博弈论与信息经济学第一章完全信息静态博弈.ppt

博弈论,任课教师： 王玉燕,经济博弈论,第一章 完全信息静态博弈,博弈论的基本概念,博弈论的基本概念包括参与人、行动、信息、战略、支付（效用）、结果和均衡。其中，参与人、战略和支付是描述一个博弈所需要的最少的要素。 1. 参与人：参与人指的是一个博弈中的决策主体，它的目的是通过选择行动（或战略）以最大化自己的支付（效用）水平。 自然（N）虚拟参与人：决定外生的随机变量的概率分布的机制。,博弈论的基本概念,2.行动：参与人在博弈的某个时点的决策变量。 ai 第i个参与人的一个特定行动 Ai=ai 可供i选择的所有行动的集合 a=（a1,ai,an） 行动组合 3.信息：参与人有关博弈的知识，特别是有关“自然”的选择，其他参与人的特征和行动的知识。 完美信息：指一个参与人对其他参与人（包括虚拟参与人“自然”）的行动选择有准确了解的情况，即每一个信息集只包含一个值。 完全信息：指自然不首先行动或自然地初始行动被所有参与人准确观察到的情况，即没有事前的不确定性。,博弈论的基本概念,4.战略：参与人在给定信息集的情况下的行动规则，它规定参与人在什么时候选择什么行动。 si 第i个参与人的一个特定战略 Si=si 第i个参与人的所有可选择的战略集合 s=(s1,si,sn) 战略组合 战略与行动是两种不同的概念，战略是行动的规则而不是行动本身。 例：人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 战略 犯、不犯 行动 特例：在静态博弈中，战略和行动是相同的。,博弈论的基本概念,5.支付：指在一个特定的战略组合下参与人得到的确定效用水平；或指参与人得到的期望效用水平。 ui 第i个参与人的支付（效用水平） u=（u1,ui,un）为n个参与人的支付组合 博弈的一个基本特征是一个参与人的支付不仅取决于自己的战略选择，而且取决于所有其他参与人的战略选择。 ui是所有参与人的战略选择的函数：ui=ui（s1,si,sn） 6.结果,博弈论的基本概念,7.均衡：所有参与人的最优战略的组合。 si*=(s1*,si*,sn*) si* 第i个参与人在均衡情况下的最优战略，是i的所有可能的战略中使ui或Eui最大化的战略。 为了把一个特定的参与人与其他参与人相区别，用s-i=（si,si-1,si+1,sn）表示除i之外的所有参与人的战略组成的向量。 si*是给定s-i情况下第i个参与人的最优战略，意味着ui（si*，s-i）ui（si，s-i）,战略表达式,战略表达式（标准式表达）：所有参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。 战略式表达给出： 博弈的参与人集合：i,=(1,2,n) 每个参与人的战略空间：Si，i=1,2,n 每个参与人的支付函数：ui(s1,si,sn),i=1,2,n G=S1,Sn;u1,un 战略式表达博弈 有限博弈：1.参与人的个数是有限的； 2.每个参与人可选择的战略是有限的。,完全信息静态博弈,完全信息：每个参与人对所有其他参与人的特征（包括战略空间、支付函数等）有完全的了解。 静态：指所有参与人同时选择行动且只选择一次。,只要每个参与人在选择自己的行动时不知道其他参与人的选择。,完全信息静态博弈,纳什均衡,重复剔除劣战略,占优战略均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,纳什均衡举例,混合战略纳什均衡,占优战略均衡,占优战略：一个参与人的最优战略并不依赖于其他参与人的战略选择，也就是说，不论其他参与人选择什么战略，他的最优战略是唯一的，这样的最优战略被称为“占优战略”。 例：囚徒困境 “囚徒困境”：两个嫌疑犯作案后被警察抓住，被分别关在不同的房间里受审讯。警察知道两人有罪，但缺乏足够的证据定罪，除非两人当中至少有一个人坦白。警察告诉每个人：如果两人都不承认，每个人都以轻微的犯罪判刑1年；如果两人都坦白，各判刑8年；如果两人中一个人坦白另一个人抵赖，坦白的释放出去，抵赖的判刑10年。,占优战略均衡,囚犯B 坦白 抵赖 坦白 囚犯A 抵赖 在这个博弈中，每个囚徒都有两种可选择的战略：坦白或抵赖。 对于囚犯A：坦白 对于A,坦白总比抵赖好 抵赖 同理B 所以，不论同伙选择什么战略，每个囚徒的占优战略是“坦白”。,占优战略均衡,一般地，si*称为参与人i的（严格）占优战略，如果对应所有的s-i，si*是i的严格最优选择，即ui(si*,s-i)ui(si,s-i)。 占优战略均衡的定义： 在博弈的战略式表达中，如果对于所有的i，si*是i的占优战略，那么，战略组合s*=（s1*,sn*）称为占优战略均衡。