员工管理_高中数学向量的综合应用填选拔高题组答案

2015年高中数学向量的综合应用填选拔高题组一选择题（共15小题）1（2011上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A0B1C5D102（2011山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上3（2011浦东新区模拟）若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数x的方程x2+x+=有解（点O不在l上），则此方程的解集为（）A1B0CD1，04（2011咸阳三模）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A2BC1D05（2011淄博二模）函数（1x4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+）=（）A8B4C4D86（2011海淀区二模）在一个正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有（）A0个B1个C2个D3个7（2011浦东新区三模）若ABC的面积，则夹角的取值范围是（）ABCD8（2011浦东新区三模）已知关于x的方程，其中、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（）A至多有一个解B至少有一个解C至多有两个解D可能有无数个解9（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A若与共线，则=0B=C对任意的R，有=）D（）2+（）2=|2|210（2010天津）如图，在ABC中，ADAB，BCsinB=，则=（）ABCD11（2010东城区模拟）在ABC所在平面上有一点P，满足，则PBC与ABC面积之比是（）ABCD12（2010青浦区一模）设、为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，则的值一定等于（）A以、为两边的三角形面积B以、为邻边的平行四边形的面积C以、为两边的三角形面积D以、为邻边的平行四边形的面积13（2010黄冈模拟）平面向量的集合A到A的映射f由f（）=确定，其中为常向量若映射f满足对恒成立，则的坐标不可能是（）A（0，0）B（，）C（，）D（，）14（2010浙江模拟）设G是ABC的重心，且，则B的大小为（）A45B60C30D1515（2010湖北模拟）ABC内接于以O为圆心，半径为1的圆，且，则ABC的面积为（）A1BCD二填空题（共15小题）16（2013重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，则实数k=_17（2013山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，若ABO=90，则实数t的值为_18（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为30，则的最大值等于_19（2013北京）已知点A（1，1），B（3，0），C（2，1）若平面区域D由所有满足（12，01）的点P组成，则D的面积为_20（2013牡丹江一模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2=_21（2013佛山一模）（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F若AD=3AE，则AF：FC=_22（2013嘉定区一模）给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=，其中x，yR，则（x1）2+y2的最大值为_23（2012安徽）若平面向量满足|2|3，则的最小值是_24（2012黑龙江）已知向量夹角为45，且，则=_25（2012湖南）如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=_26（2012北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点则的值为_27（2012江西模拟）如图，已知C为OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，nR），则mn=_28（2012上高县模拟）设点P是ABC内一点（不包括边界），且，m、nR，则m2+（n2）2的取值范围是_29（2012德州一模）已知，定义，下列等式中；2+2=（m2+q2）（n2+p2）一定成立的是_（填上序号即可）30（2011天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为_2015年高中数学向量的综合应用填选拔高题组参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1（2011上海）设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使=成立的点M的个数为（）A0B1C5D10考点：向量的加法及其几何意义菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据题意，设出M与A1，A2，A3，A4，A5的坐标，结合题意，把M的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断M的坐标x、y的解的组数，进而转化可得答案解答：解：根据题意，设M的坐标为（x，y），x，y解得组数即符合条件的点M的个数，再设A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）；若=成立，则有x=，y=；只有一组解，即符合条件的点M有且只有一个；故选B点评：本题考查向量加法的运用，注意引入点的坐标，把判断点M的个数转化为求其坐标即关于x、y的方程组的解的组数，易得答案2（2011山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型分析：由题意可得到c和d的关系，只需结合答案考查方程的解的问题即可A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可解答：解：由已知可得（c，0）=（1，0），（d，0）=（1，0），所以=c，=d，代入得（1）若C是线段AB的中点，则c=，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0c1，0d1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误故选D点评：本题为新定义问题，考查信息的处理能力正确理解新定义的含义是解决此题的关键3（2011浦东新区模拟）若在直线l上存在不同的三个点A，B，C，使得关于实数x的方程x2+x+=有解（点O不在l上），则此方程的解集为（）A1B0CD1，0考点：向量的共线定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用向量的运算法则将等式中的向量都用以o为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出x解答：解：即A，B，C共线x2x+1=1解得x=0，1当x=0时，等价于不合题意故选A点评：本题考查向量的运算法则、三点共线的充要条件：A，B，C共线，其中x+y=14（2011咸阳三模）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A2BC1D0考点：平面向量数量积的运算；双曲线的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：要求的最小值，我们可以根据已知条件中，P为双曲线右支上一点设出满足条件的P点的坐标，然后根据双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，求出点及相应的向量的坐标，根据平面向量数量积运算法则，再分析其几何意义即可求解解答：解：设P点坐标为（x，y）（x0），由双曲线方程可得：A1点坐标为（1，0），F2点坐标为（2，0）点则=（x1，y）（2x，y）=，当x=1，y=0时，取最小值2故选A点评：求的最值，我们可以设出P点坐标，然后利用向量数量积公式，求出的表达式，然后分析几何意义，进行求解5（2011淄博二模）函数（1x4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B，C两点，则（+）=（）A8B4C4D8考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：压轴题分析：先确定点A（2，0）再射出点B（x1，y1），C（x2，y2），由题意可知点A为B、C两点的中点，故x1+x2=4，y1+y2=0将点B、C代入即可得到答案解答：解：由题意可知 