Mathematica软件在数学教学中的应用探索

第 29 卷第 6 期计算机应用与软件Vol. 29 No 6 2012 年 6 月 Computer Applications and SoftwareJun 2012 Mathematica 软件在数学教学中的应用探索 孔 祥 强 ( 菏泽学院数学系山东 菏泽 274000) 收稿日期: 2011 12 12。2011 年山东省统计局重点课题项目( KT 11048) ; 菏泽学院重点教改项目( 200825) 。孔祥强， 助教， 主研领域: 应 用数学。 摘要Mathematica 软件是专门进行数学类计算的软件， 其主要功能是符号运算功能和绘图功能。在高等数学的教学过程中引 入 Mathematica 软件， 有利于增强教学内容的直观性， 激发学生学习数学的兴趣， 提高解决实际问题的能力。 关键词Mathematica 软件高等数学绘图 中图分类号TP317G434文献标识码A EXPLORING APPLICATIONS OF MATHEMATICA SOFTWARE IN MATHEMATICS TEACHING Kong Xiangqiang ( Department of Mathematics， Heze University， Heze 274000， Shandong， China) AbstractMathematica software is the one especially used for mathematics computation， and its main functions are the symbolic operation and drawing The introduction of Mathematica software in teaching process of college mathematics benefits the intuition of strengthening the teaching contents， inspiring students interest in their mathematics studies and enhancing students capabilities in solving practical problems KeywordsMathematica softwareHigher mathematicsDrawing 0引言 随着科学技术迅速的发展， 高等数学课程在相关行业和领 域的作用逐步突出， 人们对应用数学知识解决实际问题的诉求 日见强烈。因此， 用科学计算的方法解决遇到的问题是高等数 学课程所面临的重要课题， 在高等数学的教学过程中引入数学 软件是十分必要的， 进而培养学生应用计算机进行科学的 计算 1 。 Mathematica 软件是一种数学分析型软件， 以符号计算见 长。其主要优势有: ( 1) Mathematica 具有高精度的数值计算功 能和强大的图形功能， 可以绘制高等数学中出现的函数图形; ( 2) Mathematica 简洁易用， 在熟悉命令的基础上就可以使用; ( 3) Mathematica 具有很强的渲染效果， 可充分调动学生学习的 积极性; ( 4) Mathematica 交互性好， 能实时地得出结果2 。在高 等数学的教学过程中应用软件， 可以激发学生学习高等数学课 的兴趣， 提高学生分析问题和解决问题的能力， 对培养学生的创 造性思维、 意识和实践能力具有特殊的作用。 本文通过典型实例， 深入探讨了 Mathematica 软件在高等数 学教学中的具体应用。 1利用 Mathematica 软件辅助图形提高教学 效果 1 1Mathematica 软件在微分中值定理中的应用 高等数学中的微分中值定理， 在理论上和应用上都十分重 要， 只从理论上分析和解释学生不易掌握， 利用 Mathematica 软 件， 可很好地验证定理的结论。 案例 1在区间 0， 1 上验证函数 f( x)= arctanx 对拉格朗 日中值定理的正确性。 输入: f x_ : = ArcTan x ; Plotf x ， x， 100， 100 a =0; b =1; Solvef x ( fb f a ) /( b a) ， x ; N % 输出: x0522723 ， x0522723 得到结果如图 1 所示。 图 1函数 f( x)= arctanx 的图形 从图 1 可发现函数的几个显著特征: ( 1)f( x)= arctanx 在 0， 1 上连续; ( 2)在 0， 1 上曲线光滑( 可导) ; ( 3)f( 0)= 0， 142计算机应用与软件2012 年 且函数有界。从结果中明显地看出， 值 0 522723 介于 0， 1之 间， 因此验证了拉格朗日中值定理。