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核心素养提升练七十二证明不等式的基本方法(25分钟40分)1. (10分)已知函数f(x)=|x+2|.(1)解不等式f(x)4-|x+1|.(2)已知a+b=2(a0,b0),求证:-f(x)+.【解析】(1)不等式f(x)4-|x+1|,即|x+1|+|x+2|4,当x4,解得x4,无解;当x-1时,不等式化为(x+1)+(x+2)4,解得x0.5;综上所述:不等式的解集为(-,-3.5)(0.5,+).(2)因为+=(a+b)=4.5,当且仅当a=,b=时等号成立.由题意知,-f(x)=-|x+2|=4.5,所以-f(x)+.2. (10分)设函数f(x)=|x-3|,g(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+g(x)2.(2)对任意的实数x,y,若f(x)1,g(y)1,求证:|x-2y+1|3.【解析】(1)当x2时,原不等式可化为3-x+2-x,所以x2.当2x3时,原不等式可化为3-x+x-23时,原不等式可化为x-3+x-22,可得x,所以3x.综上,不等式的解集为.(2)|x-2y+1|=|(x-3)-2(y-2)|x-3|+2|y-2|1+2=3.3. (10分) (2018海口模拟)已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.(1)求不等式-2f(x)2|m-n|.【解析】(1)依题意f(x)=|x-1|-|x+2|=由-2-2x-10解得-x,故A=.(2)m,nA,由(1)可知m2,n20,故|1-4mn|24|m-n|2,故|1-4mn|2|m-n|.4. (10分) (2018潍坊模拟)已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x)8-|2x-2|的解集为M.(1)求M.(2)设a,bM,证明:f(ab)f(2a)-f(-2b).【解析】(1)将f(x)=|x+4|代入不等式整理得|x+4|+|2x-2|8.当x-4时不等式转化为-x-4-2x+28,解得x-,所以此时x-4;当-4x8,解得x-2,所以此时-4x8,解得x2,所以此时x2,综上,M=x|x2.(2)因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|2a+4+2b-4|=|2a+2b|,所以要证f(ab)f(2a)-f(-2b),只需证|ab+4|2a+2b|,即证(ab+4)2(2a+2b)2,即证a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2,即证a2b2-4a2-4b2+160,即证(a2-4
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