电磁场与电磁波理论基础曹建章张正阶李景镇编著第一章答案.pdf

习 题 一 1-1在直角坐标系下，三个矢量A、B和C的分量式为 试求：（1）矢量A的单位矢量aA；（2）两矢量A和B之间的夹角； （3）AB和AB；（4）A（BC）和（AB）C；（5） （AB）C和A（BC）。 解 （1）矢量A的单位矢量为 （2）根据两矢量间的标量积，有 （3）根据 有 （4）由已知矢量，有 （5）根据 有 1-2证明三个矢量 在同一平面上。 解 三个矢量在同一平面上，必有 同理也可得到 1-3给定两矢量和，求在矢量上的投影。 解 由已知矢量，有 由此得到矢量在矢量上的投影为 1-4已知位置矢量和，求两点间的距离矢量R。 解 根据距离矢量的定义，有 1-5已知矢量和，求与矢量平行的单位矢量，并计算此单位矢量与X轴 之间的夹角。 解 令矢量A和矢量B之和为C，有 则与矢量A+B平行的单位矢量为 单位矢量C0与X轴之间的夹角设为，有 1-6将直角坐标系下的位置矢量 转换成柱坐标和球坐标系下的位置矢量。 解 根据位置矢量 首先求出相对应的位置矢量的和r，有 由此得到 1-7在球坐标系下矢量场的数学描述为 试写出该矢量场在直角坐标系下的表达式。 解 由题知 利用变换矩阵 得到 由此得到 其中 由此可见，在球坐标系下矢量场F具有比较简洁的表达式，而在直角坐 标系下，F的表达式要复杂的多。 1-8在柱坐标系下描述矢量场的数学表达式为 在圆柱=4的一点P(4, , 2)处，求 （a）矢量F垂直于该圆柱的分量； （b）矢量F相切于该圆柱的分量。 解 在圆柱面上任一点，垂直于圆柱的分量为F，而切于圆柱的分量 为F和Fz。将点P（4，2）代入矢量场的表达式，有 可知 由此得到，矢量F垂直于该圆柱的分量为 而矢量F相切于该圆柱的分量为 1-9求数量场在点P（-1，0，1）相对于距离的最大变化率，并求在 X、Y和Z方向的变化率。 解 数量场梯度的大小其物理意义就是数量场物理量相对于距离的最 大变化率，由于 将点P（-1，0，1）代入，得到 有根据方向导数的定义，得到在X、Y和Z方向的变化率分别为 1-10求数量场经过点P（1，1，2）的等值面方程。 解 数量场的等值面方程为 由于等值面过P点，则有 所以，过P点的等值面方程为 1-11求矢量场的矢量线方程。 解 由题知 根据矢量线微分方程 得到 有 ， 求解该微分方程，得到矢量线方程为 ， 即 ， 1-12求数量场在点P（2，0，-1）处沿方向的方向导数。 解 根据 得到数量场在点P处的梯度为 在点P处l的单位矢量为 由此可得，在点P处的方向导数为 1-13设，求在点P（1,-2,1）的。 解 根据直角坐标系下的梯度表达式，有 1-14设，求在P（1,-1,2）的。 解 根据直角坐标系下的散度表达式，有 1-15设，求，其中r为空间点P（x, y, z）的位置矢量的大小。 解 由题知，矢量场A仅有Ax分量，因此，根据直角坐标系下的旋度 表达式，有 1-16对于矢量场，计算以下内容验证散度定理：（a）设立方体以原 点为中心，边长为2单位，计算流出立方体的总通量；（b）计算在该立 方体中的体积分。 题1-16图 解 （a）矢量场对立方体表面的面积分为 （b）将矢量场相应分量代入散度公式，得到 散度对立方体的体积分为 由此可见，散度定理成立。 1-17对于矢量场，应用，z=0, z=4的圆柱区域验证散度定理。 解 由题知，矢量场的分量表达式为 题1-17图 根据柱坐标系下的散度表达式，有 散度的体积分为 通量的面积分为 显然，散度定理成立。 1-18设区域内的通量密度为，求穿过在XY平面上的圆面的总通量。 题1-18图 解 根据通量计算公式，把通量密度矢量代入，得到 1-19已知矢量场，计算如图所示（a）三角形路径的积分和三角形区 域的，（b）利用图（b）重新计算。 解 （a）根据环量计算公式，将矢量场代入，得到 题1-19图 根据直角坐标系下旋度计算公式，有 根据通量计算公式，将矢量场代入，得到 （b）根据环量计算公式，将矢量场代入，得到 根据通量计算公式，将矢量场代入，得到 1-20已知矢量场，计算以下积分并验证斯托克斯定理：（a）沿如图 所示的半圆路径的积分和半圆区域的积分；（b）如图所示路径重新计 算积分和。 题1-20图 解 （a）由题可知，XY平面对应的应取/2，应取， r取。而矢量 场在球坐标系下的分量为 根据 得到 则 将=/2（取常数）代入式 有 闭合线积分分三段：第一段积分=0，；第二段积分r=2，；第三段 积分=，。因此有 显然，斯托克斯定理成立。 （b）由题可知，XY平面对应的应取/2，应取， r取。同理，有 将=/2（取常数）代入式 有 闭合线积分分四段：第一段积分=0，；第二段积分r=2，；第三段 积分=/2，；第四段积分r=1，。因此有 显然，斯托克斯定理成立。 1-21求下列矢量场的散度和旋度： （1）； （2）； （3）。 解 根据直角坐标系下的散度和旋度表达式，有 （1） （2） （3） 1-22已知，求。 解 根据矢量公式 将和代入，有 1-23已知，求。 解 根据矢量公式 将和代入，得到 1-24（1）已知，求和； （2）已知，求； （3），求； （4），求。 解 （1）根据 将代入，得到 由 得到 （2）由题知， 根据 有 （3）根据 将代入，得到 （4）根据 将代入，得到 1-25两个矢量场 （1）哪一个矢量场可以由一个标量函数的梯度表示？哪一个矢量场可 以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求矢量场的源分布。 解 （1）根据直角坐标和驻坐标系下的散度和旋度公式，分别计算 矢量场A和B的散度和旋度，有 显然，矢量场A是有散无旋场，即 属于第二类场，由于梯度的旋度恒为零，所以矢量场A可表为标量场u 的