B、C两点的中点为点A（2，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=0（+）=（x1，y1）+（x2，y2）（2，0）=（x1+x2，y1+y2）（2，0）=（4，0）（2，0）=8故选D点评：本题主要考查平面向量的数量积运算属基础题6（2011海淀区二模）在一个正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有（）A0个B1个C2个D3个考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出的值解答：解：线段D1Q与OP互相平分，且，QMN，只有当四边形D1PQO是平行四边时，才满足题意，此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，此时=0或1故选C点评：本题考查学生的空间想象能力和运动变化的观点分析解决问题的能力，属中档题7（2011浦东新区三模）若ABC的面积，则夹角的取值范围是（）ABCD考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由=3可得|AB|BC|cosB=3，结合=可求B的范围，进而可求夹角B得范围解答：解：=3|AB|BC|cosB=3=则夹角为故选：D点评：本题主要考查了利用三角形的面积公式及向量的数量积的定义求解向量的夹角，解题中要根据向量的夹角定义进行求解不要错误认为所求向量的夹角为B8（2011浦东新区三模）已知关于x的方程，其中、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（）A至多有一个解B至少有一个解C至多有两个解D可能有无数个解考点：平面向量的综合题菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先将向量 移到另一侧得到关于向量 =x2x，再由平面向量的基本定理判断即可解答：解：=（x2）x、这不共线向量故存在唯一一对实数，使，=+若满足=2，则方程有一个解，不满足=2，则方程无解所以至多一个解故选A点评：本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来9（2010山东）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（）A若与共线，则=0B=C对任意的R，有=）D（）2+（）2=|2|2考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据题意对选项逐一分析若与共线，则有，故A正确；因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，=qmpn，而）=（qmpn）=qmpn，故C正确，对于D，（）2+（）2=（qmpn）2+（mpnq）2=（m2+n2）（p2+q2）=|2|2，D正确；得到答案解答：解：对于A，若与共线，则有，故A正确；对于B，因为，而，所以有，故选项B错误，对于C，=qmpn，而）=（qmpn）=qmpn，故C正确，对于D，（）2+（）2=（qmpn）2+（mpnq）2=（m2+n2）（p2+q2）=|2|2，D正确；故选B点评：本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力10（2010天津）如图，在ABC中，ADAB，BCsinB=，则=（）ABCD考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：压轴题分析：本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本题的难点在于正弦定理的应用解答：解：=故选D点评：把向量同解三角形结合的问题，均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题11（2010东城区模拟）在ABC所在平面上有一点P，满足，则PBC与ABC面积之比是（）ABCD考点：向量的加法及其几何意义菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据点所满足的条件知，P是三角形的重心，根据重心的特点，得到两个三角形的高之比，而两个三角形底边相同，所以得到结果解答：解：，P是三角形的重心，P到顶点的距离是到对边距离的2倍，PBC与ABC底边相同，PBC与ABC面积之比是故选A点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，本题把条件等式中的一个向量移项以后，就是用一组基底来表示向量12（2010青浦区一模）设、为同平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，则的值一定等于（）A以、为两边的三角形面积B以、为邻边的平行四边形的面积C以、为两边的三角形面积D以、为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的含义与物理意义菁优网版权所有专题：压轴题分析：由题意可以画出图形：记，由于这三向量的起点相同，且满足与不共线，利用向量的内积及图形可以求得解答：解：由题意可以画出图形：记，记因为这三向量的起点相同，且满足与不共线，利用向量的内积定义，所以=|OB|OC|cos|，又由于，所以|OB|OC|sin|=S四边形OBDC故选B点评：此题考查了利用图形分析题意的数形结合的能力，向量的内积，三角形的面积公式13（2010黄冈模拟）平面向量的集合A到A的映射f由f（）=确定，其中为常向量若映射f满足对恒成立，则的坐标不可能是（）A（0，0）B（，）C（，）D（，）考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：通过赋值列出关于向量的方程，通过向量的运算法则化简方程，得到满足的条件解答：解：令，则=即，故选项为B点评：本题考查向量的运算法则及向量的运算律14（2010浙江模拟）设G是ABC的重心，且，则B的大小为（）A45B60C30D15考点：向量在几何中的应用；三角形五心菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：根据三角形重心对应的条件即，代入式子进行化简，根据向量不共线和正弦定理，判断出三角形的形状进而求出角B的值解答：解：G是三角形ABC的重心，则，代入得，（sinBsinA）+（sinCsinA）=，不共线，sinBsinA=0，sinCsinA=0，则sinB=sinA=sinC，根据正弦定理知：b=a=c，三角形是等边三角形，则角B=60故选B点评：本题考查了三角形重心对应的向量条件的应用，即把几何问题转化为向量问题，根据条件和正弦定理判断出三角形的形状，考查了转化思想15（2010湖北模拟）ABC内接于以O为圆心，半径为1的圆，且，则ABC的面积为（）A1BCD考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先根据向量的数量积运算得到|和，然后以O为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，设出C的坐标，表示出、，进而可求出C的坐标，最后根据S=SoAB+SoBC+SoAC可求出答案解答：解：（3+4）2=9+16+24=（5）2=25则：=0，以O为原点，为x，y轴建立平面直角坐标系，设C坐标为（u，v）3（1，0）+4（0，1）+5（u，v）=0u=，v=故选C点评：本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式二填空题（共15小题）16（2013重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，则实数k=4考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用分析：由题意可得OAAB，故有 =0，即 =0，解方程求得k的值解答：解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OAAB，=0，即 =（3，1）（2，k）10=6+k10=0，解得k=4，故答案为 4点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题17（2013山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，若ABO=90，则实数t的值为5考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用分析：利用已知条件求出，利用ABO=90，数量积为0，求解t的值即可解答：解：因为知，所以=（3，2t），又ABO=90，所以，可得：23+2（2t）=0解得t=5故答案为：5点评：本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键18（2013浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、yR若、的夹角为30，则的最大值等于2考点：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用分析：由题意求得 =，|=，从而可得 =，再利用二次函数的性质求得的最大值解答：解：、 为单位向量，和的夹角等于30，=11cos30=非零向量=x+y，|=，=，故当=时，取得最大值为2，故答案为 2点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题19（2013北京）已知点A（1，1），B（3，0），C（2，1）若平面区域D由所有满足（12，01）的点P组成，则D的面积为3考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；平面向量及应用分析：设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由12、01得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积解答：解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x1，y+1），解之得12，01，点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）|CF|=，点E（5，1）到直线CF：2xy6=0的距离为d=平行四边形CDEF的面积为S=|CF|d=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3点评：本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题20（2013牡丹江一模）如图矩形ORTM内放置5个大小相同的边长为1的正方形，其中A，B，C，D都在矩形的边上，若向量，则x2+y2=13考点：相等向量与相反向量菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据题意，根据向量加法的三角形法则，表示出向量，根据已知可得，两边平方即可求得结果解答：解：，两边平方得：即：1+4+4+2=x2+y2又，x2+y2=1+4+4+4=13故答案为：13点评：此题考查平面向量基本道理和数量积的运算，在应用平面向量基本道理用已知向量表示未知向量，把未知向量放在封闭图形中是解题的关键，属中档题21（2013佛山一模）（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F若AD=3AE，则AF：FC=1：4考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理即可得出解答：解：如图所示，设直线l交CD的延长线于点N四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CDM是边AB的中点，故答案为1：4点评：熟练掌握平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键22（2013嘉定区一模）给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=，其中x，yR，则（x1）2+y2的最大值为2考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：根据点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，利用圆的参数方程设出C点的坐标，把要求最值的量用参数表示出来，根据三角函数的辅角公式和角的范围，写出最值解答：解：点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，可以设圆的参数方程x=cos，y=sin，0，90（x1）2+y2=22cos0，90c0s0，1，（x1）2+y2的最大值是 2故答案为2点评：此题是个中档题本题考查圆的参数方程，考查向量在几何中的应用，考查三角函数最值的求法，本题是一个比较简单的综合题目23（2012安徽）若平面向量满足|2|3，则的最小值是考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由平面向量满足|2|3，知，故=4|4，由此能求出的最小值解答：解：平面向量满足|2|3，=4|4，故的最小值是故答案为：点评：本题考查平面向量数量积的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答24（2012黑龙江）已知向量夹角为45，且，则=3考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由已知可得，=，代入|2|=可求解答：解：，=1=|2|=解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法25（2012湖南）如图，在平行四边形ABCD中，APBD，垂足为P，且AP=3，则=18考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=|cosPAO可求解答：解：设AC与BD交于点O，则AC=2AOAPBD，AP=3，在RtAPO中，AOcosOAP=AP=3|cosOAP=2|cosOAP=2|=6，由向量的数量积的定义可知，=|cosPAO=36=18故答案为：18点评：本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：ACcosOAP=2AOcosOAP=2AP26（2012北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点则的值为1考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：直接利用向量转化，求出数量积即可解答：解：因为=1故答案为：1点评：本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力27（2012江西模拟）如图，已知C为OAB边AB上一点，且=2，=m+n（m，nR），则mn=考点：向量的共线定理菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；待定系数法分析：由题意可得 =+，结合条件可得m=，n=，从而求得结果解答：解：=2，=+再由 可得 m=，n=，故mn=，故答案为：点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，用待定系数法求出m=，n=，是解题的关键28（20