中心对称图形(二)复习.ppt

圆复习,一、圆的定义（运动观点）,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”,圆的定义辨析,篮球是圆吗？ 圆必须在一个平面内 以3cm为半径画圆，能画多少个？ 以点O为圆心画圆，能画多少个？ 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ 半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是一条封闭曲线 圆周上的点与圆心有什么关系？,点与圆的位置关系,圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？,一、点与圆的位置关系,A,B,C,O,d,r,dr,d=r,0dr,如果点A、B、C是圆所在平面内的点，d 表示点到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有,问题：（1）经过一个已知点可以画多少个圆？,（2）经过两个已知点可以画多少个圆？这样的圆的圆心在怎样的一条直线上？,（3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？,定理：不在同一直线上的三个点 确定一个圆。,二、过三点的圆及外接圆,1.过一点的圆有_个 2.过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在_ 上. 3.过三点的圆有_个 4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等） 5.锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在直角三角形_，钝角三角形的外心在三角形_。,无数,无数,0或1,内,外,连结着两点的线段的垂直平分线,斜边的中点,经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。,问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？,C90,ABC是锐角三角形,ABC是钝角三角形,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).,A,B,注 意,1、弦的两个端点在圆上 2、直径是弦，是过圆心的弦 3、半径不是弦，因为圆心不在圆周上,圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角。 AOB、AOC、BOC就是圆心角。,O,D,C,B,A,F,E,圆的中心对称性和旋转不变性：,圆心角定理：,AOB= COD,AB,=CD,AB=CD,OE=OF,（OE AB于E,OF CD于F）,圆心角定理：在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等。,圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。,推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90圆周角所对的弦是直径。,同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于该弧所对的圆心角的一半。 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。,也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。,在同圆或等圆中,如果两个圆心角, 两条弧,两条弦, 中, 有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,复习回顾,性质:圆心角的度数与它所对弧的度数相等.,度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧（除非在同圆或等圆中）。,A,B,垂径定理三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,例2、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,辅助线,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,四、圆心角、弦、弧、圆周角,前三组量中有一组量相等，其余各组量也相等； 注意：圆周角有两种情况 圆周角的推论应用广泛,2. 在O中，弦AB所对的圆心角AOB=100，则弦AB所对的圆周角为_.（05年上海）,1.如图，O为ABC的外接圆， AB为直径，AC=BC， 则A的 度数为（ ）（05泉州 ） A.30 B.40 C.45 D.60,500或1300,五、直线和圆的位置关系,l,d,r,dr,0,d=r,切线,1,dr,割线,2,如何判定一条直线是圆的切线？,切线有哪些性质？,复习,过圆上一点能作几条切线？过圆外一点呢？,直线与圆有唯一公共点；,直线到圆心的距离等于该圆的半径；,切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,切线和圆只有一个公共点。,切线和圆心的距离等于半径。,切线垂直于过切点的半径。,1、定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,证明直线与圆相切有如下三种途径:,注：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径； 若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径,有切点，连半径，证垂直,无切点，作垂直，证半径,六、切线的判定与性质,1.如图，ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D，求证：AC是圆的切线,切线的判定一般有三种方法： 1.定义法：和圆有唯一的一个公共点 2.距离法： d=r 3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等,三角形的内心是三角形角平分线的交点,三角形的内心一定在三角形的内部,（三角形外接圆的圆心）,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。