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平面向量的数量积,一、引入：,一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？,力做的功：W = |F|s|cos，是F与s的夹角,向量的数量积,1两个非零向量夹角的概念,说明： （1）当0时，a与同向；,（2）当时，a与反向；,（3）当/2时，a与垂直， 记a；,（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0180,已知非零向量a与，作 a， ，则（0）叫a与的夹角.,平面向量数量积（内积）的定义：,已知两个非零向量a与，它们的夹角是，则数量|a|b|cos叫a与的数量积，记作ab，即有 ab =|a|b|cos，（）.,规定0与任何向量的数量积为0。,探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别,（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。,（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.,（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？,（4）由ab = bc 能否推出a = c ？,(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。,3“投影”的概念： 定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。,投影也是一个数量，不是向量；,当为锐角时投影为正值；,当为钝角时投影为负值；,当为直角时投影为0；,当 = 0时投影为 |b|；,当 = 180时投影为 |b|。,4向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。,5两个向量的数量积的性质：,设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。,1 ea = ae =|a|cos,2 ab ab = 0,3 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时， ab = |a|b|。,特例：aa = |a|2或,4 cos =,5 |ab| |a|b|,例1 判断正误，并简要说明理由. a00； 0a0； 0 ； aa； 若a0，则对任一非零有a0； a0，则a与中至少有一个为0； 对任意向量a，都有（a）a(）； a与是两个单位向量，则a.,例2 已知a3，6， 当a，a， a与的夹角是60时，分别求a.,例3 判断下列命题的真假： 在ABC中，若 ，则ABC是锐角三角形； 在ABC中，若 ,则ABC是钝角三角形； ABC为直角三角形的充要条件是,例3 判断下列命题的真假： 在ABC中，若 ，则ABC是锐角三角形； 在ABC中，若 ,则ABC是钝角三角形； ABC为直角三角形的充要条件是,例4 试证明：若四边形ABCD满足
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