自动控制原理第五章频率响应法胡寿松第六版.ppt

第五章 频率响应法,5.1 频 率 特 性,5.2 典型环节和开环频率特性,5.3 奈奎斯特判据,5.4 稳 定 裕 度,5.5 闭环频率特性,End,A() 称幅频特性，()称相频特性。二者统称为频率特性。,基本概念（物理意义）,5.1 频率特性,5.2,5.3,5.4,5.5,频率特性的概念(P187),设系统结构如图，,由劳斯判据知系统稳定。,给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，,Ar=1 =0.5,=1,=2,=2.5,=4,给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入,同频率的正弦，幅值随而变，相角也是的函数。,输入,输出,输入,输出,决然不同的输入，,尽会得到如此相似的输出!？,数学本质,式中: s1,s2, sn是G(s)的极点,它们可能是实数,也可能是共轭复数.对于稳定系统来说,它们都具有负实部.,式中: a1,a2, an待定系数（留数）;,b, 待定的共轭复数.,求拉氏反变换,便得到系统的输出信号y(t),即系统对正弦输入的响应是:,对于稳定系统来说,由于极点s1,s2, sn都具有负实部,因此,当t时,其相应的指数项 都将衰减为零.因此,系统的稳态输出为:,式中的待定系数b, 可按求留数的方法求得:,式中:,有:,式中: 稳态输出的幅值,是的函数.,由此可知:,线性定常系统对正弦输入信号Asint的稳态输出Ysin(t+),仍是一个正弦信号.其特点是:,.频率与输入信号相同;,.相移为 =G(j).,振幅Y和相移都是输入信号频率的函数,对于确定的值来说,振幅Y和相移都将是常量.,.振幅Y为输入振幅A的 倍;,a) 函数图,b) 向量图,A,输入、输出关系也可以用函数图和向量图表示如下:,频率特性的定义,幅频特性 及相频特性G(j)统称为频率特性,记为:,这就是说,G(j)是在s=j特定情况下的传递函数.通过它来描述系统的性能,与用传递函数描述时具有同样的效果,即两者所包含的系统动态特性的信息完全相同.,理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统 . 但是 , 系统不稳定时 , 瞬态分量不可能消失 , 它和稳态分量始终同时存在 . 所以 , 不稳定系统的频率特性是观察不到的 .,幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。,常用于描述频率特性的几种曲线,RC网络为例 , 传递函数为,频率特性为,幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。 对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。,对数频率特性曲线的横坐标是频率 , 并按对数分度(lg omega) , 单位是rad/s . 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值 , 线性分度 , 单位是dB . 此坐标系称为半对数坐标系。频率特性G(j )的对数幅频特性定义如下,对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值 , 线性分度 , 单位是 (0) 或(弧度) .,时的对数幅频和对数相频曲线 .,对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。,典型环节,5.2 典型环节和开环频率特性,5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制,5.1,5.3,5.4,5.5,5.2.3,5.2.2, 比例环节, 惯性环节, 一阶微分环节, 积分环节, 微分环节, 振荡环节, 二阶微分环节,比例环节的频率特性是G(j)=K,幅相曲线如下左图。,比例环节,比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： L()=20lg| G(j)|=20lgK 和()=0 相应曲线如上右图。,积分环节的对数幅频特性是 L()=-20lg,而相频特性是 ()=-90o。直线和零分贝线交于 = 1 地方 .,积分环节,微分环节 G(s)=s和G(j)= j= /2 L()=20lg,而相频特性是()=90o。,1/T, L()-20lgT = -20(lg-lg1/T),一阶微分环节 G(s)=Ts+1,G(s)=1/(Ts+1),惯性环节,1/T, L()20lgT =20(lg-lg1/T),频率omega=1/T为交接频率,振荡环节,振荡环节的频率特性为,式中 为阻尼振荡频率 . 极点-零点分布如图所示 . 幅频特性和相频特性的图解计算式分别为,因而,G(s)=1/(s/n)2+2s/n+1,图5.11 振荡环节的幅相曲线,故振荡环节的福相曲线从实轴上( 1,j0 )开始 , 最后在第三象限和负实轴相切并交于原点 , 如图所示 .,根据上式可计算频率特性 , 并绘制福相曲线 , 如上图所示 . 图上以无因次频率 为参变量 . 由图可见 , 无论 多大, u=1(即 )时 , 相角都等于 -900 ;幅频特性的最大值随 减小而增大,其值可能大于 1 .,幅频特性表达式 (5-34) 也即,与 u 的关系曲线见下图 . 