多维随机变量及其分布.ppt

1,概率论与数理统计,2,第三章 多维随机变量及其分布,3,1 二维随机变量,4,在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如, 为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况, 对这一地区的儿童进行抽查, 对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W. 在这里, 样本空间S=e=某地区的全部学龄前儿童, 而H(e), 和W(e)是定义在S上的两个随机变量. 又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定, 而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量.,5,一般, 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S=e, 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维随机向量或二维随机变量.,6,定义 设(X, Y)是二维随机变量, 对于任意实数x, y, 二元函数:,称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和Y的联合分布函数.,7,易知, 随机点(X, Y)落在矩形域 x1Xx2, y1Yy2的概率为 Px1Xx2, y1Yy2 =F(x2, y2)-F(x2, y1) -F(x1, y2)+F(x1, y1). (1.1),8,分布函数F(x, y)具有的基本性质: 1: F(x, y)是变量x和y的不减函数, 即对于任意固定的y, 当x2x1时F(x2, y)F(x1, y); 对于任意固定的x, 当y2y1时F(x, y2)F(x, y1). 2: 0F(x, y)1, 且 对于任意固定的y, F(-, y)=0, 对于任意固定的x, F(x, -)=0, F(-, -)=0, F(+, +)=1. 3: F(x, y)关于x和关于y都右连续. 4: 任给(x1, y1), (x2, y2), x1x2, y1y2, F(x2, y2)-F(x2, y1)+F(x1, y1)-F(x1, y2)0,9,(X, Y)是二维离散型的随机变量 如果二维随机变量(X, Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(xi, yj), i, j=1, 2, ., 记PX=xi, Y=yj=pij, i, j=1, 2, ., 则由概率的定义有,10,称PX=xi, Y=yj=pij, i, j=1, 2, ., 为二维离散型随机变量X和Y的分布律, 或随机变量X和Y的联合分布律. 也可用表格表示X和Y的联合分布律:,11,例1 设随机变量X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值, 另一个随机变量Y在1X中等可能地取一整数值. 试求(X, Y)的分布律. 解 由乘法公式容易求得(X, Y)的分布律, 易知X=i, Y=j的取值情况是: i=1, 2, 3, 4, j取不大于i的正整数, 且,12,于是(X, Y)的分布律为,13,将(X, Y)看成一个随机点的坐标, 则离散型随机变量X和Y的联合分布函数为,其中和式是对一切满足xix, yjy的i, j来求和的. 补充例题: 求例1中随机变量X和Y的联合分布函数. 解:由例1 所求的随机变量X和Y的联合分布律得随机变量X和Y的联合分布函数为:,14,15,二. (X, Y)是二维连续型的随机变量 与一维随机变量相似, 对于二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y), 如果存在非负的函数f(x, y)使对于任意x, y有,则称(X, Y)是连续型的二维随机变量, 函数f(x, y)称为二维随机变量(X, Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度.,16,按定义, 概率密度f(x, y)具有以下性质: 1: f(x, y)0.,3: 设G是xOy平面上的区域, 点(X, Y)落在G内的概率为,4: 若f(x, y)在点(x, y)连续, 则有,17,由性质4, 在f(x, y)的连续点处有,18,这表示若f(x, y)在点(x, y)处连续, 则当Dx, Dy 很小时 PxXx+Dx, yYy+Dyf(x, y)DxDy, 即(X, Y)落在小长方形(x, x+Dx(y, y+Dy内的概率近似等于f(x, y)DxDy. 在几何上z=f(x, y)表示空间的一个曲面, 由性质2知, 介于它和xOy平面的空间区域的体积为1, 由性质3, P(X, Y)G的值等于以G为底, 以曲面z=f(x, y)为顶面的柱体体积.,20,例2 设二维随机变量(X, Y)具有概率密度,(1)求分布函数F(x, y); (2)求概率PYX. 解 (1),21,(2) 将(X, Y)看作是平面上随机点的坐标, 即有 YX=(X, Y)G, 其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分, 于是,22,23,以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n(n2)维随机变量的情况. 