,切线长定理,几何语言:,切 线 长 定 理,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,切线与切线长的区别与联系：,（1）切线是一条与圆相切的直线；,（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。,例：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为_。,2cm,。,P,B,A,O,反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。,（3）连结圆心和圆外一点,（2）连结两切点,（1）分别连结圆心和切点,我的收获,我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类转化成特殊问题。,圆周角定理的证明思路：,1、点与圆及直线与圆的位置关系,2、两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系,外离 dR+r,外切 d=R+r,外离 R-r dR+r,内切 d=R-r,内含 0dR-r,没有,一个,两个,一个,没有,点在圆内、在圆上、在圆外,相离、相切、相交,3、如果两个圆相切，则切点一定在连心线上。 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。,两圆位置关系的性质与判定:,0,Rr,R+r,同心圆,内含,外离,外切,相交,内切,d,正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。,边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。,九、弧长的扇形的面积,扇形的面积公式为： S=,因此扇形面积的计算公式为 S= 或 S= r,圆锥的侧面积 和全面积,圆锥的侧面积和全面积,如图:设圆锥的母线长为l , 底面半径 为r.则圆锥的侧面积公式为：,全面积公式为：,n,.,.,O1,O2,A,B,C,D,E,F,如图：O1与O2相交于A、B两点，过点A的直线分别交O1、O2于点E、F， O1的弦BC交O2点D。 问EC与DF的位置关系如何？请说明理由。,赵州石拱桥,1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题意得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.,课后拓展,正确答案,你好聪明！,9.已知O内切于四边形ABCD，AB=AD，连结AC、BD，由这些条件你能推出哪些结论？（不添加辅助线）,(1) ABD=ADB (2)AC平分BAD (3)AC过圆心 (4)AC垂直平分BD (5)AB+CD=AD+BC (6) CA平分BCD (7)BC=CD (8)S四边形ABCD=ACBD/2 (9)ABCADC (10)AB2+CD2=BC2+DA2,船能过拱桥吗,2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,相信自己能独立完成解答.,在RtABC中，C=90， AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。,想一想?,当r满足_ _ 时,C与线段AB只有一个公共点.,r=2.4cm,B,C,A,D,4,5,3,d=2.4cm,或3cmr4cm,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题意得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R=3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,D,C,三、垂径定理（涉及半径、弦、弦心距、平行弦等）,1如图，已知、是的两条平行弦，的半径是，。求、的距离(05年四川),2如图4，M与x 轴相交于点A（2，0），B（8，0）， 与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是 （05沈阳 ）,例.CD为O的直径, 弦ABCD于点 E,CE=1,AB=10, 求CD的长.,A,B,C,D,E,O,.,练习,矩形ABCD与圆O交于A,B,E,F DE=1cm,EF=3cm,则AB=_,A,B,F,E,C,D,2.在Rt ABC中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作B， 问：（1）A、C、D、E与B的位置关系如何？ （2）AB、AC与B的位置关系如何？,6.已知ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则ABC的外接圆半径为 。(04年广东) 7. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是_ , _（05大连）,8如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A，B，C，其中B点 坐标为（4，4），则 该圆弧所在圆的圆心 坐标为 。,3、如图，A、B、C三点在圆上，若ABC=400， 则AOC= 。（05年大连）,4.如图，AB是O的直径,BD是 O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断 ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌),（第201题）,：（1）（方法1）连接DO.1分OD是ABC的中位线， DOCA.ODBC，ODBO2分 OBDODB，OBDACB，3分 ABAC4分 （方法2）连接AD，1分 AB是O的直径，ADBC，3分 BDCD，ABAC.4分 （方法3）连接DO.1分 OD是ABC的中位线,OD=AC 2分 OB=OD=AB 3分 AB=AC 4分 （2） 连接AD，AB是O的直径，ADB90 BADB90.CADB90. B、C为锐角. .6分 AC和O交于点F，连接BF， ABFC90.ABC为锐角三角形7分,练习,1.