由曲线可见 , 小于某个值时,幅频特性出现谐振峰值 , 峰值对应的频率称为谐振频率 , 叫做无因次谐振频率 , ur 随 减小而增大 , 最终趋于 1 . 将上式 对 u 求导并令它等于零 , 可得,将方程(5-37)代入(5-36) , 求得谐振峰值为,曲线如下图左所示 , 曲线见下图右 .,将时域和频域间的关系联系了起来 . 由图可见 , Mr和 h(tp) 密切相关 : Mr大 , h(tp) 就大 ; 反之亦然 . 因而Mr直接表征了超调量的大小 , 故称之为振荡性指标 . 图表明了谐振频率 和阻尼振荡频率 d 间的关系 .,为了将振荡环节的幅频特性和单位阶跃响应联系起来 , 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线重画在图上 , 与单位阶跃响应曲线峰值 间的关系如图所示 .,n时L()-40lg/n=-40(lg -lg n),当 时,因此低频渐近线是零分贝线 . 而当 时,这是一条斜率为 -40dB/dec 的直线 , 和零分贝线交于 的地方 . 故振荡环节的交接频率为 n .,以上得到的两条渐近线都与阻尼比 无关 . 实际上 , 幅频特性在谐振频率处有峰值 , 峰值大小取决于阻尼比 , 这一特点也必然反映在对数幅频曲线上 .,不稳定环节,不稳定环节和它对应稳定环节的频率特性有密切的关系 .,在系统的传递函数中 , 也可能出现 两种因子 , 尽管这并不表明系统不稳定 , 但仍可分别称为不稳定一阶微分环节和不稳定二阶微分环节 .,系统如果不稳定 , 它的特征方程必定有正实部的根 , 传递函数相应出现 因子 , 分别称为不稳定惯性环节和不稳定振荡环节 .,极点-零点分布图如图所示 . 由图可见,也即从零变到无穷时 ,幅值从1变到零 , 而相角从 -1800 变到 -900.,不稳定惯性环节的传递函数,频率特性,很明显 , 不稳定惯性环节和惯性环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线却对称于-900水平线 , 如图所示 . 不稳定惯性环节的幅相曲线是以(-0.5,j0)为圆心 , 0.5为半径 , 位于第三象限的半圆 , 如图所示 . 对数频率特性曲线 , 如图所示 .,由频率特性表达式可知 , 幅频和相频特性分别为,不稳定振荡环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 -1800 线 . 其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示 .,不稳定一阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 900 线 . 其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示 .,不稳定二阶微分环节和其对应环节的幅频特性相同 , 而相频特性曲线对称于 1800 线 . 其幅相曲线和对数频率特性曲线如图所示 .,延迟环节,输出量毫不失真地复现输入量的变化 , 但时间上存在恒定延迟的环节称为延迟环节 , 其输入-输出关系为,式中 是延迟环节的延迟时间 . 应用拉氏变换位移定理可得,延迟环节的传递函数,频率特性,幅相曲线是个圆 , 圆心在原点 , 半径为 1 ，如图所示 .,延迟环节的对数幅频特性恒为 0dB , 对数频率特性曲线如图所示 . 由图可见 , 越大 , 相角迟后越大 .,相频特性,且有,5.2.2 开环幅相曲线的绘制,5.2.1,5.2.3,开环幅相曲线的绘制例1 (P198),开环幅相曲线的绘制例2 (P198),开环幅相曲线的绘制例3 (P198),开环幅相曲线的绘制例4 (P198),开环幅相曲线的绘制例5 (P204),a,b=pade(5,6),n=conv(8,a);d=conv(1 4 3,b);nyquist(n,d),延迟环节取不同的k (补充),a,b=pade(5,k),n=conv(8,a); d=conv(1 4 3,b);nyquist(n,d),解：,求交点：,曲线如图所示：,绘制幅相曲线的例题6 (P198),无实数解，所以与虚轴无交点,MATLAB绘制的图,20,根据典型环节的对数频率特性绘制开环对数频率特性曲线,例5.1 系统开环传函为 , 试绘制系统的Bode曲线。,一般的近似对数幅频曲线 有如下特点： 1.最左端直线斜率为 -20dB/dec,这里是积分环节数。,2.在等于1时，最左端直线或其延长线(当w1的频率范围内有交接频率时)的分贝值是20lgK，最左端直线(或延长线)与零分贝线的交点频率，数值上等于K1/。,3.在交接频率处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类.在惯性环节后,斜率减少20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少40dB/dec,解：,-20,-20,-20,-40,积分环节L()(图5-11),+20,+20,+20,微分环节L()(图5-11),对数曲线求斜率(补充),a,b,La,Lb,斜率=,=,La-Lb,斜率例题(补充),求截止频率c,c= 0.4,斜率=,-7.96,lg1,=1时,则有,令,=1得：,(-21.94),lg5,L(1) = -7.96,= 20lg k,k=0.4,惯性环节对数幅频渐近曲线的分析(图5-11),水平线,斜率为-20,过(1/T,0)的斜线,惯性环节L() (图5-11),-20,-20,26dB,4段直线方程怎么求得？