若用手工计算会比较麻烦， 且结果也不准确。 1 2Mathematica 软件在求函数渐近线中的应用 函数的渐近线分三种情形水平渐近线垂直渐近线和斜渐 近线。 若 lim x + f( x)= A 或 lim x f( x)= A， 则 y = A 是 y = f( x) 的一条 水平渐近线; 若 lim xx0+f( x)= 或 limxx0f( x)= ， 则 x = x0 是 y = f( x) 的一 条垂直渐近线; 若 k = lim x f( x) x 0， b = lim x( f( x) kx) ， 则 y = kx + b 是 y = f( x) 的斜渐近线。 在求函数的渐近线时， 学生总是忘记其中的一种， 利用 Mathematica 软件画出图形， 可更好地认知渐近线的存在情形。 案例 2求函数 y = x3 ( x 1) 2的渐近线。 输入: fx_ : = x3/( x 1) 2; m = Limit f x ， x1 n = Limitfx ， xInfinityk = Limit f x/x， xInfinityb = Limitfx k* x， x Infinitygx_ : = x +2; Plot f x ， gx ， x， 10， 10 ， PlotRange Automatic 输出: 12 得到结果如图 2 所示。 图 2函数 y = x3/( x 1)2及其渐近线图形 从结果中得出， x =1 为函数的铅直渐近线; 无水平渐近线; y = x +2 为斜渐近线。 1 3Mathematica 软件在作变限积分函数图形方面 的应用 变限积分函数是一类特殊形式的函数， 它是连接众多知识 的纽带。对于变限积分函数的概念， 学生往往理解得不透彻， 分 不清楚变限积分函数是关于谁的函数。利用 Mathematica 软件 画出函数图形， 从而可直观地观察出函数的形态。 案例 3作函数 f( x)= x 0 cos t 2 2 dt 的图形。 输入: fx_ : = IntegrateCosPit2/2 ， t， 0， x ; Plotfx ， x， 5 5， 55 ， PlotStyle AbsoluteThickness 1 ， AspectRatio12 输出: 得到结果如图 3 所示。 图 3函数 f( x)= x 0 cos t 2 2 dt 的图形 1 4Mathematica 软件在求微分方程数值解方面的 应用 微分方程的数值解一般情况下不易求出， 利用软件可得到 在指定范围内的数值解， 并且作出的积分曲线很好地反映了解 的情况。 案例 4求微分方程 y = ysin( 2x + y) 满足初始条件 y( 0) =1 的数值解。 输入: s = NDSolve yx= yxSin 2x + yx ， y 0= 1 ， y， x， 0， 10 Plot Evaluate y x/ s ， x， 0， 10 ， PlotRangeAll 输出: yInterpolatingFunction 0 ， 10 ， 得到结果如图 4 所示。 图 4方程 y = ysin( 2x + y) 的数值解图形 从图 4 可看出解的范围和分布情况。 2利用 Mathematica 软件辅助教学较复杂的 计算， 培养学生的学习兴趣 数值计算在理论上算法多、 公式多、 计算量大， 从而使得教 学过程中的推导繁琐、 枯燥， 缺乏直观性。有很多的计算， 从数 据到数据， 单调乏味， 十分影响学习兴趣， 在没有软件辅助计算 时， 都是非常困难的， 甚至是不可能的。因此， 无论是老师还是 学生， 都希望在这方面有所突破， 建立快速通道， Mathematica 软 件提供了很好的途径3 。 案例 5求不定积分 x21 + x 槡 2 5 + 11x2 dx ， 并作出结果的图形。 第 6 期孔祥强: Mathematica 软件在数学教学中的应用探索143 输入: Integrate ( x2* Sqrt 1 + x2 ) /( 5 +11* x2) ， x Plot%， x， 5， 5 输出:1 242 11x1 +x 槡 2 +ArcSinh x 槡 2 30ArcTan槡 6 5 x 1 +x 槡 2 得到结果如图 5 所示。 图 5不定积分x 2 1 + x 槡 2 5 + 11x2 dx 的一条积分曲线 该结果不易推导， 但软件可轻松实现。 案例 6求函数 f( x)= x32x23x +1 的一阶导数和二阶 导数， 并描绘 f( x) 的单调区间、 凹凸区间和拐点。 fx_ : = x3 2x2 3x +1; D f x ， xD %， x t1 = Plotx3 2x2 3x +1， x， 5， 5 t2 = Plot 3x2 4x 3， x， 5， 5 t3 = Plot 6x 4， x， 5， 5 Show t1， t2， t3， PlotRange5， 5 ， AspectRatioAutomatic 得到结果如图 6 所示。 