2018_2019学年高中数学第二章平面向量3.1数乘向量学案北师大版必修4.docx

31数乘向量内容要求1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3.掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点)知识点1数乘向量的概念与运算律(1)数乘向量：定义：a是一个向量；长度：|a|；方向：(2)数乘向量的运算律：(a)()a(，R)；()aaa(，R)；(ab)ab(R)【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a0则0.()(2)若a、b是非零向量，R.那么ab00.()(3)00.()知识点2向量共线的判定定理与性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.【预习评价】1若ab，bc，那么一定有ac吗？提示不一定，若b0，此时必有ab，bc成立，但a与c不一定共线2如果向量a，b共线，一定有ba(R)吗？提示不一定当a0，b0时，不存在.题型一向量数乘的定义【例1】已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)2a的方向与3a的方向相反，且2a的模是3模的倍；(3)2a与2a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量解(1)真命题2aaa与a方向相同，且|2a|aa|a|a|2|a|.(2)真命题2a(a)(a)与a同方向，3aaaa与a同方向，由于a与a反方向，故2a与3a反方向，又|2a|2|a|，|3a|3|a|，所以2a的模是3a模的倍(3)真命题2a2a(22)a0，故2a与2a是一对相反向量(4)假命题(ba)与ba是一对相反向量，ab与ba是一对相反向量，(ba)与ab是相等的规律方法对数乘向量的四点说明(1)a的实数叫作向量a的系数(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小(3)当0或a0时，a0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量【训练1】已知，R，则在下列各命题中，正确的命题有()0，a0时，a与a的方向一定相反；0，a0时，a与a的方向一定相同；0，a0时，a与a的方向一定相同；0，a0时，a与a的方向一定相反A1个B2个C3个D4个解析由与向量a的积a的方向规定，易知正确，对于命题，当0时，同正或同负，a与a或者都与a同向，或者都与a反向，a与a同向，当0时，则与异号，a与a中，一个与a同向，一个与a反向，a与a反向，故也正确答案D题型二向量的线性运算【例2】计算下列各式：(1)4(ab)3(ab)；(2)3(a2bc)(2ab3c)；(3)(ab)(2a4b)(2a13b)解(1)4(ab)3(ab)4a3a4b3ba7b.(2)3(a2bc)(2ab3c)3a6b3c2ab3ca7b6c.(3)(ab)(2a4b)(2a13b)abababab0a0b000.规律方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数【训练2】若abc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)的结果为()AaB4bCcDab解析3(a2b)2(3bc)2(ab)(32)a(662)b2ca2(bc)a2aa.答案A方向1证明向量共线【例31】已知两个非零向量a与b不共线，如果ab，2a8b，2a4b，求证：A、B、D三点共线证明因为(2a8b)(2a4b)4a4b4(ab)4，所以根据平行向量基本定理，与共线又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线方向2利用向量共线求参数值【例32】若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，则实数t为何值时，a、tb、(ab)三向量的终点在同一直线上？解由题设易知，存在唯一实数，使atb，化简，得ab.a与b不共线，解得故当t时，三向量的终点共线方向3共线向量在平面几何中的应用【例33】如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点求证：DEBC，且|DE|BC|.证明，.D，E分别为边AB，AC的中点，()，DEBC，且|DE|BC|.规律方法应用向量共线定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线.课堂达标1下列各式中不表示向量的是()A0aBa3bC|3a| D.e(x，yR，且xy)解析向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量答案C2已知向量a、b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()AB、C、DBA、B、CCA、B、DDA、C、D解析2a4b2，A、B、D三点共线答案C3在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.解析四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，2，2.答案24若2，则_.解析23，3.答案35如图所示，已知，用，表示.解().课堂小结1实数与向量a可作数乘，但实数不能与向量a进行加、减运算，如a，a都是无意义的还必须明确a是一个向量，的符号与a的方向相关，|的大小与a的模长有关2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.基础过关1下列说法中正确的是()Aa与a的方向不是相同就是相反B若a，b共线，则baC若|b|2|a|，则b2aD若b2a，则|b|2|a|解析显然b2a时，必有|b|2|a|.答案D2已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.ABCD解析和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误答案B3设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B. C. D.解析如图，()2.答案C4已知向量ae13e2，be1e2，则a与b的关系是_解析a2b，ab.答案ab5若2(cb3x)b0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x_.解析据向量的加法、减法整理、运算可得xabc.答案abc6.如图，已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.试判断A、B、C三点之间的位置关系，并说明理由解分别作向量、，过点A、C作直线AC(如图)观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线因为(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.因为，且有公共点A，所以A、B、C三点共线7已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证：()证明取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图E为AD的中点，.F是BC的中点，()又，()().()()能力提升8已知向量a与b反向，且|a|r，|b|R，ba，则的值等于()A.BC D.解析ba，|b|a|.又a与b反向，.答案C9在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab解析DEFBEA，DFAB，.a，b，联立得：(ab)，(ab)，(ab)(ab)ab.答案D10在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则的值为_解析().答案11设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p_.解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.答案112.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD.求证