如图,则1+2=_,1,2,.,3.圆周上A,B,C三点将圆周 分成1:2:3的三段弧AB,BC,CA,则ABC 的三个内角A,B,C 的度数依次为_,4.如图,求点D的坐标,A(6,0),B(0,-3),C(-2,0),D,0,x,y,例 已知圆心O到直线a的距离为5,圆 的半径为r,当r=_时,圆O与a相切. 当r_时圆O上有两点到直线a的距 离等于3.,考点四:考查切线的问题,例1如图圆O切PB于 点B,PB=4,PA=2,则 圆O的半径是_.,例2 如图PA,PB,CD都 是圆O的切线,PA的长 为4cm,则PCD的周 长为_cm,O,A,B,P,A,B,C,D,O,P,.,例3 PA,PC分别切圆O于 点A,C两点,B为圆O上与A, C不重合的点,若P=50, 则ABC=_,2、如图，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC为 直径，BAC=200，则P= 。（05广东）,3、已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径 的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交 BC的延长线于点F（江苏省宿迁市2005 ） 求证：（1）ADBD；（2）DF是O的切线,4.某市有一块油三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置。,5.有甲、乙、丙三个村庄，现准备建一发电站，使发电站到三个村庄的距离相等，试确定发电站的位置,1已知O1和O2的半径分别为5和2，O1O23， 则O1和O2的位置关系是（ ）（05大连） A、外离 B、外切 C、相交 D、内切,2已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距 是4，则这两个圆的位置关系是 （ ）（05沈阳 ） A外离 B外切 C相交 D 内切,3.两圆相切,圆心距为10cm,其中 一个圆的半径为6cm,则另一个圆 的半径为_.,4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为 12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心 O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置关 系是_.,考点六:考查弧长和扇形面积的计算,例1 扇形AOB的半径为12cm, AOB=120,求AB的长和扇形 的面积及周长.,例2 如图,当半径为30cm的转动轮 转过120时,传送 带上的物体A平移 的距离为_.,A,考点七:考查与圆锥有关的计算,例小红准备自己动手用纸板制作圆锥 形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半 径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他 们计算制作一个这样 的生日礼帽需要纸板 的面积为_.,|-36cm-|,9cm,.,练习,如图有一圆锥形粮堆,其正视图为 边长是6m的正三角形ABC,粮堆 的母线AC的中点P处有一老鼠正 在偷吃粮食此时,小猫正在B处,它 要沿圆锥侧面到达P, 处捕捉老鼠,则小猫 所经过的最短路程 是_.(保留 ),A,B,C,P,.,专项练习,1.三角形的内心是_, 三角形的外心是_.,2.一个三角形,它的周长为30cm, 它的内切圆半径为2cm,则这个三 角形的面积为_.,3.圆柱的高为20cm,底面积半径 为高的 ,那么这个圆柱的侧面 积是_.,1,4,4.圆的半径为R,则弦长L的取值范 围是_.,5.在正方形铁皮上剪下一个圆形和 扇形,使之恰好围成一个圆锥模型, 设圆的半径为r,扇形半径为R,则r, R间的关系是 _.,|-R-|,r,6.平面上一点P到圆O上一点的距 离最长为6cm,最短为2cm,则圆O 的半径为_.,7.如图,圆的半径为2,则阴影部分 的面积为_,#,#,#,#,12.如图PAQ是直角,半径为5的圆O 与AP相切于点T,与AQ相交于点B,C 两点. (1)BT是否平分OBA? 证明你的结论. (2)若已知AT=4, 试求AB的长.,P,T,A,O,B,C,Q,3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线ABCD以4cm/秒的 速度 移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒） （1）t为何值时，四边形APQD为矩形/ （2）如图（2），如果P和Q的半径都是2cm，那么t为何值时， P和Q外切？,图1,C,15,3,D,3.6,做圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线,例4、半径为的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB =,CD=，求AB和CD间的距离,.,做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况。,例4、半径为的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB 等于,CD等于，求AB和CD间的距离.,(1),(2),证: 过点O 作OF CD交CD 于 F点,并延长（或反向延长）FO 交AB于 E(如图1、2)，在连接OC、OA，,EF=1或7。,有垂径定理得，AE=EB= AB=3,CF=FD= CD=4, OF CD，OC=5，CF=4OF=3，,CD/AB,OF CDOE AB，,同理：OE=4， EF=OF+OE=4+3=7图（1）,EF=OE-OF=4-3=1图（2）,练习题1、已知 O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P， AB=6，CP=1，则 O的半径为 - 。,2、已知 O的直径为10cm,A是 O内一点，且 OA=3cm,则 O中过点A的最短弦长=- cm 。,5,8,50,思考题,已知AB是 O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E