,一阶微分L() (图5-11),+20,+20,振荡环节L()渐近线分析(P195),或,或,注意：,要在n或r处修正!,这项总是去掉的！,振荡环节L() (P195),-40,振荡环节再分析(P195),0dB,-40,峰值-渐近线值,夸张图形(补充),仿真(补充),二阶微分(图5-11),幅相曲线,对数幅频渐近曲线,+40,峰值-渐近线值,-20,-40,-20,-40,开环的L曲线绘制(P202),解：,对数相频：相频特性的画法为：起始角，终止角，转折频率处的角。,例题(补充),-90o,-114.7o,-93.7o,-137.5o,-180o,对数幅频：低频段：20/s -20,转折频率： 1 5 10,斜率: - 40 0 - 40,修正值：,低频段：20/s -20,转折频率：1 5 10,斜率: - 40 0 - 40,-90o,-114.7o,-93.7o,-137.5o,-180o,-20,-40,-40,1,5,10,绘制曲线,0dB,20dB,-20dB,-90o,-120o,-150o,-180o,由L()求G(s)例1(P205),由L()求G(s)例2 (P205),1,0dB,40,-1.94,-40,-20,8,24.08,-20,-40,由L()求G(s)例3 (P205),30,50,9.49,0.78,0.1,47.2,L()dB,0dB,-20,-40,-40,-20,延迟环节求k(补充),已知延迟系统开环传递函数为,试根据奈氏判据确定k使闭环系统稳定。,k,2,延迟环节求(补充),已知延迟系统开环传递函数为,试根据奈氏判据确定系统闭环稳定时，,延迟时间值的范围。,延迟系统的仿真(补充),第二种方法：,第一种方法是用simulink （延迟时间为0.5秒）,编程求得阶跃响应：,Plot(t,y),pade(T,m)可将e-Ts展开为分子分母均为m阶的多项式,已知系统开环传递函数为,试绘出开环对数渐近幅频曲线。,例5.2,5.2.3 最小相角系统和非最小相角系统的区别,最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。,幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同 。,最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 。,5.2.1,5.2.2,已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。,例5.3,设复变函数为,一、映射定理,则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点，F（S）为解析函数，即为单值、连续的函数。,S平面,F（S）平面,5.3 奈奎斯特判据,曲线的形状：由F（S）的特性决定，无需关心 曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟 曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！,S平面,F（S）平面,映射定理,设S平面上的封闭曲线包围了复变函数F（S）的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过F（S）的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟方向移动一周时，在F（S）平面上轨迹F（S）包围坐标原点的总次数R=P-Z。,顺时针包围时R 0。,奈氏判据的推导(P210),奈奎斯特稳定判据的推导,M(s)、N(s)分别为s的m阶、n阶多项式，,N(s)=0的解为n个开环极点,系统的特征方程为,1+G(s)H(s)=0,令F(s)=1+G(s)H(s),称F(s)为辅助函数,D(s),N(s),辅助函数：,设系统开环传递函数为,D(s)=0的解是n个闭环极点,1.F(s)的分子分母同为n阶,2. F(j)=1+G(j)H(j)，,辅助函数的幅相曲线,3.,_,奈氏定判据的推导续,在s左半平面的极点，角度增量为+90o,在s右半平面的极点，角度增量为-90o,设开环极点有p个在s右半平面,(n-p)个在s左半平面,设闭环极点有z个在s右半平面,(n-z)个在s左半平面,=(n-z)90o+z(-90o)-(n-p)90o+p(-90o),F(j)=1+G(j)H(j),奈奎斯特稳定判据的推导,向量求N,从A点到B点G(j) H(j),绕(-1,j0)点转过-角度,0,j,从B点到C点，角度增量为0,从D点到原点角度增量又为0,例：计算G (j) H (j)绕(-1, j0)点转过的角度,再讨论,频率域稳定判据(P210),开环极点在s右半平面的个数,自下向上为负穿越，用N表示；,自上向下为正穿越，用N表示；,G(j)H (j)起始于或终止于1之左实轴，为半次穿越,开环幅相曲线穿越1之左实轴的次数,闭环特征根在s右半平面的个数,二、奈奎斯特稳定判据,设系统的特征方程,F（S）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点,系统稳定的充要条件：,特征方程的根都在S平面的左半平面，右半面无极点,F（S）的零点都在S平面的左半平面，右半面无零点,根据映射定理，S沿奈氏回线顺时钟移动一周时，在 F（S）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点R=P-Z周。