一般, 设E是一个随机变量, 它的样本空间是S=e, 设X1=X1(e), X2=X2(e), ., Xn=Xn(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量(X1, X2, ., Xn)叫做n维随机向量或n维随机变量.,任给n个实数x1, x2, ., xn, n元函数 F(x1, x2, ., xn)=PX1x1, X2x2, ., Xnxn 称为n维随机变量(X1, X2, ., Xn的分布函数或联合分布函数. 它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质.,24,2 边缘分布,25,二维随机变量(X, Y)作为一个整体, 具有分布函数F(x, y). 而X和Y都是随机变量, 分别也有分布函数, 将它们分别记为FX(x), FY(y), 依次称为二维随机变量(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布函数. 边缘分布函数可以由(X, Y)的分布函数F(x, y)所确定, 事实上, FX(x)=PXx=PXx, Y=F(x, ), 即 FX(x)=F(x, ). (2.1) 同理 FY(y)=F(, y). (2.2),26,(X, Y)是二维离散型的随机变量 对于离散型随机变量, 由1.2, 2.1式可得,与第二章3.2比较, 知道X的分布律为,同样, Y的分布律为,27,记,分别称pi(i=1, 2, .)和pj(j=1, 2, .)为(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律(注意, 记号pi中的“是由pij关于j求和后得到的; 同样, pj是由pij关于i求和后得到的).,28,二. (X, Y)是二维连续型的随机变量 对于连续型随机变量(X, Y), 设它的概率密度为f(x, y), 由于,由第二章(4.1)式知道, X是一个连续型随机变量, 且其概率密度为,同样, Y也是一个连续型随机变量, 其概率密度为,称fX(x), fY(y)为(X, Y)关于X和关于Y的边缘概率密度,29,例1 一整数N等可能地在1, 2, 3, ., 10十个值中取一个值. 设D=D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N)是能整除N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出D和F的联合分布律及边缘分布律. 解 先将试验的样本空间及D, F取值的情况列如如下:,30,D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示:,31,例2 设随机变量X和Y具有联合概率密度,32,解,33,例3 二维随机变量(X, Y)的概率密度为,其中m1, m2, s1, s2, r都是常数, 且s10, s20, |r|1.称(X, Y)为服从参数m1, m2, s1, s2, r的二维正态分布, 记为(X, Y)N(m1, m2, s12, s22, r). 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,34,解,于是,35,36,由此我们得知:,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 并且不依赖于参数r.也就是说, 对于给定的m1, m2, s1, s2, 不同的r对应不同的二维正态分布, 它们的边缘分布都是一样的.这一事实表明, 单由关于X和Y的边缘分布, 一般来说是不能确定随机变量X和Y的联合分布的.,37,3 条件分布,38,(X, Y)是二维离散型随机变量 设(X, Y)是二维离散型随机变量, 其分布律为 PX=xi, Y=yj=pij, i, j=1, 2, (X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为,设pij0, 考虑在事件Y=yj条件下事件X=xi发生的概率, 也就是求条件概率 PX=xi|Y=yj, i=1, 2, .,39,由条件概率公式, 可得,易知上述条件概率具有分布律的性质:,40,定义 设(X, Y)是二维离散型随机变量, 对于固定的j, 若PY=yj0, 则称,为在Y=yj条件下的随机变量X的条件分布律. 同样, 对于固定的i, 若PX=xi0, 则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律,41,例1 在一汽车工厂中, 一辆汽车有两道工序是由机器人完成的. 其一是紧固3只螺栓, 其二是焊接2处焊点. 以X表示螺栓紧固得不良的数目, Y表示焊接点不良数目. 已知(X, Y)的分布律:,(1)求在X=1的条件下, Y的条件分布律;(2)求 在Y=0的条件下, X的条件分布律.,42,解,Y=k,0,1,2,PY=k|X=1,6/9,2/9,1/9,43,例2 一射手进行射击, 击中目标的概率为p (0p1), 射击直至击中目标两次为止. 