线性规划及数列错位相减法求和复习与小结.ppt

线性规划及错位相减法数列求和复习与小结,一、知识结构梳理,不等关系,不等式（组）,二元二次不等式,一元二次不等式,基本不等式,3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域,沪教院福田实验学校 高二,结论： 1.二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）,2.直线定界，特殊点定域。,由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。,同侧同号，异侧异号,一般在C0时，取原点作为特殊点。,y -3x+12 x2y,的解集。,例2、用平面区域表示不等式组,三、例题示范：,例2、画出不等式组 表示的平面区域 (2)求区域围成的面积,x-y+5=0,x+y=0,x=3,(1),例3：根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：,(2),(3),(4),(5),(6),变式、 由直线x+y+2=0,x+2y+1=0，2x+y+1=0和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。,4.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 （ ） A.m10 B.m=-5或m=10 C.-5m10 D.-5m10 解析 由题意可得(21+3+m)2(-4)-2+m0， 即(m+5)(m-10)0,-5m10.,C,问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 求z的最大值与最小值。,二、线性规划复习,线性规划,问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件： 求z的最大值与最小值。,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,线性规划,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题,可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；,可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；,最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。,可行域,19,解线性规划问题的步骤：,（1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；,（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；,（3）4、求：通过解方程组求出最优解；,（4）5、答：作出答案。,1、找 找出线性约束条件、目标函数；,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为 2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为 （2，2），则Zmax3,例7 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的 利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元， 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润 Z万元。,目标函数为：,可行域如图。,把z=x+0.5y变形为,得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。,由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过 可行域上的点M时，截距2z最大，即 Z最大。,解方程组,得M的坐标为（2，2）,所以,答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够 产生最大利润，最大利润为3万元。,练习：P91 T2,二、练习,1、求z2xy的最大值，使x、y满足约束条件：,2、求z3x5y的最小值，使x、y满足约束条件：,1.解：作出平面区域,x,y,A,B,C,o,z2xy,作出直线y=2xz的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。,求得C点坐标为（2，1），则Zmax=2xy3,2.解：作出平面区域,x,y,o,A,B,C,z3x5y,作出直线3x5y z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。,求得A（1.5，2.5），B（2，1），则Zmax=17， Zmin=11。,一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题,图1书、,解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2 与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18,二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题,【例1】.变量x、y满足条件,设z=,，求z的最小值和最大值。,解析：作出可行域，如图.当把z看作常数时，它表示直线y=zx的斜率， 因此，当直线y=zx过点A时，z最大；当直线y=zx过点B时，z最小,，,。,二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题,，,。,图2,例2、已知,则,的最小值是 .,解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而,表示可行域内一点到原点的距离的平方。 由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。最小值是为5。,点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘 目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。,二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题,，,。,【例3】实系数方程f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内， 另一个根在（1，2）内，求：,（1）,的值域； （2）（a1）2+（b2）2的值域； （3）a+b3的值域.,解：由题意知,f（0）0 f（1）0 f（2）0,b0， a+b+10， a+b+20. 如图所示. A（3，1）、B（2，0）、C（1，0）.,又由所要求的量的几何意义知，值域分别为（1）（,，1）；（2）（8，17）；（3）（5，4）.,三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。,例3、在约束条件,下，当,时，目标函数,的最大值的变化范围是（ ）,解析：画出可行域如图3所示,当,时, 目标函数,在,处取得最大值, 即,时, 目标函数,在点,处取得最大值,即,故,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。,四、已知平面区域，逆向考查约束条件。,画出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3） 为顶点的ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示 的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x2y的最大值和最小值.,分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组； 求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值. 解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求ABC区域.,直线AB的方程为x+2y1=0，BC及CA的直线方程分别为 xy+2=0，2x+y5=0.在ABC内取一点P（1，1）， 分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5得 x+2y10，xy+20，2x+y50.,因此所求区域的不等式组为,x+2y10， xy+20， 2x+y50.,下的最大值为11，最小值为5.,五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。,例1、已知x、y满足以下约束条件,，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，求a的值。,解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y5重合，故a=1，选D,五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。,例2.如图所示，,目标函数t=ax-y的可行域为OACB四边形，若当且仅当,时，目标函数取得最小值，求实数的取值范围.,五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。,例3已知变量,，,满足约束条件,。若目标函数,（其中,）仅在点,处取得最大值，则,的取值范围为 。,解析：如图5作出可行域，由,其表示为斜率为,，纵截距为的平行直线系, 要使目标函数,（其中,）仅在点,处取得最大值。则直线,过点且在直线,（不含界线）之间。即,则,的取值范围为,六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题,例1在平面直角坐标系中，不等式组,表示的平面区域的面积是（ ）,解析：如图，作出可行域，易知不等式组,表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为 （，），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：,从而选。,七、研究线性规划中的整点 最优解问题,【例1】不等式组,表示的平面区域内的整点 （横坐标和纵坐标都是整数的点） 共有_个.,解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3,解：|x|y|2等价于,例2、满足|x|y|2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）,作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D,七、研究线性规划中的整点 最优解问题,例3、某公司招收男职员x名，