,完全信息静态博弈,纳什均衡,重复剔除劣战略,占优战略均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,纳什均衡举例,混合战略纳什均衡,重复剔除劣战略,例：智猪博弈 “智猪博弈”，猪圈里圈着两头猪，一头大猪，一头小猪，猪圈的一头有一个猪食槽，另一头安装着一个按钮，控制着猪食的供应。按一下按钮，8个单位的猪食进槽，但需要支出2个单位的成本。若大猪先到，大猪吃到7个单位，小猪只能吃到1个单位；若小猪先到，大猪和小猪各吃到4个单位；若两猪同时到，大猪吃到5个单位，小猪吃到3个单位。,重复剔除劣战略,小猪 按 等待 按 大猪 等待 在这个支付矩阵中，每头猪都有两种可选择的战略：按或等待。 对于小猪：按 对于小猪,“等待”是占优战略。 等待 对于大猪：按 没有占优战略。 等待,重复剔除劣战略,重复剔除劣战略：首先找出某个参与人的劣战略，把这个劣战略剔除掉，重新构造一个不包含已剔除战略的新的博弈；然后再剔除这个新的博弈中的某个参与人的劣战略；继续这个过程，一直到只剩下一个唯一的战略组合为止。这个唯一剩下的战略组合就是这个博弈的均衡解。 “智猪博弈”，首先剔除小猪的劣战略“按”，则小猪在新博弈中只有“等待”战略，大猪仍有两个战略。但“等待”已显然为大猪的劣战略，剔除，剩下的唯一战略组合（按，等待）为均衡解。,重复剔除劣战略,均衡结果是否与劣战略的剔除顺序有关？ 1.如果每次剔除的是严格劣战略，均衡结果与剔除的顺序无关。 2.如果剔除的是弱劣战略，均衡结果可能与剔除顺序有关。 例： 参与人B C1 C2 C3 R1 参与人A R2 R3,完全信息静态博弈,纳什均衡,重复剔除劣战略,占优战略均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,纳什均衡举例,混合战略纳什均衡,纳什均衡,纳什均衡的定义：有n个参与人的战略式表达博弈G=S1,Sn;u1,un,战略组合s*=(s1*,si*,sn*)是一个纳什均衡，如果对于每一个i，si*是给定其他参与人选择s-i*=(s1*,si-1*,si+1*,sn*)的情况下第i个参与人的最优战略，即ui(si*,s-i*) ui(si,s-i*)。 如何寻找纳什均衡：首先考虑A的战略，对于每一个B的给定的战略，找出A的最优战略，在其对应的支付下划一横杠，然后再用类似的方法找出B的最优战略。在完成这个过程后，如果某个支付格的两个数字下都有杠，这个数字格对应的战略组合就是一个纳什均衡。,完全信息静态博弈,纳什均衡,重复剔除劣战略,占优战略均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,纳什均衡举例,混合战略纳什均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,1.每一个占优战略均衡、重复剔除的占优均衡一定是纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除的占优均衡。 2.纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有被剔除掉的战略组合，但没有被剔除的战略组合不一定是纳什均衡，除非它是唯一的。,完全信息静态博弈,纳什均衡,重复剔除劣战略,占优战略均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,纳什均衡举例,混合战略纳什均衡,纳什均衡举例,在学校中，学生平时学习可能是非常努力也可能是非常懒散；老师可能把考试题出的很难，也可能出的很容易。从博弈论的角度，这里的老师和学生就构成了一个博弈，双方的报酬矩阵如下：,纳什均衡举例,纳什均衡举例,假设两寡头在原来的“高价”策略下各自获得100万元的利润；如果某个寡头单独降价，即单独采用“低价”，可获得150万元利润，此时另一个寡头因为市场份额被对手抢去，利润将下降到20万元；如果另个寡头也降价，则两寡头都将只能得到70万元利润。得益矩阵如下,双寡头削价竞争,寡头2 高价 低价 寡 高价 头 2 低价,Cournot博弈,Cournot博弈是纳什均衡思想最早的模型之一。 设一市场有1、2两家厂商生产同样的产品。如果厂商1的产量为q1，厂商2的产量为q2，则市场总产量为Q q1 q2。设市场出清价格P（可以将产品全部卖出去的价格）是市场总产量的函数p=8- Q.再设两厂商的生产都无固定成本，且每增加一,单位产品的边际成本相等，c1c22，即它们分别生产q1和q2单位产量的总成本分别为2 q1和2q2。最后强调两厂商同时决定各自的产量，即他们再决策之前都不知道另一方的产量。 厂商1的收益：u1 q1p c1 q16 q1q1 q2 q1 2 厂商2的收益：u2 q2p c2 q26 q2q1 q2 q2 2 双方的得益取决于双方的产量（ q1， q2 ）,解得 最终市场总产量为224，市场价格是4。各自得利润为4，两家厂商得利润总和为448 对上述博弈结果，再从两厂商总体利益最大化的角度作一次产量选择。