（黄冈名师）高考数学核心素养提升练六十分类加法计数原理与分步乘法计数原理理（含解析）新人教A版.docx

核心素养提升练六十分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.现有5名同学去听同时进行的6个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()A.54B.65C.D.65432【解析】选B.因为每位同学均有6种讲座可选择,所以5位同学共有66666=65种.【变式备选】植树节那天,四位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有()A.123种B.13种C.34种D.43种【解析】选D.完成每棵树的种植都有4种方法,由分步乘法计数原理得,完成这三棵树的种植的方法总数是444=43(种).2.芳芳同学有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则芳芳同学不同的选择方式的种数为()A.24B.14C.10D.9【解析】选B.根据题目信息可得需要分两类:一类是衬衣+裙子:分两步,衬衣有4种选择,裙子有3种选择,共有43=12(种);第二类是连衣裙,2种选择.故共有12+2=14(种).3.已知椭圆+=1,若a2,4,6,8,b1,2,3,4,5,6,7,8,则这样的椭圆有()A.12个B.16个C.28个D.32个【解析】选C.根据题意,分4种情况讨论, (1)a=2时,b有7种情况, (2)a=4时,b有7种情况, (3)a=6时,b有7种情况, (4)a=8时,b有7种情况, 则一共有7+7+7+7=28种情况.4.现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色,要求相邻的词语涂色不同,则不同的涂法种数为()A.27B.54C.108D.144【解析】选C.由题意知本题是一个分步计数问题,首先给最左边一块涂色,有4种结果,再给左边第二块涂色有3种结果,以此类推第三块有3种结果,第四块有3种结果,所以根据分步乘法计数原理知共有4333=108.5.已知集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,C=8,9.现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成_个集合()A.24B.36C.26D.27【解析】选C.从三个集合中选出两个集合只有AB,AC,BC三种情况.若选出的两个集合为A,B,则有43=12种可能,若选出的两个集合为A,C,则有42=8种可能,若选出的两个集合为B,C,则有32=6种可能,所以一共有12+8+6=26种可能.【变式备选】 (2016全国卷)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【解析】选B.先分步,第一步由E到F,第二步由F到G.第一步由E到F,先向右走有3种走法,先向上走也有3种走法,共有3+3=6种不同的走法;第二步,由F到G,先向右走有2种走法,先向上走,有1种走法,共有1+2=3种不同的走法.综上,共有63=18种不同的走法.6.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个【解析】选B.设满足题意的“六合数”为2abc,则a+b+c=4,于是满足条件的a,b,c可分以下四种情形:(1)一个为4,两个为0,共有3个;(2)一个为3,一个为1,一个为0,共有321=6个;(3)两个为2,一个为0,共有3个;(4)一个为2,两个为1,共有3个.则“六合数”中首位为2的“六合数”共有15个.【变式备选】 某市汽车牌照号码可以网上自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母G,L中选择,其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复),某车主从左到右第一个号码只想在1,3,5,7中选择,其他号码只想在1,3,6,8,9中选择,则供他可选的车牌号码的种数为()A.21B.800C.960D.1 000【解析】选D.分步完成.从左到右第一个号码有4种选法,第二个号码有2种选法,第三个号码有5种选法,第四个号码有5种选法,第5个号码有5种选法,共有42555=1 000种不同的选法.7.(2018北师大附中二模)若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为()A.9B.10C.11D.12【解析】选D.根据题意个位数需要满足要求:因为n+(n+1)+(n+2)10,即n2.,所以个位数可取0,1,2三个数,因为十位数需要满足:3n10,所以n3.,所以十位可以取0,1,2,3四个数,故小于100的开心数共有34=12个.二、填空题(每小题5分,共15分)8.设a,b1,2,3,则方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是_.【解析】要得到直线ax+by=0,需要确定a和b的值,当a,b不同时,有32=6种方法,当a,b相同时,有1种.故方程ax+by=0所能表示的不同直线的条数是7.答案:79.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号盒子中,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有_种.【解析】根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有321=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有321=6种不同的放法;(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E,有321=6种不同的放法,则根据分步乘法计数原理,此时有321=6种不同的放法;(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E,有321=6种不同的放法,根据分步乘法计数原理,此时有3321=18种不同的放法.综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.答案:30【变式备选】 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_.【解析】5张参观券分为4堆,其中有2个连号的分法有4种,然后再分给每一个人有4321=24种方法,所以总数是424=96.答案:9610.已知集合M=1,2,3,4,集合A,B为集合M的非空子集,若对xA,yB,xy恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有_个.【解析】当A=1时,B有23-1种情况;当A=2时,B有22-1种情况;当A=3时,B有1种情况;当A=1,2时,B有22-1种情况;当A=1,3,2,3,1,2,3时,B均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案:17【变式备选】 已知集合P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1,2,3,9,且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是_个.【解析】若x=2,则y取3,4,9中的一个数,共7种.若x=y,则y取3,4,9中的一个,共7种.这样的点有7+7=14个.答案:14(20分钟40分)1.(5分)从集合1,2,3,8,9,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8【解析】选D.公比q=2时,有1,2,4;2,4,8.公比q=3时,有1,3,9.公比q=时,有4,6,9.以上共4个;反过来也有4个,即4,2,1;8,4,2;9,3,1;9,6,4.所以等比数列个数为8.2.(5分)如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有()A.400种B.460种C.480种D.496种【解析】选C.从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D,A同色1种,D,A不同色3种,所以不同涂法有654(1+3)=480(种).【变式备选】 用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则不同的涂法共有()1324A.220种B.240种C.260种D.300种【解析】选C.完成该件事可分步进行.涂区域1,有5种颜色可选.涂区域2,有4种颜色可选.涂区域3,可先分类:若区域3的颜色与2相同,则区域4有4种颜色可选;若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,此时区域4有3种颜色可选.所以共有54(14+33)=260种涂色方法.3.(5分)数字1,2,3,9这九个数字填写在如图的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,则所有填写空格的方法共有_种.【解题指南】解答本题首先要注意到1,4,9在主对角线上.【解析】由题意可知,必有1,4,9在主对角线上,2,3只有两种不同的填法,对于它们的每一种填法,5只有两种填法.对于5的每一种填法,6,7,8只有3种不同的填法,由分步乘法计数原理知共有223=12种填法.答案:124.(12分)用1,2,3,4四个数字排成三位数(数字可重复使用),并把这些三位数由小到大排成一个数列an. (1)写出这个数列的前11项.(2)若an=341,求n. 【解析】(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)比an=341小的数有两类:首位是1或2:首位是3:故共有244+134=44(项)比341小,即n=45.5.(13分)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?【解析】(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14种不同的选法. (2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有527=70种不同的选法. (3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有52=10种不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有57=35种不同的选法.第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有27=14种不同的选法,所以有10+35+14=59种不同的选法. 【变式备选】 小明同学有课外参考书若干本,其中有5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的语文书,他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带1本去图书