平面向量的数量积(20).ppt

8.3 平面向量的数量积,一.平面向量的数量积的定义,4. 在 方向上的投影 ：（注意 是射影）,5. 的几何意义： 等于 的长度与 在方向 上的投影的乘积。,二.平面向量数量积的性质,设 是两个非零向量， 是单位向量，于是有：,当 同向时 ；当 反向时 ，特别 地 。,三.平面向量数量积的运算律,1.交换律成立：,2.对实数的结合律成立：,3.分配律成立：,四.平面向量数量积的坐标表示,1.若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 =x1x2+y1y2,2.若 =(x,y),则| | = . =x2+y2,3.若A(x1,y1),B(x2,y2),则,4.若 =(x1,y1) =(x2,y2)，则,5.若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则,6.若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则,向量的数量积的概念及性质的运用,思路分析：（1）（2）可由数量积的定义判断.（3）通过计算判断.（4）把a2转化成aa=|a|2可判断.对于（5）与（6），要清楚 为零向量， 而为零。,解：（1）ab=ac，|a|b|cos=|a|c|cos（其中、分别为a与b，a与c的夹角）.|a|0，|b|cos=|c|cos. cos与cos不一定相等，|b|与|c|不一定相等.b与c也不一定相等.（1）不正确. （2）若ab=ac，则|a|b|cos=|a|c|cos（、为a与b，a与c的夹角）. |a|（|b|cos|c|cos）=0.,|a|=0或|b|cos=|c|cos. 当bc时，|b|cos与|c|cos可能相等.（2）不正确. （3）（ab）c=（|a|b|cos）c， a（bc）=a|b|c|cos（其中、分别为a与b，b与c的夹角）. （ab）c是与c共线的向量，a（bc）是与a共线的向量. （3）不正确.（4）正确.（5）不正确，（6）正确,点评与感悟：判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律. 通过该题我们应搞清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系。,向量的数量积的性质（垂直、平行的充要条件）的应用,已知中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求,点评与感悟：若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则（1） ；（2） ；（3） 等性质很重要，很常用，应熟练掌握。,利用向量数量积的性质（| | = . ）解决长度问题,解析： ， = =5。 故选D。,点评与感悟：掌握,利用向量的数量积解决夹角问题,已知 （， ）， （，），求 与的夹角的大小。,点评与感悟：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定。,解： 由题意， ，且 与 的夹角为 ，,所以，,.已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试 求 与 的夹角的余弦。,点评与感悟：解决向量的夹角问题时要借助于公式 要掌握向量坐标形式的运算。对于 这个公式的变形应用应该做到熟练。,设 为 与 的夹角，则,而,同理可得 。,向量的数量积定义式的应用,已知向量 、 、 满足 + + =0，| | = | |= | |=1. 求证：P1P2P3是正三角形.,思路分析：由| |=| |=| |=1知O是P1P2P3的外接圆的圆心，要证P1P2P3是正三角形，只需证 P1OP2=P2OP3=P3OP1即可，即需求 与 ， 与 ， 与 的夹角.由 + + =0变形可出现数量积，进而求夹角., | + | = | |., | | 2 + | | 2 + 2 = | | 2.,又 | | = | | = | | = 1，, = ., | |cosP1OP2= ，,即cosP1