八年级数学上册第二章等腰三角形知识点与同步训练（含解析）（新版）[苏科版].doc

等腰三角形知识精讲等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等2等腰三角形的三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合证明：是等腰三角形，作底边的高，由等腰三角形是轴对称图形，底边上的高是的对称轴可知，对称轴左右两边的三角形完全相等，即，得，等腰三角形三线合一及其逆定理：一个三角形如果一条边上的中线，高线以及这条边所对角的平分线有两条互相重合，则这个三角形是等腰三角形等腰三角形的判定：1如果一个三角形有两个角相等，那么着两个角所对的边也相等补充：1如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形（需要证明）补充：角平分线遇平行线产生等腰三角形，分，两种情况：图甲 432ODECBA1图乙a如图甲：一直线与角的一边平行，即为等腰三角形b如图乙：一直线与角的平分线平行，即为等腰三角形等腰三角形遇角平分线产生平行线a 如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b 如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行等腰三角形遇平行线产生角平分线a 如图甲：与一腰平行b 如图乙：与底边平行角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或者作其二，寻找发现其三这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能等腰三角形因为有两条边相等，两个角相等，天然具备证明三角形全等的一些条件，再结合等腰三角形三线合一及其逆定理，使得等腰三角形与全等三角形的综合问题经常作为各种考试中的重难点题目来考察另外轴对称的两个图形是全等的，同时我们也可以利用轴对称主动翻折来构造全等三角形，这也是考试中的一个难点三点剖析重难点1等腰三角形的三线合一及其逆定理2角平分线、平行线、等腰三角形知二推一3等腰三角形与全等三角形综合问题考点1等腰三角形的性质和判定2等腰三角形的三线合一及其逆定理3角平分线、平行线、等腰三角形知二推一4等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论题模精讲题模一：等边对等角例1.1.1 如图，在ABA1中，B=20，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；，按此做法进行下去，An的度数为【答案】 80 2n-1【解析】 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出CA2A1，DA3A2及EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键在ABA1中，B=20，AB=A1B，BA1A=80，A1A2=A1C，BA1A是A1A2C的外角，CA2A1=40；同理可得，DA3A2=20，EA4A3=10，An=故答案为：题模二：三线合一例1.2.1 如图，ABC中，AD是BC边上的中线，且，则的度数为（ ）ABCDEA B C D 【答案】B【解析】 该题考查的是三角形的性质，AD是BC边上的中线，故该题答案为B例1.2.2 在RtABC中，CDAB于D，BAC的平分线AF交CD于E，交BC于F，CMAF于M，求证：【答案】 见解析【解析】 ，CDAB，又BAC的平分线AF交CD于E，又，又CMAF，题模三：等角对等边例1.3.1 已知：如图，平分，求证：是等腰三角形【答案】 见解析【解析】 作于，于平分，即，是等腰三角形例1.3.2 如图，在中，、分别是和的角平分线，且，则的周长是_【答案】 5【解析】 、分别是和的角平分线，的周长题模四：角平分线，平行线，等腰三角形知二推一例1.4.1 如图，D为内一点，CD平分，若，则BD的长为（ ）ABCD（第6题）A 2B 1C D 【答案】A【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理延长BD与AC交于点E，CD平分，BEC为等腰三角形，所以答案选A例1.4.2 如图，在梯形ABCD中，ABDC，ADC的平分线与BCD的平分线的交点E恰在AB上若AD=7cm，BC=8cm，则AB的长度是_cm【答案】 15 【解析】 ADC的平分线与BCD的平分线的交点E恰在AB上，1=2，3=4，ABDC，2=5，3=6，1=5，4=6，AE=AD，BE=BC，AD=7cm，BC=8cm，AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）故答案为：15例1.4.3 如图，在ABC中，AB=AC，AD是高，AM是ABC外角CAE的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断ADF的形状（只写结果）【答案】 （1）见解析；（2）等腰直角三角形【解析】 （1）如图所示：（2）ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：AB=AC，ADBC，BAD=CAD，AF平分EAC，EAF=FAC，FAD=FAC+DAC=EAC+BAC=180=90，即ADF是直角三角形，AB=AC，B=ACB，EAC=2EAF=B+ACB，EAF=B，AFBC，AFD=FDC，DF平分ADC，ADF=FDC=AFD，AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形题模五：等腰三角形与全等三角形综合例1.5.1 如图1，在中，的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、MABCMElNHDOlNHAABBCCDOOD图1图2图3（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系【答案】 （1）见解析（2）（3）当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质（1）证明：连接NDAO平分BAC，直线lAO于H，AH是线段NC的中垂线，；（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为证明：过点C作CNAO交AB于N由（1）可得，过点C作CGAB交直线l于G，M是BC中点，在BNM和CGM中，1.BNMCGM（ASA）（3）BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，随堂练习随练1.1 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分ABC，A=36，则1的度数为（）A 36B 60C 72D 108【答案】C【解析】 A=36，AB=AC，ABC=C=72，BD平分ABC，ABD=36，1=A+ABD=72随练1.2 