两自由度刚性碰撞的动力学研究

兰州交通大学毕业设计（论文）摘 要 在实际工程系统中，有许多问题的数学模型和动力学方程都可用非线性系统来描述。非线性系统由于参数的变化会引起系统响应的本质变化，从而产生分岔现象，甚至导致混沌运动。混沌是某些非线性动力学系统特有的内在属性，它与机械振动理论相结合而形成新的学科混沌振动，正在成为一个日趋活跃的研究领域。本文建立了一类两自由度机械碰撞振动系统的力学模型，取碰撞前瞬时的定相位面为Poincar截面，构造Poincar映射并给出其Jacobi矩阵，利用正交化，范数归一化等方法得出两自由度碰撞振动系统的计算方法。并通过理论分析和Matlab数值仿真相结合的方法，研究了该系统在适当参数下发生混沌和分岔的动力学行为。并且揭示了系统主要参数对碰撞振动系统全局分岔的影响，为实际应用中两自由度碰撞振动系统的动力学优化设计提供了理论参考。关键词：碰撞振动；周期运动；混沌；分岔 AbstractIn practical engineering systems, many of the problems of the mathematical model and the kinetic equation can be described by nonlinear systems. Nonlinear systems due to changes in parameters will cause fundamental changes in the system response, resulting in bifurcations, and even lead to chaotic motion. Chaos is the attribute of some nonlinear dynamic system. Chaotic vibration formed from the combining of chaos and mechanical vibration is becoming an active field. In this paper, a two-degree-of-freedom vibro-impact system is investigated. By using a constant phase surface in the pre-impact instantaneous as the Poincar section and introducing the local maps, the Poincar section is constructed and the corresponding Jacobi matrix is obtained. Using the Gram-Schmidt ortho-normalization and the iterative method, we obtain the method for calculating the vibro-impact system. And through the combination of theoretical analysis and Matlab numerical simulation method to study the dynamic behavior of the system which occur Chaos and bifurcation with appropriate parameters. And reveals the influence of the main parameters of the system to vibro-impact system global bifurcation, which give a theoretical reference for the dynamical optimal design of vibro-impact system in practical application.Key words: Vibro-impact; Periodic motion; Bifurcation; Chaos目 录摘 要IAbstractII第一章 绪 论11.1 课题背景11.2 混沌理论的发展概述11.3非线性振动系统的研究现状21.4本文研究的问题3第二章 混沌理论及算法介绍52.1 混沌的基本概念52.1.1 混沌的定义52.1.2平衡点52.1.3吸引子及Lyapunov指数62.1.4 混沌现象62.1.5通向混沌的道路72.2分岔的概念及类型82.3 