图 6函数 f( x)= x32x2 3x +1 及其一阶和二阶导函数图形 从图 6 不难理解， f( x) 、 f( x) 和 f( x) 之间的关系， 形象地 展示了单调性、 凹凸性、 增减性等函数一些基本性质， 并得出导 数和原函数的关系， 直观地看出极值极点、 拐点的意义。 案例 7求三次积分 2 2dx 4x 槡 2 4x 槡 2dy 2 x2+y 槡 2( x 2 + y2) dz 。 输入: fx_， y_， z_ : = x2 + y2; t1 =0; t2 =2 Pi; r1 t_ : =0; r2t_ : =2; z1 t_， r_ : = r; z2 t_， r_ : =2; Integrater* fr* Cost ， r* Sint ， z ， t， t1， t2 ， r， r1t ， r2 t ， z， z1 t， r ， z2 t， r 输出:16p 5 3利用 Mathematica 软件， 验证结论的正误， 理解高等数学中概念之间的区别和联系 高等数学中的不少知识比较抽象， 推导也比较复杂， 并且计 算量大， 教师往往把主要的精力放在理论的分析和推导上， 不易 使学生掌握。可通过 Mathematica 软件计算， 得到精确的结果， 便于对理论的验证。 案例 8求极限 lim x xsin 1 x 和lim x0 xsin 1 x ， 并比较计算的 结果。 输入: f x_ : = x Sin 1/x ; Limit f x ， xInfinity Plot f x ， x， 10000， 10000 Limit fx ， x0 Plot f x ， x， 0 01， 001 输出: 10 得到结果如图 7、 图 8 所示。 图 7x时， 函数 f( x)= xsin 1 x 的变化趋势 图 8x0 时， 函数 f( x)= xsin 1 x 的变化趋势 从图 7 可以看出， 当 x 时， 函数的极限为 1; 从图 8 看 出， 当 x0 时， 函数极限为 0。通过图 7 和图 8， 学生可深刻地 理解这两种极限之间地区别， 加深对极限概念的理解。 案例 9设函数 f( x)= x3x 0 sinx x 0 ， 判断 f( x) 在 x =0 处的 连续性和可导性。 f x_ : = Ifx 0， x3， Sinx ; Plot f x ， x， 2， 2 得到结果如图 9 所示。 图 9分段函数 f( x)= x3x 0 sinx x 0 的图形 144计算机应用与软件2012 年 从图 9 看出， f( x) 在 x =0 处连续。 Limit ( Sin x f 0 ) /x， x0， Direction1 Limit ( x3 f 0 ) /x， x0， Direction1 结果分别为 1 和0， 即 f( x) 在 x =0 处的右导数为1， 左导数 为 0， 故在 x =0 处不可导。 gx_ : = Which x 0， 3 x2， x 0， Cos x Plot g x ， x， 2， 2 得到结果如图 10 所示。 图 10分段函数 g( x)= 3x2x 0 cosx x 0的图形 从 f( x) 的导函数 g( x) 的图 10 中看出， g( x) 在 x = 0 处间 断， 即验证了 f( x) 在 x =0 处不可导。该例体现了一元函数连续 和可导的关系， 使学生加深了对两个概念的理解， 也验证了教材 上定理的正确性。 4利用 Mathematica 软件， 作空间解析几何中 的图形 向量代数和空间解析几何一章中， 要绘制空间曲线、 空间曲 面的图形， 及空间曲面所围成的空间区域的图形等， 用手工绘图 是相当困难的， 用 Mathematica 软件可快速作出图形， 借助于直 观图形可加深学生对知识的理解， 从而达到激发学生学习兴趣 的目的。在二重积分和三重积分的计算中， 也要用到这些知识， 因此， 掌握常见二次曲面的图形十分必要4 。 案例 10作出 z = tan( xy)的图形5 。 Plot3D Tanx* y ， x， 0， 3 ， y， 0， 3 ， PlotPoints40 得到结果如图 11 所示。 图 11函数 z = tan( xy)的图形 案例 11作出 x2+ y2+ z2=1 与 x2+ y2= x 的交面。 r1 = ParametricPlot3D Sinu* Cosv ， Sinu* Sinv ， Cos u ， u， 0， Pi ， v， 0， 2 Pi r2 = ParametricPlot3D ( Cost ) 2， Cost* Sint ， z ， t， 0， 2Pi ， z， 0， 12 Showr1， r2 得到结果如图 12 所示。 图 12球面 x2+ y2+ z2=1 与柱面 x2 + y2=