（黄冈名师）高考数学核心素养提升练五十六圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题理（含解析）新人教A版.docx

核心素养提升练五十六圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018宁波模拟)已知焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则实数m等于()A.3B.C. 5D. 【解析】选D.由已知,a=,b=2,c=,离心率e=,得m=.2.已知双曲线-=1的焦点与椭圆+=1的焦点相同,则双曲线的离心率为()A.B.C. D.2【解析】选B.由已知,椭圆焦点为(2,0),所以c=2,解得a=2,所以离心率e=.3.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)【解析】选B.因为抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,所以由题可知动圆的圆心在y2=8x上,且恒与抛物线的准线相切,由定义可知,动圆恒过抛物线的焦点(2,0). 4.(2018台州模拟)已知圆C:x2+y2=4,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点()A.B.C.(2,0)D.(9,0)【解析】选A.设P(9-2m,m),过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则OAPA,OBPB,AB是以OP为直径的圆D与圆C的公共弦,得圆D的方程为+=,又圆C方程为x2+y2=4,两式相减得公共弦AB所在直线方程为m(2x-y)+(4-9x)=0,令 得 所以直线AB经过定点.5.(2018洛阳模拟)在直角坐标平面内,过定点P的直线l:ax+y-1=0与过定点Q的直线m:x-ay+3=0相交于点M,则|MP|2+|MQ|2的值为()A.B.C.5D.10【解析】选D.由已知,P(0,1),Q(-3,0),且lm,所以M在以PQ为直径的圆上.因为|PQ|=,所以|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=10.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018滁州模拟)已知抛物线C: y2=2px(p0)的焦点为F,准线l: x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MAl,直线AF的倾斜角为,则|MF|= _.【解析】如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以FAM=,又=,所以= =2,又由已知p=2=,即=,所以=5.答案:57.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:x2+y2=9,圆O2:x2+(y-6)2=16,在圆O2内存在一定点M,过M的直线l被圆O1,圆O2截得的弦分别为AB,CD,且=,则定点M的坐标为_.【解析】因为=,过两圆的圆心的直线截两圆弦长比是=,所以点M在两圆心连线上,因为圆心连线方程x=0,可设M(0,y0),直线l的方程为y=kx+y0,因为=,所以=,解得y0=或-18(此时点M在圆O2外,舍去),所以定点M.答案:8.过点M(0,1)且斜率为1的直线l与双曲线C:-=1(a0,b0)的两渐近线交于点A,B,且=2,则双曲线渐近线的方程为_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由=2,得x2=2x1,由已知,直线l的方程y=x+1,-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,联立直线l的方程和渐近线方程,解得x1=-,x2=,所以-=,即a=3b,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018盘锦模拟)如图,已知点A(1,)是离心率为的椭圆C:+=1 (ab0)上的一点,斜率为的直线交椭圆C于B,D两点,且A,B,D三点互不重合.(1)求椭圆C的方程.(2)求证:直线AB,AD的斜率之和为定值.【解析】(1)由题意,可得e=,将A(1,)代入椭圆C的方程,得+=1,又a2=b2+c2,解得a=2,b=c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线BD的方程为y=x+m,因为A,B,D三点不重合,所以m0,设D(x1,y1),B(x2,y2).由得4x2+2mx+m2-4=0,由=-8m2+640,得-2mb0)的离心率为,点,为椭圆上的一点.(1)求椭圆E的标准方程.(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.【解析】(1)因为e=,所以c=a,a2=b2+.又椭圆过点(,),所以+=1.由,解得a2=6,b2=4,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)设直线l:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立得(3k2+2)x2+6kx-9=0.所以x1+x2=-,x1x2=-,易知B(0,-2),所以kBCkBD=k2+=k2+3k-(3k2+2)=-2,所以对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.10.(2019合肥模拟)如图,在平面直角坐标系中,点F(-1,0),过直线lx=-2右侧的动点P作PAl于点A,APF的平分线交x轴于点B,|PA|=|BF|.(1)求动点P的轨迹C的方程.(2)过点F的直线q交曲线C于M,N,试问:x轴正半轴上是否存在点E,直线EM,EN分别交直线l于R,S两点,使RFS为直角?若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由.