庞克莱(Poincar)映射理论92.3.1 Poincar映射92.3.2 Poincar截面92.4高维系统的运动微分方程92.5 解的稳定性102.5.1 平衡点的稳定性102.5.2 任意解的稳定性102.6 本章小结11第三章 两自由度刚性碰撞振动系统的强迫振动123.1 两自由度刚性碰撞振动系统的力学方程及其解耦后的解123.2 碰撞振动系统的稳定性分析303.3碰撞振动系统的混沌及分岔473.4 本章总结51结 论56致 谢57参考文献5860第一章 绪论1.1 课题背景碰撞振动是我们日常生活和生产实际中经常见到的一种现象，它往往是非线性系统，其研究涉及工程机械、工程力学、应用物理、应用数学等多个领域，在机械系统优化、核反应堆的可靠性设计、高速列车的动力学分析和噪声控制等方面的研究具有重要的意义。在工程实际中，为了某种生产的目的，可以利用碰撞振动的动力学原理设计制造多种冲击机械，例如，振动落砂机、冲击钻进机械、振动筛、振动锤、打桩机1、微振造型机及打印机机头等。1937年Paget发明了冲击消振器，用来抑制涡轮机叶片、飞机机翼的颤振2，后来又被用于高层建筑的减振。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。所以研究非线性系统的碰撞振动3及其混沌与分岔具有十分重要的现实意义。1.2 混沌理论的发展概述混沌运动是一种貌似无规则的运动，是非线性动力学系统4-6所特有的一种运动形式，他广泛的存在于自然界中，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种领域。一般而言，混沌是指在确定性的非线性系统中，不需要附加任何随机因素亦可出现的类似随机的行为(内在随机性)。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincar他研究天体力学时发现，太阳系的三体引力互相作用能产生惊人的复杂行为；某些系统具有初值敏感性和行为不可预见性。在Poincar之后，一大批数学家和物理学家在各自的研究领域所做的工作为混沌理论的发展积累了许多有价值的经验。1963年，美国麻省理工学院著名的气象学家E.N.Lorenz对一个完全确定的三阶常微分方程进行了数值计算，得到了杂乱无章的解Lorenz奇怪吸引子，并同时发现了混沌对初值的极端敏感性一蝴蝶效应7。1971年，法国数学物理学家D.Ruell和荷兰数学家ETakens一起发表了著名论文论湍流的本质，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。1975年，美籍华人李天岩和美国数学家J.Yorke在美国数学月刊联合发表了著名的论文周期意味着混沌，深刻揭示了从有序到混沌的演变过程，在文中首先提出Chaos(混沌)这个新的科学名词，并为后来的学者所接受。1976年，美国数学生态学家R.May在美国自然杂志上发表了题为具有复杂动力学过程的简单数学模型的综述文章，以单峰映射为对象，重点讨论了Logistic方程，向人们揭示了生态学中一些简单的确定数学模型也能产生倍周期分叉和混沌运动8-13，促进了不同领域混沌研究的交流。1978年，Feigenbaum等人在梅的基础上独立地发现了普适常数，从而把混沌研究从定性分析推进到定量计算阶段，成为混沌研究的一个重要的里程碑。20世纪80年代以来，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进、无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是天文学、气象学、经济学、甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。研究人员用已有的混沌理论成功地解释了许多原来无法解释的现象。20世纪以其非线性动力系统混沌同步的研究及灿烂的科学发现和技术进步而载入史册，人类已经迈进了科学技术更加蓬勃发展的21世纪。回顾这历史上光辉的百年，却有学者甚至宣称，20世纪的科学只有3个理论将被人们永远铭记，这就是相对论、量子论、混沌论，把混沌誉为20世纪科学的第三次革命，正如一位物理学家所说：“相对论排除了绝对空间和时间的幻觉；量子论排除了对可控测量过程的牛顿式迷梦；混沌论则排除了拉普拉斯的可预见性的狂想”。在这三大革命中，混沌革命不仅适用于大到宇宙d，N微观粒子，而且适用于我们看得见、摸得到的世界，适用于和人自己同一尺度的对象，因而是一次范围更为广泛的革命。混沌，带着古老传说的神秘和当代科学前沿的探索，正在不胫而走，引起了越来越多的关注。