如图，在ABC中，AD平分，于G，交AB、AC及BC的延长线于E、M、F，则_M【答案】 【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一，AD平分又ADEF即又CFM的外角随练1.3 如图，ABC中，AD是BAC的平分线，DE/AB交AC于点E，若，则（ ）A 11B 12C 13D 14【答案】B【解析】 该题考查的是等腰三角形的判定DE/AB，又该题的答案是B随练1.4 如图，在ABC中，B与C的平分线交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E若AB=5，AC=4，则ADE的周长是_【答案】 9 【解析】 此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质此题难度适中，注意证得DOB与EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用由在ABC中，B与C的平分线交于点O，过点O作DEBC，易证得DOB与EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案在ABC中，B与C的平分线交于点O，DBO=CBO，ECO=BCO，DEBC，DOB=CBO，EOC=BCO，DBO=DOB，ECO=EOC，OD=BD，OE=CE，AB=5，AC=4，ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9故答案为：9随练1.5 如图，在ADC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点，求证：（1）MDE是等腰三角形；（2）MNDE【答案】 见解析【解析】 （1）如图，在ABD中，ADBD，则ABD是直角三角形，AB是斜边M是AB的中点，同理MDE是等腰三角形；（2）由（1）知，MDE是等腰三角形N是ED的中点，MN平分DE，MNDE随练1.6 已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M（1）求证：AB=CD；（2）若BAC=2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由【答案】 （1）见解析（2）F=MCD；理由见解析【解析】 （1）证明：AF平分BAC，CAD=DAB=BAC，D与A关于E对称，E为AD中点，BCAD，BC为AD的中垂线，AC=CD在RtACE和RtABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）CAD+ACE=DAB+ABE=90，CAD=DAB，ACE=ABE，AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），AB=CD（2）解：F=MCD，理由如下：BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，AC=CD，CAD=CDA，MPC=CDA，MPF=CDM，AC=AB，AEBC，CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），AM为BC的中垂线，CM=BM（注：证全等也可得到CM=BM）EMBC，EM平分CMB（等腰三角形三线合一）CME=BME（注：证全等也可得到CME=BME），BME=PMF，PMF=CME，MCD=F（注：证三角形相似也可得到MCD=F）随练1.7 如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BAD=BCE=90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：ACN为等腰直角三角形；（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）成立，证明见解析【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题（1）证明：如图1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM点M为DE的中点，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM为AN的中点（2）证明：如图2，BAD和BCE均为等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三点在同一直线上，ABC=180-CBE=135ABC=NECADMNEM（已证），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形（3）ACN仍为等腰直角三角形证明：如图3，延长AB交NE于点F，ADNE，M为中点，易得ADMNEM，AD=NEAD=AB，AB=NEADNE，AFNE，在四边形BCEF中，ACN=BFE=90FBC+FEC=360-180=180FBC+ABC=180ABC=FEC在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN为等腰直角三角形自我总结 课后作业作业1 如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，若A=70，则An的度数为（）A B C D 【答案】C【解析】 在ABA1中，A=70，AB=A1B，BA1A=70，A1A2=A1B1，BA1A是A1A2B1的外角，B1A2A1=35；同理可得，B2A3A2=17.5，B3A4A3=17.5=，An1AnBn1=作业2 如图，在ABC中，BAC=120，B=40，若将ABC分割成两个等腰三角形，则这两个等腰三角形的顶角的度数分别是（ ）A 100、140或100、20B 100、140C 100、20D 140、20【答案】A【解析】 本题考查的是等腰三角形分两种情况：如图1，把的角分为和，则ABD与ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是，；把的角分为和，则ABD与ACD都是等腰三角形，其顶角的度数分别是，故此题选A作业3 如图，已知：ABC中，D是BC上一点，且，求BAC的度数【答案】 【解析】 题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠是无法求出来的因此需要考虑和在题目中的作用此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求因为，所以因为，所以；因为，所以（等边对等角）而所以所以又因为即，所以即求得作业4 如图，在RtABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则DCE的大小为_【答案】 45 【解析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=