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文档简介

5.2平面向量的分解与坐标运算,高效梳理,平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内,分别取与x轴y轴平行的两个单位向量ij作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x,y分别叫做a在x轴y轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量a的坐标表示,相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等向量.,平面向量的坐标运算 (1)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1), (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),ab(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0. (3)非零向量a=(x,y)的单位向量为 (4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且y1=y2.,需注意的几点 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成 (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是a=b,这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.,考点自测,答案:B,2.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a4b-2c2(a-c)d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为() A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6),答案:D,解析:由题知4a=(4,-12), 4b-2c=(-6,20), 2(a-c)=(4,-2), 由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0, 则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0, 即(2,6)+d=0,故d=(-2,-6),选D.,3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 =2 ,则顶点D的坐标为() A.(2, ) B.(2,- ) C.(3,2) D.(1,3),答案:A,答案:(-3,6),5.已知点A(1,-2),若点AB的中点坐标为(3,1)且 与向量a=(1,)共线,则=_.,题型突破,题型一tixingyi平面向量的坐标运算 【例1】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4). 设 =a, =b, =c,且 =3c, =-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求MN的坐标及向量 的坐标.,解析:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42).,规律方法:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点终点坐标的关系求解.,题型二tixinger平面向量共线的坐标运算及应用 【例2】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题: (1)求满足a=mb+nc的实数mn; (2)若(a+kc)(2b-a),求实数k; (3)若向量d满足(d-c)(a+b),且|d-c|=5,求d.,规律方法:(1)由两向量相等的充要条件可求得实数mn的值;(2)由两向量平行的充要条件列出关于k的方程,进而求得k的值;(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解.,创新预测2如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.,题型三tixingsan平面向量的坐标运算与其它知识的综合,创新预测3在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点的坐标为A(2,3),B(1,-1),C(5,1),点P在直线BC上运动,动点Q满足 = + + ,求点Q的轨迹方程.,对接高考,1.(2008安徽)若 =(2,4), =(1,3),则 等于() A.(1,1)B.(-1,-1) C.(3,7)D.(-3,-7),答案:B,2.(2009宁夏中卫模拟)已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),试用ab表示c等于() A.5a-3b B.2a-b C.a-2b D.2a+b,答案:C,答案:B,4.(2010荷泽模拟)已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn(a0,b0),则ab的最小值是_.,答案:16,高效作业,一选择题,1.(2009广东)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b() A.平行于x轴 B.平行于第一三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二四象限的角平分线,答案:C,解析:a+b=(0,1+x2),平行于y轴.,2.(2009北京)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么() A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向,答案:D,解析:由cd,则存在使c=d,即ka+b=a-b, (k-)a+(+1)b=0.又a与b不共线, k-=0,且+1=0. k=-1.此时c=-a+b=-(a-b)=-d.故c与d反向,选D.,3.(2009天津联考)若a=(2cos,1),b=(sin,1),且ab,则tan等于 ( ) A.2 B. C.-2 D.-,答案:A,解析:ab,2cos1=sin1.tan=2.,4.(2009山东济宁第一阶段质检)已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若uv,则实数k的值为() A.-1 B.- C. D.1,答案:B,解析:u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3), 又uv,13=2(2+k),得k=- .,5.(2009湖南岳阳模拟)已知向量a=(-3,4),b=(3,-4),则a与b() A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向,答案:D,解析:a=-b,a与b平行且反向,故选D.,6.(2010山东烟台模拟)已知O为原点,AB是两定点, =a, =b,且点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则 等于() A.a-b B.2(a-b) C.2(b-a) D.b-a,答案:C,解析:设 =a=(x1,y1), =b=(x2,y2), 则A(x1,y1),B(x2,y2). 设P(x,y),则由中点坐标公式可得 Q(2x1-x,2y1-y),R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). = - =(2x2-2x1,2y2-2y1)=2(x2,y2)-2(x1,y1), 即 =2(b-a).,二填空题,7.(2009福建泉州质检)已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若ab,则实数x的值等于_.,解析:由ab得3(2x+1)=4(2-x),解得x= .,8.(2008全国)设a=(1,2),b=(2,3),若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=_.,答案:2,解析:a+b=(+2,2+3)与c=(-4,-7)共线, (+2)(-7)-(2+3)

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