某些思想(那些我们现在称为混沌的思想)确实改变了人们认识事物的方式。混沌研究的进展，正在消除对统一的自然界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟，使复杂系统的理论建立在“有限性”这更符合客观实际的基础之上。混沌学的独立，在确定论和概率论这两大科学体系之间架起了桥梁，它将揭开物理学、数学乃至整个现代发展的新篇章。当前混沌研究主要集中在以下四个方面：(1)产生混沌的机理和途径 (2)混沌的判据和统计特征 (3)奇怪吸引子和吸引域的集合结构 (4)混沌的控制和应用。混沌不是偶然的、个别的事件，而是普遍存在于宇宙间各种各样的宏观及微观系统的，万事万物，莫不混沌。混沌也不是独立存在的科学，它与其它各门科学互相促进、互相依靠，由此派生出许多交叉学科，如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值，而且有现实应用价值，能直接或间接创造财富。1.3非线性振动系统的研究现状非线性动力学已从经典的以摄动法、渐进分析的方法研究非线性、弱耦合系统14-15的阶段，进入到近代的更深入研究系统的复杂行为的阶段。非线性动力系统往往含有一个或多个控制参数。研究非线性动力学方程的一般方法是，首先找到系统的平衡点，然后在平衡点附近研究系统的演化情况。由非线性动力学理论可知，动力学系统在平衡点附近的局域性可以由非线性方程在平衡点附近的线性化矩阵的本特征值确定。在非线性振动系统中，即使为单自由度系统，当参数满足一定的条件时，输入确定性激励后，却输出类似随机的宽频响应。含间隙的碰撞振动系统一般均为多参数系统，参数的变化将会引起系统的动力学行为的本质变化，其重要特征就是各种分岔以及混沌现象的出现。由于碰撞的存在，系统具有明显的不连续性和强非线性的特征，因而动力学性质的变化也往往具有突变性。碰撞过程是一个很复杂的过程，与物体接触瞬时的相对速度、接触面的形状、接触时间以及接触部位的局部塑性变形16等因素密切相关。含间隙的机械构件广泛存在于机械、航空、航天、交通等系统中, 在运行的过程中和其它外激励作用下, 零部件间将出现碰撞和摩擦17, 并引起噪音、振动和磨损, 更进一步会导致效率降低甚至设备的损坏。因此碰撞、摩擦振动问题的研究对机械系统的动力学优化设计、可靠性及噪声控制等都具有重要的意义。一般，由于含间隙和碰撞的机械振动系统多为多参数高维系统18-20，并且碰撞或冲击等因素造成的非线性与奇异性使得系统具有很强的非线性动力特性。许多研究者借助非线性振动理论的数值解法获得了该类系统的非线性振动规律：不仅存在着多种周期运动，而且随着参数的变化出现各种分岔21-24(周期倍化分岔、Hopf分岔等)，进而演变成概周期、非周期或混沌运动。但在研究中全面考虑碰撞中的所有物理过程十分困难，因此需对碰撞条件和碰撞过程进行合理简化，从而建立起比较符合实际的碰撞模型建立含间隙结构的碰撞振动系统动力学模型，然后通过数值求解对该结构模型在不同参数条件下的非线性振动特性进行分析。机械系统中混沌现象是普遍地存在的。目前对机械系统中混沌的研究，仍处于初始阶段，即主要集中在发现混沌现象的阶段。研究机械系统中混沌的最终目的是分析其对机械系统的正面和负面影响，进而采取相应的措施，利用或抑制混沌。因而，如何克服、控制机械系统中混沌带来的危害，以及如何利用混沌提高机械系统的效率、降低系统的能耗，将是未来机械工程研究的一个重要方向。1.4本文研究的问题 很多动力机械系统中由于各种各样的因素会导致有间隙。间隙会导致动力机械系统在工作时机构间发生碰撞。之前含间隙系统的理论研究己引起国内外学者的普遍关注。尤其是在含间隙机械系统和冲击振动系统动力学优化设计，可靠性分析和降低噪声问题方面。碰撞振动系统逐渐成为人们研究分岔，混沌理论及应用于实践的工具。由于机械的生产加工过程中工艺水平的限制、零部件间运动的存在，以及机械装配过程的需要或为了满足机械中某一部分的热胀冷缩等等，机械部件之间不可避免地存在间隙，这些间隙的存在必然导致机械装置在运行中发生碰撞振动27,28，如齿轮拍击、引擎的锤击、存在止挡冲撞的机械系统等。零部件间的碰撞振动可能改变机构动力系统运动的拓扑结构，给机构的动态设计带来了相当大的难度，也是造成机械部件损坏的主要原因之一。在核反应堆中，元件在冷却流体作用下诱发振动，并与支撑发生碰撞，可能造成零部件磨损而发生核泄漏，蒸汽发生器中的换热管与支撑板的碰撞振动，能使换热管发生磨损破坏，给核反应堆的安全运转带来威胁，并在经济上带来巨大损失。大多数碰撞振动问题的共同特点是碰撞振动系统的维数高，动力响应复杂。