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数, 以Y表示总共进行的射击次数, 试求X和Y的联合分布律及条件分布律.,解 按题意Y=n表示在第n次射击时击中目标, 且在第1次, 第2次, ., 第n-1次射击中恰有一次击中目标. 已知各次射击是相互独立的, 于是不管m(mn)是多少, 概率PX=m, Y=n都应等于,44,即得X和Y的联合分布律为 PX=m,Y=n=p2qn-2, n=2, 3, .; m=1, 2, ., n-1.,45,于是由(3.1), (3.2)式得到所求的条件分布律为,46,二. (X, Y)为连续型随机变量 如(X, Y)为连续型随机变量, 概率密度为f(x, y), 其关于Y的边缘概率密度为fY(y), 给定y, 对于一固定的非常小的正数e0, 如Py0,47,定义 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y), (X, Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y).,48,49,50,例3 设G是平面上的有界区域, 其面积为A. 若二维随机变量(X, Y)具有概率密度,则称(X, Y)在G上服从均匀分布. 现设二维随机变量(X, Y)在圆域x2+y21上服从均匀分布, 求条件概率密度fX|Y(x|y).,51,解 由假设知随机变量(X, Y)具有概率密度,因为,52,而y的边缘概率密度为: y 0 x,53,于是当-1y1时有,54,例4 设数X在区间(0, 1)上随机地取值, 当观察到X=x(0x1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值. 求Y的概率密度fY(y). 解 按题意X具有概率密度,对任意给定的值x(0x1), 在X=x条件下, Y的条件概率密度为,55,由(3.4)式得X和Y的联合概率密度为,于是得关于Y的边缘概率密度为,56,4 相互独立的随机变量,57,定义 设F(x, y)及FX(x), FY(y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有x, y有 PXx, Yy=PXxPYy, (4.1),即 F(x, y)=FX(x)FY(y), (4.2) 则称随机变量X和Y是相互独立的.,58,设(X, Y)是连续型随机变量, f(x, y), fX(x), fY(y)分别为(X, Y)的概率密度和边缘概率密度, 则X和Y相互独立的条件(4.2)等价于 f(x, y)=fX(x)fY(y) (4.3) 几乎处处1成立.,注1: 此处“几乎处处成立“的含义是: 在平面上除去“面积“为零的集合以外, 处处成立.,59,当(X, Y)是离散型随机变量时, X和Y相互独立的条件(4.2)式等价于: 对于(X, Y)的所有可能取的值(xi, yj)有 PX=xi, Y=yj=PX=xiPY=yj. (4.4),60,例1 设随机变量X和Y的概率密度为,故有 f(x, y)=fX(x)fY(y), 因而X, Y是相互独立的.,61,例2 若X, Y具有联合分布律,求证: X、Y是相互独立的.,62,例3 求证: 2例1中的随机变量F和D, 不相互独立 证： D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示: 证由于PD=1, F=0=1/10 PD=1PF=0=(1/10)(1/10). 因而F和D不是相互独立的.,63,例4: 问二维正态随机变量X和Y是否相互独立？ 解：(X, Y)的概率密度为,其边缘概率密度 的乘积为:,.,64,由此可以看出, 如果=0, 则对于所有的x, y 都有f(x,y)=fX(x)fY(y), 即有X和Y相互独立 反之, 如果 X和Y相互独立, 由于f(x,y), fX(x), fY(y) 都是连续函数, 故对于所有的x, y 都有 f(x,y)=fX(x)fY(y), 从而,65,由此得出结论：二维正态随机变量X和Y相互独立的充要条件是=0,66,例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率. 解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为,67,因为X, Y相互独立, 故(X, Y)的概率密度为,按题意需要求概率P|X-Y|1/12. 画出区域: |x-y|1/12, 以及长方形8x12; 7y9, 它们的公共部分是四边形BCCB, 记为G. 显然仅当(X, Y)取值于G内, 他们两人到达的时间相差才不超过1/12小时. 因此, 所求的概率为,68,69,而G的面积=ABC的面积-ABC的面积,即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48.,70,以上关于二维随机变量的一些概念, 容易推广到n维随机变量的情况. n维随机变量(X1, X2, ., Xn)的分布函数的定义为 F(x1, x2, ., xn)=PX1x1, X2x2, ., Xnxn 其中x1, x2, ., xn为任意实数.,71,若存在非负函数f(x1, x2, ., xn), 使得对于任意实数x1, x2, ., xn有,则称f(x1, x2, ., xn)为(X1, X2, ., Xn)的概率密度函数.,72,设(X1, X2, ., Xn)的分布函数F(x1, x2, ., xn)为已知, 则(X1, X2, ., Xn)的k(1kn)维边缘分布函数就随之确定. 