【解析】(1)设P(x,y),由平面几何知识得=,即=,化简得x2+2y2=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+2y2=2(x).(2)假设满足条件的点E(n,0)(n0)存在,设直线q的方程为x=my-1,M(x1,y1),N(x2,y2),R(-2,y3),S(-2,y4).由消去x,得(m2+2)y2-2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-,x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1=-+1=,x1+x2=m(y1+y2)-2=-2=-,由已知=,得y3=-,同理y4=-,kRF=-y3,kSF=-y4,因为RFS为直角,所以y3y4=-1,所以(2+n)2y1y2=-x1x2-n(x1+x2)+n2,(2+n)2=+n2,所以(n2-2)(m2+1)=0,n=,所以满足条件的点E存在,其坐标为(,0).【变式备选】已知椭圆E:+=1的右焦点为F(c,0),且abc0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点,且|+|=4.(1)求椭圆E的方程.(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B且使得|2=4成立?若存在,试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由椭圆的对称性知|+|=2a=4,所以a=2.又原点O到直线DF的距离为,所以=,所以bc=,又a2=b2+c2=4,abc0,所以b=,c=1.所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件,可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0,由=32(6k+3)0得,k-.x1+x2=,x1x2=,因为|2=4,即4(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=5,所以4(x1-2)(x2-2)(1+k2)=5,即4x1x2-2(x1+x2)+4(1+k2)=5,所以4(1+k2)=4=5,解得k=,k=-不符合题意,舍去.所以存在满足条件的直线l,其方程为y=x.(20分钟40分)1.(5分)(2018南阳模拟)已知双曲线E:-=1 ,直线l交双曲线于A,B两点,若A,B的中点坐标为,则l的方程为()A.4x+y-1=0B.2x+y=0C.2x+8y+7=0D.x+4y+3=0【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,所以-=0, -kl=0,-kl=0,kl=-,所以l的方程为y+1=-,即2x+8y+7=0.2.(5分)已知双曲线x2-=1的焦点为F1,F2,渐近线为l1,l2,过点F2且与l1平行的直线交l2于M,若=0,则m的值为()A.1B.C.2D.3【解析】选D.由双曲线x2-=1知a=1,b2=m,c=,所以F1, F2 ,渐近线l1,l2的方程分别为y=x,y=-x ,过点F2且与l1平行的直线方程为y= ,由得M ,所以=,=, 因为=0,所以+=0,所以m=3.3.(5分)(2018泰州模拟)已知点A(-3,0)和圆O:x2+y2=9,AB是圆O的直径,M和N是线段AB的三等分点,P(异于A,B)是圆O上的动点,PDAB于D,= (0),直线PA与BE交于C,则当=_时,|CM|+|CN|为定值.【解析】由已知,B(3,0),M(-1,0),N(1,0),设P(x0,y0),则E,所以PA的方程为y=(x+3),BE的方程为y=(x-3),联立方程组得y2=(x2-9),把=9-代入化简得+=1,所以点C在以AB为长轴的椭圆上,当M,N为椭圆焦点时,|CM|+|CN|为定值2a=6,此时a=3,c=1,b=,由a2=b2+c2得9=+1,解得=.答案:4.(12分)(2019淮安模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,过椭圆C:+y2=1的左顶点A作直线l,与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P,Q.(1)若AP=PQ,求直线l的斜率.(2)过原点O作直线l的平行线,与椭圆C交于点M,N,求证:为定值.【解析】(1)由已知,椭圆C的左顶点A(-2,0),设直线l的斜率为k(k0),点P的横坐标为xP,则直线l的方程为y=k(x+2).又椭圆C:+y2=1,由得,(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,所以-2xP=,xP=,因为AP=PQ,所以xP=-1,即=-1,解得k=(负值舍),所以直线l的斜率为.(2)设点N的横坐标为xN.结合(1)知,直线MN的方程为y=kx.由得,=,所以=,即证.5.(13分)已知椭圆D:x2+=1的左焦点为F,其左,右顶点为A,C,椭圆与y轴正半轴的交点为B,FBC的外接圆的圆心P(m,n)在直线x+y=0上.(1)求椭圆D的方程.(2)已知直线lx=-,N是椭圆D上的动点,MNl,垂足为M,问:是否存在点N,使得FMN为等腰三角形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知,圆心P既在边FC的垂直平分线上,也在边BC的垂直平分线上,F(-c,0),则边FC的垂直平分线的方程为x=,因为边BC的中点坐标为,直线BC的斜率为-b,所以边BC的垂直平分线的方程为y-=,联立,解得m=,n=,因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,即(1+b)(b-c)=0,因为1+b0,所以b=c.由b2=1-c2得b2=c2=,所以椭圆D的方程为x2+2y2=1.(2)由(1)知F,椭圆上的点的横坐标满足-1x1,设N(x,y),