为达到预期的工作目的，取得优化的工作效果，大量工程实际问题迫切需要人们对碰撞振动系统的动态行为有更深入、更全面的认识。含间隙的振动系统或冲击系统一般都是多参数系统，参数的变化将引起系统动力学响应的本质变化:分岔、混沌现象。由于碰撞的存在，系统呈现出不连续性和强非线性，其动力学性质的变化往往是具有突变性。而数据误差、安装误差、运行中的正常磨损等因素不可避免地导致预期地工作状态不能实现。本文通过建立碰撞振动系统的运动微分方程。根据边界条件推出n-1碰撞周期运动的四维Poincar映射，计算了Jacobi矩阵的特征值。进一步研究了n-1周期运动的稳定性与分岔，数值分析了二自由度振动系统的n-1周期运动的分岔及其走向混沌的过程，并且揭示了系统主要参数对碰撞振动系统全局分岔的影响。从而为采取相应的措施，利用或抑制混沌提供坚实的理论基础。第二章 混沌理论及算法介绍2.1 混沌的基本概念混沌(Chaos)又称浑沌 ,指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。2.1.1 混沌的定义混沌指发生在确定型系统中貌似随机的不规则运动。按传统观念，确定性系统对确定性激励的响应也必是确定性的，但现已证实，满足一定条件的非线性振动系统，受确定性激励后也会产生貌似无规则的振动响应，即混沌振动。“Chaos”一词在现代科学和工程中已被广泛接受和使用，从Li-York定理出发，形成目前最有代表性的混沌专门定义。Li-York定理：设是上连续自映射，若有3周期点，则对任何正整数，有周期点。混沌的李约克定义如下：设连续自映射f: ,I是R中的一个闭区间，如果存在不可数集合满足：（1） S不包含周期点。（2） 任给有这里，表示t重函数关系。 (3)任给及f的任意周期函数有 则称f在s上是混沌的。2.1.2平衡点对差分方程(其中状态变量)而言，满足的点称为平衡点。在相空间中，平衡点是一个不动点。当方程的初值在平衡点上时，则解始终在平衡点的位置上；而当初值在平衡点附近时，由初值问题解的存在性与唯一性，相空间中的解轨线或者远离平衡点，或者逼近平衡点，但不会通过平衡点。2.1.3吸引子及Lyapunov指数指相空间的一个点集或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡之后所有的相轨线都趋于它，吸引子是稳定的平衡点。Lyapunov指数29的定义： (2.1)Lyapunov指数是衡量系统动力学特性30的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统，Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m 个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。不管系统是不是耗散的,只要就会出现混沌。李雅谱诺夫指数小于零，则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点，这对应于稳定的不动点和周期运动;若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不稳定，如果轨道还有整体的稳定因素(如整体有界、耗散、存在捕捉区域等)，则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高。2.1.4 混沌现象闭区间I上的连续自映射f(x),如果满足下列条件，便可确定它有混沌现象。(1)的周期点周期无上界；(2)闭区间I上存在不可数子集，满足(i)对任意,当xy时有。(ii)对任意时，有。(iii)对任意和的任意周期点，有。根据上述定理和定义可知，对闭区间I上的连续函数,如果存在一个周期为3的周期点，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。同时还表明了混沌运动的重要特征：(1)存在可数无穷多个稳定的周期轨道；(2)存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；(3)至少有一个不稳定的非周期轨道。定义表明在区间映射中，对于集合中的任意两个初值，经过迭代，两序列之间的距离的上限可以为大于零的正数，下限等于零。就是说，当迭代次数趋向无穷时，序列间的距离可以在某个正数和零之间“飘忽”，即系统的长期行为不可预测性。