例如(X1, X2, ., Xn)关于X1, 关于(X1, X2)的边缘分布函数分别为,73,又若f(x1, x2, ., xn)是(X1, X2, ., Xn)的概率密度, 则(X1, X2, ., Xn)关于X1, 关于(X1, X2)的边缘概率密度分别为,74,若对于所有的x1, x2, ., xn有,则称X1, X2, ., Xn是相互独立的.,75,若对于所有的x1, x2, ., xm; y1, y2, ., yn有 F(x1, x2, ., xm, y1, y2, ., yn) =F1(x1, x2, ., xm)F2(y1, y2, ., yn), 其中F1, F2, F依次为随机变量(X1, X2, ., Xm), (Y1, Y2, ., Yn)和(X1, X2, ., Xm, Y1, Y2, ., Yn)的分布函数, 则称随机变量(X1, X2, ., Xm)和(Y1, Y2, ., Yn)是相互独立的.,76,定理 设(X1, X2, ., Xm)和(Y1, Y2, ., Yn)相互独立, 则Xi(i=1, 2, ., m)和Yj(j=1, 2, ., n)相互独立. 又若h, g是连续函数, 则h(X1, X2, ., Xm)和g(Y1, Y2, ., Yn)相互独立.,77,5 两个随机变量的函数的分布,78,(一) Z=X+Y的分布 设(X, Y)的概率密度为f(x, y), 则Z=X+Y的分布函数为,这里积分区域G:x+yz是直线x+y=z及其左下方的半平面, 化成累次积分, 得,79,80,于是,81,由概率密度的定义, 即得Z的概率密度为,由X, Y的对称性, fZ(z)又可写成,82,特别, 当X和Y相互独立时, 设(X, Y)关于X, Y的边缘概率密度分别为fX(x), fY(y), 则(5.1)(5.2)式分别化为,这两个公式称为卷积公式, 记为fX * fY, 即,83,例1 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从N(0, 1)分布, 其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度.,84,解 由(5.4)式,即Z服从N(0, 2)分布.,85,一般, 设X, Y相互独立, 且XN(m1, s12), YN(m2, s22). 由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布, 且有ZN(m1+m2, s12+s22).,这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况.即若XN(mi, si2)(i=1, 2, ., n), 且它们相互独立, 则它们的和Z=X1+X2+.+Xn仍然服从正态分布, 且有ZN(m1+m2+.+mn, s12+s22+.+sn2).,更一般地, 可以证明有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,86,例2 在一简单电路中, 两电阻R1和R2串联联接, 设R1, R2相互独立, 它们的概率密度均为,求总电阻R=R1+R2的概率密度.,87,解 由(5.4)式, R的概率密度为,易知仅当,时上述积分的被积函数不等于零.,88,z,x,O,10,20,x=10,x=z,x=z-10,89,因此,将f(z)的表达式代入上式得,90,例3 设X1, X2相互独立且分别服从参数为a1, b ; a2, b的G分布(分别记成X1G(a1, b), X2G(a2, b), X1, X2的概率密度分别为,试证明X1+X2服从参数为a1+a2, b的G分布.,91,证 由(5.4)式知, 当x0时, Z=X1+X2的概率密度fZ(z)=0. 而当z0时, Z=X1+X2的概率密度为,92,现计算A, 由概率密度的性质得到:,93,于是,亦即Z= X1+X2服从参数为a1+a2, b的G分布, 即X1+X2G(a1+a2, b). 上述结论还能推广到n个相互独立的G分布变量之和的情况. 即若X1, X2, ., Xn相互独立, 且Xi服从参数为ai, b(i=1, 2, ., n)的G分布, 则X1+X2+.+Xn服从参数为a1+.+an, b的G分布.,(二) Z=YX, Z=XY的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=YX, Z=XY的密度函数分别为,当 X, Y 独立时,95,(三) M=max(X, Y)及N=min(X, Y)的分布 设X, Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y). 现在来求M=max(X, Y)及N=min(X, Y)的分布函数.,由于M=max(X, Y)不大于z等价于X和Y都不大于z, 故有 PMz=PXz, Yz.,又由于X和Y相互独立, 得到M=max(X, Y)的分布函数为 Fmax(z)=PMz=PXz, Yz =PXzPYz,96,即有 Fmax(z)=FX(z)FY(z) (5.11),类似地, 可得N=min(X, Y)的分布函数为 Fmin(z)=PNz=1-PNz =1-PXz, Yz=1-P(XzPYz 即 Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z