面，由面，由D的高斯定理的高斯定理 r d t 14 故介质中的场强、极化强度、电位移分别为故介质中的场强、极化强度、电位移分别为 (1) rr U E td 介质 0 0 (1) (1) r e rr U PE td 介质 0 0 (1) r r rr U DE td 介质 15 00 (1) r rr UD E td 空气 方向垂直于极板，由正极板指向负极板方向垂直于极板，由正极板指向负极板 0 (1) r rr SQ C Utd 、 、 的方向垂直于极板，由带正电荷的极板的方向垂直于极板，由带正电荷的极板 指向带负电荷的极板。极板上的电量、空气间隙中的场指向带负电荷的极板。极板上的电量、空气间隙中的场 强、电容分别是强、电容分别是 E介质 PD 0 (1) r rr US QSDS td ( (2 2) )极板上的电量极板上的电量,(,(3 3) )极板和介质间隙的场强极板和介质间隙的场强,(,(4 4) )电容电容？ r d t 10 dSSD S 0 D 1r0 0 r10 1 D E r20 0 r20 2 D E 解（解（1） 例例6 一平行平板电容器充满两层厚度各为一平行平板电容器充满两层厚度各为 和和 的电介质，的电介质， 它们的相对电容率分别为它们的相对电容率分别为 和和 , 极板面积为极板面积为 . 求（求（1） 电容器的电容；（电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷面密度的值为）当极板上的自由电荷面密度的值为 时，时， 两介质分界面上的极化电荷面密度两介质分界面上的极化电荷面密度. 1 d 2 d r1 r2 S 0 2211 ddEdElEU l 12 0r1r2 () ddQ S 1 d 2 d + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - 0 1 1 + + + + + - - - - - + + + + + - - - - - 2 2 1 S 1 E 2 E 012 0r1r2 () dd 21 r20r10 1111 CC d S d S C 1 21 或等效串联等效串联 12r21r 2r1r0 dd S U Q C 1 d 2 d + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - 0 1 1 + + + + + - - - - - + + + + + - - - - - 2 2 1 E 2 E 2211 ddEdElEU l )( 2r 2 1 r 1 0 dd S Q （2）介质）介质1中的电场强度中的电场强度 0 1 01r E 介质介质2中的电场强度中的电场强度 002 2 020 , r E 10 1 1 1 () r 20 2 1 1() r 01 0 , 介质分界面处的束缚电荷密度为介质分界面处的束缚电荷密度为 21 12 000 1212 11 11()() rr rrrr 18 例例7 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分 别带上面电荷密度为别带上面电荷密度为0 的等量异号电荷，这时两板间的等量异号电荷，这时两板间 电压电压U0=300V。保持两板上电量不变，将板间一半空。保持两板上电量不变，将板间一半空 间充以相对电容率间充以相对电容率 r =5 的电介质，的电介质，求：求： （1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的）金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E, D 和板上自由电荷密度和板上自由电荷密度； （2）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束 缚电荷密度多大？缚电荷密度多大？ 0 -0 S 300 0 U d r 1 2 1 2 E1 D1 E2 D2 U 19 解解: (1) 有介质部分的场强有介质部分的场强E1 与无介质部分的场强与无介质部分的场强E2相等：相等： d U E d U E r 0 2 2 0 1 1 , ) 1 (5, 5, 212 1 r r 由电量守恒由电量守恒 ) 2 (2, 22 021021 S SS 解得解得 0201 3 1 , 3 5 r 1 2 1 2 E1 D1 E2 D2 U 电位移电位移 ; 3 , 3 5 0 22011 DD 电场强度电场强度 0 0 0 2 21 3 EE 20 （2）插入电介质前电压）插入电介质前电压 )(300 0 0 00 VddEU 插入电介质后电压插入电介质后电压 )(100 3 0 0 2 VddEU 电介质中电场强度电介质中电场强度 0 1 0 1 1 r E 电介质表面极化电荷面密度为电介质表面极化电荷面密度为 001 3 4 ) 5 1 1 ( 3 5 ) 1 1 ( r r 1 2 1 2 E1 D1 E2 D2 U 21 例例8. 如图如图，有一空气平板电容器极板面积为有一空气平板电容器极板面积为S，间间 距为距为d。现将该电容器接在端电压为现将该电容器接在端电压为U的电源上充的电源上充 电电，求极板上的电荷求极板上的电荷Q、极板间电场强度极板间电场强度E和电容和电容 器的电容器的电容C 。 (1)充足电后充足电后 (2)平行插入一块面积相同平行插入一块面积相同、厚度为厚度为 、 相对电容率为相对电容率为 的电介质板；的电介质板； (3)将上述电介质板换为相同大小的导体板时将上述电介质板换为相同大小的导体板时。 ()d r U d r 22 解解:(1)空气平板电容器的电容空气平板电容器的电容 0 0 S C d 充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度E0为为 0 0 S QU d (2)插入电介质后，视为空气平板电容器与介质插入电介质后，视为空气平板电容器与介质 平板电容器的串联平板电容器的串联 ( (2 2) )平行插入一块面积相同平行插入一块面积相同、厚度为厚度为 、相对电容相对电容 率为率为 的电介质板的电介质板？ ()d r U d 0 U E d 22 22 22 QQ UUU CC U d r 23 则此时电容器的电容为则此时电容器的电容为 02 () r r SQ C Ud 0 2 () r r SU QCU d 介质内的电场强度介质内的电场强度 2 1 () r UU E d 空气中的电场强度空气中的电场强度 2 1 () r r UU E dd 22 00 () r QQ Ud SS U d r 24 (3)插入导体板后，极板上的自由电荷与插入导体插入导体板后，极板上的自由电荷与插入导体 板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消， 与电源相接的极板将会从电源获得电荷，使间隙中与电源相接的极板将会从电源获得电荷，使间隙中 的电场增强，以维持电势差不变，并有的电场增强，以维持电势差不变，并有 33 30 () QQ Ud CS 则此时电容器的电容为则此时电容器的电容为 0 3 S C d 0 3 S QU d 导体中的电场强度为导体中的电场强度为 2 0E 空气中的电场强度为空气中的电场强度为 2 U E d (3)(3)将上述电介质板换为相同大小的导体板时？将上述电介质板换为相同大小的导体板时？ U d l + + + + - - - - 1 r 2 r 例例 9 现有一根现有一根同轴电缆同轴电缆,电缆芯电缆芯半径为半径为 r1=15mm，外圆筒内半外圆筒内半 径为径为 r2= 50mm，其间充以相对介电常数为，其间充以相对介电常数为 3.2 r 的各向同性均匀线性电介质。求当电缆芯与的各向同性均匀线性电介质。求当电缆芯与外圆筒外圆筒间的电压为间的电压为 U12=600V时，长为时，长为 l =1km 的电缆中储存的静电能是多少？的电缆中储存的静电能是多少？ 解解 ： 由电介质中的高斯定理可得：由电介质中的高斯定理可得： 1 2 00 12 ln 22 2 1 2 1 r r dr r rdEU r r rr r r 电场能量密度：电场能量密度： )ln( 12 12 rrr U E d + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ dSD S ddrdD2 r D 2 r D E r0r0 2 2 2 0012 22 21 1 2 2 ln() rr e U wE r r r 电场能量密度：电场能量密度： 静电能为静电能为 2 1 2 012 22 21 1 d2d 2 ln() r r e r U Ww Vlr r r rr )ln( )ln( 12 2 12 2 120 rr rr lU r )(109 . 1 )ln( 2 12 2 120 J rr lU r l + + +