2.1.5通向混沌的道路混沌运动是确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态，即使对于确定性非线性动力系统，也只有在适当参数下才表现为混沌运动，在其他情况下仍然表现为确定性运动。通往混沌的道路通常有以下几种:(1)倍周期分岔道路分岔与混沌有着密切的联系，系统周期解在一定条件下会产生倍周期分岔。倍周期分岔即周期不断加倍而产生混沌，其基本途径为:不动点2周期点4周期点无限倍周期凝聚(极限点) 奇异吸引子。很明显，每次倍周期分岔都是叉型分岔。由倍周期分岔通向混沌是通向混沌的主要方式之一，也就是说出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。(2)阵发性分岔( explosive分岔，或间隙性分岔，或爆发性分岔)通向混沌阵发分岔是指在分岔图上，系统的周期解随着参数的逐渐变化，当某些参数的变化达到某一临界阀值时，系统突然变成非周期的近而成为混沌，系统的时间行为忽而周期(有序)、忽而混沌，在两者之间振荡。这样的分岔使混沌吸引子的大小产生了一个跳跃，因此也称为explosive分岔。它的特点是分岔过程有明显的跳变现象。(3)茹厄勒一塔肯斯道路这条通向混沌的道路是由菇厄勒和塔肯斯等人为了取代朗道(Landau L D)关于湍流的假设，针对Landau的论湍流问题，在合写的论湍流的本质这篇论文中提出的。Landou-Hopf认为系统经过无穷多次准周期分岔可进入混沌。Ruelle-Takens经过研究发现，只要经过有限次，一般是几次即可进入混沌。这就是Ruelle-Taken、道路。这条道路即指系统直接经过若干次Hopf分岔进入混沌。(4) KAVI环面破裂近可积Hamilton系统的轨线分布在KMA环面上，一个套在另一个外面，两个环面之间充满混沌区。它在法向平面上的截线称为KMA曲线。可积Hamilton系统的相平面被鞍点连续分割，相空间中的各部分的运动互不相混。在不可积小摄动下，双曲鞍点附近发生变化，鞍点连线破裂并在鞍点附近产生剧烈震荡，引起混沌运动。除上述四种通向混沌的道路之外，还有如准周期过程、剪切流转等许多产生混沌的方式。2.2分岔的概念及类型图2.2.1 Logistic映射分岔图分岔是指对于不稳定的非线性微分方程系统，存在一个很小的初值扰动使得系统的拓扑结构发生了变化，这种变化就是分岔现象。对于含参数的系统，当系统的一些控制参数发生变化时，新的定常状态解、周期解、拟周期解或者是混沌解就会分岔出来，其中相轨迹图发生拓扑结构的突变，分岔理论是非线性稳定性行为数学理论，失稳是发生分岔的物理前提，分岔后，系统的不同状态便会有了突变，经过不断的分岔，最终达到的状态就是混沌理论的研究对象。分岔包括两类：(a)静态分岔：讨论平衡态数目和稳定性的变化，常见有：极限点分岔(鞍结分岔)、叉形分岔、跨临界分岔、滞后分岔、孤立点分岔等；(b)动态分岔：讨论系统在相空间中轨线拓扑结构的变化，常见有：Hopf分岔、次谐和超谐分岔、概(准)周期分岔(不变环面分岔)、同异宿轨线分岔等。 对于有一个变化参数的非线性微分系统，随着参数的变化系统的Jacobi矩阵的特征值就会发生变化。当出现特征值的实部为零的时候，就会出现系统拓扑结构的变化，从而出现分岔。从Jacobi矩阵的特征值的角度可以看出，参数变化可能出现 (特征值的实部为零)的情况有三种：(1)特征值沿复平面的实轴穿过虚轴;(2)特征值沿复平的上方或下方穿过虚轴;(3)特征值沿复平面的实轴两边趋向虚轴。三种过程分别称为叉型(Pitchfork)分岔、霍夫分岔和鞍结分岔(或切分岔)。无论哪一种类型的分岔，它们在分岔点处都应有。2.3 庞克莱(Poincar)映射理论法国数学家Poincar利用几何的观点，对非线性动力学系统进行了深入的研究，总结出了该方法。2.3.1 Poincar映射考察相空间中的轨线，如果我们在相空间中作一平面S，则轨线与平面S相交时的时间及交点构成一序列：(t0,P0)，(t1,P1)，(t2,P2)，(tn,Pn)，构造一映射，使得 ，这是一个离散映射，称为Poincar映射31-33。2.3.2 Poincar截面设为维实空间中非线性动力学系统的某个流上的一个闭轨，为一个维的超曲面，且对所有的皆成立，其中是在处的单位法向量(此时，称与处处横截)。设与有唯一的交点，为的某个邻域，对上的某个点的Poincar映射定义为： (2.2)其中，是经点的轨线首次回到所需的时间(一般而言，依赖于，但不一定等于闭轨的周期，但是当时，将有)。称为Poincar截面。2.4高维系统的运动微分方程工程上较复杂的振动问题多数需要用多自由度的振动理论来解决。