水利工程论文-水平面渗流有限元计算中减压井点处理.doc

水利工程论文-水平面渗流有限元计算中减压井点处理摘要：为解决水平面二维有限元方法计算减压井时井点附近奇异区问题，在李祖贻等针对特定网格划分推导出修正井水位法的成果基础上，推导适应一般网格划分的修正公式。通过特例分析计算，验证修正公式精度和适应性，减压井计算受单元尺寸、尺寸差异影响很小，流量和井点以外节点水头值满足精度要求。针对有限元计算时涉及的井阻力情况，给出实用的修正公式处理方法。关键词：有限元减压井渗流中断面法20(1华南理工大学土木工程系，广东广州510641；2广东省水利水电科学研究院，广东广州510610)减压井是堤防防渗加固的一种常用工程措施，需要定量分析它的出水量和减压效果。多数堤防强透水层水平成层分布，满足缓变渗流条件1，可以用水平面二维有限元方法。井的公式大多在缓变渗流条件下推导出的，因此在水平面有限元计算中，可将减压井设为一个节点，以出水量和井内外水位差的协调，将井的公式与其结合，解决计算问题。因井点附近是奇异区，水头分布为对数旋转面，无法用有限个平面或低阶曲面拟合，必须作特殊处理。李祖贻等1,2以在井周划分为4个相同的等腰直角三角形单元的特殊情况(图1)，推出修正井水位法及修正井周单元渗透系数法。设hw为井水位，h0为井节点计算水头，ha为井周节点计算水头。井水位修正的要求是：给定修正量h,当h0满足h0=hw+h时，计算得井的出水量Q和井周节点水头ha与解析解相同。由此得：(1)式中：q=Q/T为单位厚度流量；a为节点间距。由于该修正公式针对特定单元划分，应用时有一定局限性。修正井周单元渗透系数法的数学推导与修正井水位法相同，只在计算中处理方式不同，两者计算出水量差不多。但当井数多，单元尺寸与井间距相比不很小时，由于单元渗透系数修正使井后区域计算得水头偏低(回升水头偏小)。因此，后续讨论仅就修正井水位法进行。减压井还受非完整井、井壁摩阻力和动力水头等影响，井水位与滤管外砂层的平均水头不同，分别用hw和hw表示，两者之差是井出水量的函数，可由井的公式1,3获得。1按等分圆周角划分单元时的修正公式1.1修正公式推导图1中的4个三角形可看成在以井点为圆心，a为半径的圆周上4等分而分割成的单元。下面进一步讨论划分任意n等分的情况。图2所示为等分n个单元后的其中一个。为便于讨论，将坐标系平移、旋转，使井点i落在(0,0)，j点落在x轴上，这样不影响流量计算。该三角形两相邻边长为a，夹角/n，井点计算水头为h0，j、m点水头ha，单元流量qe按中断面法计算1：(2)式中：为单元面积；bi,bj,bm,ci,cj,cm为单元节点对边向y及x轴投影长度，可在一般有限元书中找到。注意到图2中流量定义与井出水相反，按井点习惯出水为正，反号后由式(2)推得：(3)设流向井点的水均匀分布，总流量q与qe的关系为q=nqe=2=qe/，整理可得(4)按修正的要求，同一流量下，半径为rw的井，距井点a处水头也为ha，解析公式为(5)由式(5)与式(4)可得按等分圆周角划分单元时的修正公式(6)显然，式(1)是式(6)在/2或n=4时的特例。1.2对修正公式的讨论修正公式含有流量，受远处单元影响情况需进一步论证。讨论最简单的情形：单元分划成放射状，如图3所示。第1圈节点距井点a，节点数n，两节点对应圆心角，节点水头ha。第m圈节点距井点ma，节点数mn，两节点对应圆心角/m，坐标旋转为图3所示情况下，角对应区域的m+1个节点坐标为(macosi/m,masini/m(i=0,1,m)，节点水头hm。该圈与m-1圈间共(2m-1)n个单元，其中mn个单元有两个节点在m圈上，(m-1)n个单元只有一个节点在m圈上。由中断面法可求得该圈单元向井流量近似值为qm=klm(hm-hm-1)/a(6)式中：lm为m圈各三角形单元中断面长度与三角形高的比值累加再乘以单元尺寸a，l1=antan(/2)，(7)由于通过各圈单元流向井点的流量相等，递推可得(m=1,2,M)(8)式中：M为井的影响半径R对应的节点圈数，RMa。设远方水头为hR，将式(4)、式(6)代入式(8)，消去h0，ha得(9)解析解流量q=2k(hR-hw)/ln(Ma/rw)。作为对比，可计算同等条件下不作修正的流量qu，这只须在式(8)中令h0=hw，并将式(4)代入消去ha，得定义流量相对误差q=(q-q)/q，可对各种不同网格划分的计算流量进行比较。表1列出R=1000rw时(相当于井径02m，影响半径100m)，不同单元尺寸计算流量的相对误差q。表1不同网格划分的计算流量相对误差比较(%)a/rw/2/4/80修正不修正修正不修正修正不修正修正不修正2050100-0.404-0.403-0.39925.350.377.00.3530.3520.35019.441.965.40.4830.4820.47818.039.962.70.5310.5300.52517.639.361.9由表可见，未作修正时，流量计算误差很大，且受单元尺寸影响很大。经修正后，算得流量几乎不受尺寸影响。当由大变小，流量误差随之由负变正，当趋向于0，误差趋向于0.53%，不大于1%。误差最小值在/2/4，即48等分圆周时。图4为井点附近节点水头与理论解(对数曲线)比较(R1000rw,a=50rw,=/4)。图中可见修正后的井周外第二圈节点水头与理论曲线吻合很好。井点处计算结果h0与理论曲线相差较大。由公式的定义即知，h0仅是一个与出水量相关的过渡数，并无实际物理意义。未经修正的计算结果则表现为井点准确，井点外节点水头明显偏低。因此，井点修正的真正意义在于，以放弃井点水头准确而换取出水量及井周节点水头的准确。2一般网格划分的修正公式对更一般的情况，井点附近剖分成m个三角形单元，第i单元位于井点处夹角为i，所有单元夹角组成圆周角i=2图5所示为其中一个三角形单元(同样也作了坐标平移和旋转)，夹角i，边长为a