高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学案苏教版选修.docx

1.3.3最大值与最小值学习目标重点难点1知道函数的最大值与最小值的概念2能够区分函数的极值与最值3会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.重点：函数在闭区间上的最值的求解难点：与函数最值有关的参数问题.1最大值与最小值(1)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有_，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值_(2)如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有_，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值_2求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在区间(a，b)上的_；(2)将第(1)步中求得的_与_，_比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值预习交流1做一做：函数yxsin x，x的最大值是_预习交流2做一做：函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为_预习交流3(1)函数的极值与最值有何区别与联系？(2)如果函数f(x)在开区间(a，b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在(a，b)上是否一定有最值？若f(x)在闭区间a，b上的图象不连续，那么它在a，b上是否一定有最值？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习导引1(1)f(x)f(x0)惟一(2)f(x)f(x0)惟一2(1)极值(2)极值f(a)f(b)预习交流1：提示：y1cosx0，yxsinx在上是增函数，ymax.预习交流2：提示：f(x)3x23a3(x2a)，f(x)在(0,1)内有最小值，方程x2a0有一根在(0,1)内，即x在(0,1)内，01,0a1.预习交流3：提示：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值(2)一般地，若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么f(x)在闭区间a，b上必有最大值和最小值这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最大值和最小值一、求函数在闭区间上的最值求下列函数的最值：(1)f(x)x33x，x，；(2)f(x)sin 2xx，x.思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解1函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值分别是_2求函数y536x3x24x3在区间2,2上的最大值与最小值1求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值2求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论二、与最值有关的参数问题的求解已知当a0时，函数f(x)ax36ax2b在区间1,2上的最大值为3，最小值为29，求a，b的值思路分析：先求出函数f(x)在1,2上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值若函数f(x)x33x29xa在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值1已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值2含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件a0，从而判断出f(2)是最小值若题目条件中没有“a0”这一条件，需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在1,2上的最大值和最小值三、函数最大值、最小值的参数应用设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)由(1)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围思路分析：第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)2tm，得h(t)2tm，可转化为函数g(t)h(t)2t在区间(0,2)上的最大值小于m时，实数m的取值范围的问题若不等式x32x5m对一切x1,2恒成立，求实数m的取值范围1当不等式恒成立时，求参数的取值范围问题是一种常见的题型这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解2一般地，若不等式af(x)恒成立，a的取值范围是af(x)max；若不等式af(x)恒成立，则a的取值范围是af(x)min.1函数f(x)x24x1在1,5上的最大值和最小值分别是_2函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_3函数f(x)asin xsin 3x在x处有极值，那么a_.4函数f(x)sin2x在上的最大值是_，最小值是_5若函数f(x)x22x3在区间a,2上的最大值为，则实数a的值为_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)0220由上表可知：当x1时，f(x)取得最大值，f(x)maxf(1)2.当x1时，f(x)取得最小值，f(x)minf(1)2.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)00f(x)由上表可知：当x时f(x)取得最大值f，当x时f(x)取得最小值f.迁移与应用：11，2解析：f(x)3x24x.令f(x)0，有3x24x0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)02f(x)00f(x)211从上表可知，最大值是1，最小值是2.2解：y366x12x2，令12x26x360，解得x12，x2.所以f(2)57，f28，f(2)23.所以函数的最大值为57，最小值为28.活动与探究2：解：f(x)3ax212ax3ax(x4)，由f(x)0，解得x0或x4.在区间1,2上x0是极值点由于a0，当1x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.f(x)在区间1,0上是增函数，在区间0,2上是减函数f(0)b为极大值，也是最大值又f(1)a6ab7ab，f(2)8a24ab16ab，f(1)f(2)，f(0)为最大值，f(2)为最小值，则解得迁移与应用：解：f(x)3x26x9，令f(x)0，得x1或3，但x2,2，故只取x1.当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0.x1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在2,2上的最小值，即f(x)minf(1)a5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)81218aa22，f(2)81218aa2，a22a2，f(x)maxa2220，a2.此时f(x)mina57.活动与探究3：解：(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1，由g(t)3t230，及t0得t1.当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值由上表可知当t1时，g(t)有极大值g(1)1.又在定义域(0,2)内，g(t)有惟一极值点，函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max1.h(t)2tm在(0,2)内恒成立，即g(t)m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max1m，即m1时上式成立实数m的取值范围是(1，)迁移与应用：解：令f(x)x32x5，则f(x)3x2x2.令f(x)0，即3x2x20，解得x或x1，f(1)，f5，f(1)，f(2)7，当x1,2时函数f(x)的最小值为.故要使不等式f(x)m恒成立，应有m，即m的取值范围是m.当堂检测16，3解析：f(x)2x4，令f(x)0得x2.又f(1)2，f(2)3，f(5)6，故最大值是f(5)，最小值是f(2)22解析：f(x)3x26x，令f(x)0，得x0(x2舍去)，计算f(1)2，f(