,系统是稳定的，Z=0，R=P,稳定性判据： 如果在S平面上，S沿奈奎斯特回线顺时钟移动一周时，在F（S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转R=P周，则系统是稳定的。,映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S）的封闭曲线围绕（-1，0）的运动情况。,绘制映射曲线的方法 （1）令S=j带入G（S）H（S），得到开环频率特性。 （2）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统 n=m nm时 G（S）H（S）趋于零 n=m时 G（S）H（S）为常数,奈奎斯特稳定性判据： 控制系统稳定的充要条件是，当从负无穷变化到正无穷大时，系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时钟方向包围 (-1，j0)点P周，P为位于S平面右半部的开环极点数。,例：绘制开环传递函数,的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。,三、虚轴上有开环极点时的奈奎斯特判据,虚轴上含有开环极点的情况,不可直接应用映射定理！,映射定理要求奈奎斯特回线不能经过F（S）的奇点。,用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。,在复平面的虚轴上，当很小时，半圆弧的数学方程式rej,r0时，从0变到/2。,当S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟方向从,经过0变化到,例：绘制开环传递函数,的奈奎斯特图并判定系统的稳定性。,G=tf(4 1,2 3 1 0 0); figure(1); margin(G);grid; figure(2); nyquist(G);,五、根据伯德图判定系统的稳定性,原点为圆心的单位圆 0 分贝线。 单位圆以外L()0的部分； 单位圆内部L()0的部分。,负实轴180线。,相连,(v 为开环积分环节的数目),起始点 (0+),Nyquist曲线的辅助线,(0+) +v 90线,正穿越对应于对数相频特曲线当增大时从下向上穿越180线(相角滞后减小 )；,(-1, j0)点以左实轴的穿越点 L()0范围内的与180线的穿越点。,负穿越对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越180线( 相角滞后增大)。,对数频率特性稳定判据,若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L()0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线()( 含辅助线 )与-180线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根，m=2 正负穿越数之和-1,闭环不稳定。,开环特征方程有两个右根，m=2 正负穿越数之和+1,闭环稳定。,六、系统的相对稳定和稳定裕度,特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远 近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动 态设计的重要依据之一。,相对稳定性和稳定裕量,G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,增益交界频率 c G(j)H (j)轨迹与 单位圆交点,相位交界频率 g G(j)H(j)轨迹与负实轴交点,1-稳定系统,2-不稳定系统,增益交界频率和相位交界频率,单位园外,单位园内,增益交界频率 c G(j)H(j)轨迹与单位 圆交点L(j)与0分贝线 的交点。,c,g,稳定系统,相位交界频率 g G(j)H (j)轨迹与负实轴交点 (j)与-线的交点。,单位圆外,单位圆内,c,g,不稳定系统, :在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量-相位裕量。,开环,系统的稳定性裕量,Kg :在增益交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数幅值裕量（增益裕度）。,开环,系统响应速度,增益裕量 相位裕量,闭环系统稳定性,增益裕量 相位裕量 伺服机构： 10-20分贝 40度以上 过程控制： 3-10分贝 20度以上,稳定系统,正相位裕量,正增益裕量,正增益裕量,正相位裕量,G(j)H (j)轨迹: (1)不包围(-1,j0)点； (2)先穿过单位圆，后穿 过负实轴。,正增益裕量,正相位裕量,不稳定系统,负增益裕量,负相位裕量,负增益裕量,负相位裕量,G(j)H (j)轨迹: (1)包围(-1,j0)点； (2)先穿过负实轴，后穿过 单位圆,负相位裕量,负增益裕量,单位反馈控制系统开环传递函数,七、奈奎斯特稳定判据的应用,例1 一个系统的开环传递函数为,系统稳定,右半平面极点数：P=1 奈奎斯特曲线逆时钟包围（-1，j0)点的次数为 R=1=P,穿越的概念： 正穿越次数 N+=0.5 负穿越次数N-=0 N+- N-=0.5-0=1/2,例2 系统开环传递函数为,右半平面极点数：P=0,奈奎斯特曲线逆时钟包围（-1，j0)点的次数为 R=-2P,穿越的概念： 正穿越次数 N+=0 负穿越次数