2020版高中数学第二章数列2.2.1等差数列（第1课时）等差数列的概念及通项公式学案.docx

第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零知识点二等差中项的概念如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4).知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列an，首项是a1，公差为d，则ana1(n1)d.此公式可用叠加法证明1数列4,4,4，是等差数列()2数列3,2,1是等差数列()3数列an的通项公式为an则an是等差数列()4等差数列an中，a1，n，d，an任给三个，可求其余()题型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，2n11，；(2)1,11,23,35，12n13，；(3)1,2,1,2，；(4)1,2,4,6,8,10，；(5)a，a，a，a，a，.解由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an1an(n1，nN)是不是一个与n无关的常数跟踪训练1数列an的通项公式an2n5(nN)，则此数列()A是公差为2的等差数列B是公差为5的等差数列C是首项为5的等差数列D是公差为n的等差数列答案A解析an1an2(n1)5(2n5)2，an是公差为2的等差数列题型二等差中项例2在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1,3,5,7.反思感悟在等差数列an中，由定义有an1ananan1(n2，nN)，即an，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得3m3n18，即mn6.所以m和n的等差中项为3.题型三等差数列通项公式的求法及应用例3在等差数列an中，(1)若a515，a1739，试判断91是否为此数列中的项(2)若a211，a85，求a10.解(1)因为解得所以an72(n1)2n5.令2n591，得n43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项(2)设an的公差为d，则解得an12(n1)(1)13n，所以a1013103.反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想等差数列an中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)判断401是不是等差数列5，9，13，的项，如果是，是第几项？解(1)由a18，a25，得da2a1583，由n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an5(n1)(4)4n1.由题意，令4014n1，得n100，即401是这个数列的第100项等差数列的判定与证明典例1已知数列an满足an13an3n，且a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由an13an3n，两边同时除以3n1，得，即.由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)，故ann3n-1，nN.典例2已知数列an：a1a21，anan12(n3)(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式解(1)当n3时，anan12，即anan12，而a2a10不满足anan12(n3)，an不是等差数列(2)当n2时，an是等差数列，公差为2.当n2时，an12(n2)2n3，又a11不适合上式，an的通项公式为an素养评析(1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明anan1d(n2，d为常数)或an1and(d为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1下列数列不是等差数列的是()A1,1,1,1,1B4,7,10,13,16C.，1，D3，2，1,1,2答案D2已知等差数列an的通项公式an32n(nN)，则它的公差d为()A2B3C2D3答案C解析由等差数列的定义，得da2a1112.3已知在ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于()A30B60C90D120答案B解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有AC2B，又因为ABC180，所以3B180，从而B60.4若数列an满足3an13an1，则数列an是()A公差为1的等差数列B公差为的等差数列C公差为的等差数列D不是等差数列答案B解析由3an13an1，得3an13an1，即an1an.所以数列an是公差为的等差数列5已知等差数列1，1，3，5，89，则它的项数是()A92B47C46D45答案C解析d112，设89为第n项，则89a1(n1)d1(n1)(2)，n46.1判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)an1and(d为常数，nN)an是等差数列；(2)2an1anan2(nN)an是等差数列；(3)anknb(k，b为常数，nN)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1设数列an(nN)是公差为d的等差数列，若a24，a46，则d等于()A4B3C2D1答案D解析a4a22d642.d1.2已知等差数列5，2,1，则该数列的第20项为()A52B62C62D52答案A解析公差d2(5)3，a20a1(201)d519352.3在数列an中，a12,2an12an1，则a101的值为()A52B51C50D49答案A解析因为2an12an1，a12，所以数列an是首项a12，公差d的等差数列，所以a101a1100d210052.4若5，x，y，z，21成等差数列，则xyz的值为()A26B29C39D52答案C解析5，x，y，z，21成等差数列，y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项5212y，y13，xz2y26，xyz39.5已知在等差数列an中，a3a822，a67，则a5等于()A15B22C7D29答案A解析设an的首项为a1，公差为d，根据题意得解得a147，d8.所以a547(51)(8)15.6等差数列20,17,14,11，中第一个负数项是()A第7项B第8项C第9项D第10项答案B解析a120，d3，an20(n1)(3)233n，a720，a810.故数列中第一个负数项是第8项7一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于()A.B.C.D.答案C解析b是x,2x的等差中项，b，又x是a，b的等差中项，2xab，a，.8在数列an中，a22，a60，且数列是等差数列，则a4等于()A.B.C.D.答案A解析由题意可得，解得a4，故选A.二、填空题9若一个等差数列的前三项为a,2a1,3a，则这个数列的通项公式为_答案an1，nN解析a(3a)2(2a1)，a.这个等差数列的前三项依次为，d，an(n1)1，nN.10现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升答案解析设此等差数列为an，公差为d，则解得a5a14d4.11首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是_答案解析设an24(n1)d，则解得d3.三、解答题12已知an为等差数列，且a36，a60，求an的通项公式解设数列an的公差为d，由已知得解得所以数列an的通项公式为ana1(n1)d10(n1)22n12.13已知数列an满足an1，且a13(nN)(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由，得，nN，故数列是等差数列(2)解由(1)知(n1)，所以an，nN.14已知数列an中，a11，an1ananan1(n2，nN)，则a10_.答案解析易知an0，数列an满足an1ananan1(n2，nN