根据市场条件求实现总利润最大的总产量。设总产量为Q，则总得意为UP（Q）cQQ（8Q）2Q6QQQ。求得最优总产量为Q3，最大化总利润为U9。 与前面cournot博弈结论相比，总产量较小，总利润较高。所以两厂商考虑合作，联合起来决定产量对双方最有利。,纳什均衡举例,1.Cournot寡头竞争模型：一个市场中存在两个企业 令P=a-(q1+q2),a0,成本为c 企业1： 企业2：,纳什均衡举例,1.Cournot寡头竞争模型： 若市场上只有一家企业，则： 企业： 竞争使供给上升 竞争使利润下降 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一个企业的外部负效应。,公共资源问题,设某村庄有3个农户，该村有一片大家都可以自由放牧羊群的公共草地。由于这片草地的面积有限，因此只能让不超过某一数量的羊吃饱，如果在这片草地上放牧羊只的实际数量超过这个限度，则每只羊都无昂法吃饱，从而每只羊的产出（毛、皮、肉的总价值）就会减少，甚至只能勉强存活或要饿死。假设这些农户在夏天才到公共草地放羊，而每年春天就要决定养羊的数量，则可看作各农户决定自己的养羊数量时不知道其他农户养羊数的，即各农户决定养羊数的决策是同时做出的。再假设所有农户都清楚这片公共草地最多能养多少羊和羊只总数的不同水平下每只羊的产出,公共资源问题,这就构成了3个农户之间关于养羊数的一个博弈问题，并且是一个静态博弈。 假设每只羊的产出函数为 V100Q，Qq1+q2+q3，而成本C4。 这时，三农户的得益函数分别是：,解得 总羊数为72。 此时每个农户的收益为576，总收益为1728。 如果以总体利益最大的最佳羊只数量考虑，设该草地上羊只总数为Q，总得意为 UQ（100Q）4Q=96-Q*Q，解得Q的最优值为48，即羊数为48。总得意U2304 公共资源的悲剧问题例子：毁坏防风沙林带的选择、楼道里的点灯没有人提供,纳什均衡举例,3.公共地的悲剧 考虑一个有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，每个农民要决定自己养多少只羊。 用,代表第i个农民饲养的数量；,代表n个农民饲养的总数量；,代表每只羊的平均价值,假设,因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死，,由于各最大可存活的数量Gmax：,当草地上的羊很少时，增加一只也许不会对其它羊的价值有太大的不利影响，但随着饲养量的不断增加，每只羊的价值会急剧下降。,纳什均衡举例,3.公共地的悲剧 因此，假定,利润函数:,说明增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值下降。,说明第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量的增加而减少。,纳什均衡举例,3.公共地的悲剧 讨论纳什均衡的总饲养量与社会最优的饲养量？ 将n个一阶条件相加：,社会最优的利润函数：,G为社会最优的饲养量。,所以，G*G,公有草地被过度使用了。,完全信息静态博弈,纳什均衡,重复剔除劣战略,占优战略均衡,占优战略均衡、重复剔除的占优均衡及纳什均衡的关系,纳什均衡举例,混合战略纳什均衡,混合战略纳什均衡,讨论纯战略与混合战略？ 纯战略：一个战略规定参与人在每一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动。 混合战略：一个战略规定参与人在给定信息情况下以某种概率分布随机地选择不同的行动。 混合战略纳什均衡的定义： 在n个参与人博弈的战略式表述 中，混合战略组合 是一个纳什均衡，如果对于所有的 ，下式成立：,混合战略纳什均衡,例：1.社会福利博弈,寻找工作,游荡,流浪汉,救济,不救济,政府,这个博弈不存在纳什均衡。给定政府救济，流浪汉的最优战略是游荡；给定流浪汉游荡，政府的最优战略是不救济；给定政府不救济，流浪汉的最优战略是寻找工作；而给定流浪汉寻找工作，政府的最优战略是救济；，没有一个战略组合构成纳什均衡。,混合战略纳什均衡,假定政府以x概率选择救济，则以1-x的概率选择不救济。 流浪汉以y概率选择寻找工作，则以1-y的概率选择放荡。 政府的支付：,流浪汉的支付：,混合战略纳什均衡,纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择。因此，在社会福利博弈中，,是唯一的纳什均衡。,混合战略纳什均衡,2.监督博弈,逃税,不逃税,纳税人,检查,不检查,税收机关,a应纳税款 c检查成本 F罚款 假定ca+F,X代表税收机关检查的概率，y代表纳税人逃税的概率。,混合战略纳什均衡,混合战略纳什均衡是：,混合战略纳什均衡,说明监督博弈的纳什均衡与应纳税款a，对逃税的惩罚F以及检查成本c有关。对逃税的惩罚越重，应纳税