贝叶斯统计复习.doc

贝叶斯统计习题 1. 设是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为 （1） （2）求的后验分布。解：2 设是来自均匀分布的一个样本，又设的先验分布为Pareto分布，其密度函数为其中参数，证明：的后验分布仍为Pareto分布。解：样本联合分布为： 因此的后验分布的核为，仍表现为Pareto分布密度函数的核即即得证。3 设是来自指数分布的一个样本，指数分布的密度函数为，（1） 证明：伽玛分布是参数的共轭先验分布。（2） 若从先验信息得知，先验均值为0.0002，先验标准差为0.0001，确定其超参数。解：4. 设一批产品的不合格品率为，检查是一个接一个的进行，直到发现第一个不合格品停止检查，若设X为发现第一个不合格品是已经检查的产品数，则X服从几何分布，其分布列为 假如只能以相同的概率取三个值1/4, 2/4, 3/4，现只获得一个观察值，求的最大后验估计。解：的先验分布为在给定的条件下，X=3的条件概率为联合概率为X=3的无条件概率为的后验分布为5。设是来自如下指数分布的一个观察值，取柯西分布作为的先验分布，即求的最大后验估计。解 后验密度6. 设是来自均匀分布的一个样本，又设服从Pareto分布，密度函数为求的后验均值和后验方差。解：的先验分布为：令可得后验分布为：则的后验期望估计为：，后验方差为：.7. 设x服从伽玛分布，的分布为倒伽玛分布，（1） 证明：在给定x的条件下，的后验分布为倒伽玛分布。（2） 求的后验均值与后验方差。解：由可以得出 （1）的后验分布为：即为倒伽玛分布的核。所以的后验分布为（2）后验均值为后验方差为8. 对正态分布作观察，获得三个观察值：2，3，5，若的先验分布为，求的0.95可信区间。9. 设某电子元件的失效时间X服从指数分布，其密度函数为若未知参数的先验分布为倒伽玛分布。计算该种元件在时间200之前失效的边缘密度。解：10. 设相互独立，且。若是来自伽玛分布的一个样本，找出对的联合边缘密度。解：11. 某厂准备一年后生产一种新产品，如今有三个方案供选择：改建本厂原有生产线（）,从国外引进一条自动化生产线（）；与兄弟厂协助组织“一条龙”生产线（）。厂长预计一年后市场对此产品的需求量大致可分为三种：较高（）；一般（）；较低（）。假设其收益矩阵为（单位：万元），假设厂长根据自己对一年后市场需求量是高，中，低，给出的主观概率分别为0.6,0.3，0.1。求在悲观准则，乐观准则，和先验期望准则下的最优行动。解：悲观准则下：首先行动，的最小收益分别为-200，-800，-30,。然后选出其中最大的收益为-30，从而最优行动为乐观准则下：首先行动，的最大收益分别为700，980，400,。然后选出其中最大的收益为980，从而最优行动为。 先验期望准则下：各行动的先验期望收益为 从而最优行动为。12. 某水果店准备购进一批苹果投放市场，市场需求量和采购量都在500至2000公斤之间，已知其收益函数为，假设的先验分布为 上的均匀分布，该店应购进多少苹果可使先验期望收益最大？解：先验期望收益为当a=1343时，先验期望达到最大，故应购进1343公斤苹果。 13. 设某决策问题的收益函数为，若服从上的均匀分布，（1） 求该决策问题的损失函数。（2） 在先验期望损失最小的原则下寻求最优行动。解：14. 一位卖花姑娘每晚购进鲜花第二天去卖，假设每束花的购进价格为1元，售价为6元，若当天卖不掉，因枯萎而不能再卖。根据经验一天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。（1） 写出状态集和行动集。（2） 写出收益函数。（3） 在折中准则下，对乐观系数的不同值，讨论卖花姑娘前一天