一个具有两个自由度的系统，它在任一瞬时的运动形态要用两个独立的广义坐标来描述，系统的运动微分方程一般是两个相互耦合的二阶常微分方程组成的方程组。对两自由度的无阻尼系统而言，它具有两个固有频率(有可能出现重值)，当系统按任意一个固有频率做自由振动时，系统的运动是一种同步运动，称为主振动。系统作主振动时所具有的振动形态称为主振型，或称为模态。在初始干扰下，系统的自由振动是两个主振动的叠加。对于特殊选取的两个广义坐标，系统运动微分方程将不再出现坐标间的耦合，这样的坐标称为主坐标。利用主坐标，两自由度系统的振动可以当做两个单自由度系统的振动来考虑，然后通过叠加得到系统原来的振动，这种分析方法称为振型叠加法。多自由度系统的阻尼经常假定为比例阻尼或振型阻尼，对这些类型的阻尼系统，振型叠加法行之有效。多自由度系统的运动微分方程可以应用牛顿第二定律(或达朗伯原理)、拉格朗日方程及影响系数方法等来建立，所建立的方程中每一项的量纲是力还是位移可以分为作用力方程及位移方程两类。我们通常对解的最终行为或最终趋势感兴趣，也就是希望研究动态系统当t时的运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状态体现了动态系统的本质结构。微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解(4)混沌解。 2.5 解的稳定性解的稳定性是指，对于某一个给定的初值问题的解，当初始条件受到扰动时，受扰动的解与未扰系统的解之间的偏离问题。解的稳定性研究是解的长期行为研究中的一种情况。2.5.1 平衡点的稳定性 设是微分方程的平衡点，即 , 若对的任意小的邻域，存在邻域，当动态系统的初值 时，对任意的t0成立，则称平衡点是Liapunov稳定的。微分方程平衡点的稳定性，首先可以通过将方程进行线性化 从而转化为研究y的零解的稳定性：当Jacobi矩阵的所有特征值都有负实部时，零解是稳定的；当Jacobi矩阵至少存在1个有正实部的特征值时，零解不稳定。这个定理对于线性和非线性微分方程都成立，具有这类特征值的系统称为双曲(Hyperbola)的，双曲的系统对线性和非线性具有相同的拓扑性质，这样的性质称为是通有(Generic Property)的。对于双曲系统，可以通过对应的线性系统来分析非线性系统平衡点的稳定性，并且无须考虑非线性的强与弱。如果要对动态系统进行分类，那么双曲系统在算子空间中是稠密的，而非双曲系统则是孤立的。2.5.2 任意解的稳定性 设是微分方程 的一个解，若对任意小的和任意大的T0，存在，使得当任意的，以为初值的解成立 则称解是Liapunov稳定的。当时，则称为一致稳定。 事实上，对于微分方程解的稳定性的讨论，可以转化为微分方程零解稳定性的讨论，引入，代入微分方程得到 2.6 本章小结在非线性动力学系统中，解析法已成为研究混沌的重要手段，它尤其适用于对非线性动力学系统的状态方程的解耦，然后解出微分方程组的精确解。利用解析法对一阶常微分方程的系统进行求解，得到的结果是可靠的。利用Matlab软件进行模拟，形象而生动的描述了非线性运动混沌演化的过程。正确利用算法和Matlab软件编程，熟练掌握解题方法和技巧能够为我们今后的工作和学习起到积极的作用。第三章 两自由度刚性碰撞振动系统的强迫振动3.1 两自由度刚性碰撞振动系统的力学方程及其解耦后的解图3.1 两自由度刚性碰撞振动系统的力学模型参数含义：实数集n维欧氏空间时间无量纲化的时间激振频率碰撞振子与固定约束碰撞前的瞬时速度碰撞振子与固定约束碰撞后的瞬时速度n个力周期，p次碰撞个力周期，p次碰撞，无滞留过程个力周期，p次碰撞，有滞留过程的扰动量分岔参数分岔值Poincar映射, Poincar映射在不动点处的线性化矩阵的只有最大模的共轭特征值对角阵衰减系数(1/s):固有频率：相对阻尼系数：阻尼固有频率推导运动微分方程25：图3.1是一个存在间隙的两自由度振动系统的力学模型，质量为和的振子分别由刚度为和的线性弹簧和阻尼系数为和的线性阻尼器相联接，两个振子只作水平方向的运动，并分别受到简谐激振力的作用。当质量为的振子的位移等于间隙时，将与刚性平面碰撞，改变速度方向后，又以新的初值运动，然后再次与碰撞，如此往复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼()，碰撞过程由碰撞恢复系数R确定24。如图2(a)(b)所示，由隔离法进行受力分析： (a) (b)图3.1.2 隔离法受力分析由牛顿第二定律：即在任意连续两次碰撞之间()，系统的运动微分方程为： (3.1)归一化：即：令：，则式(3.1)变为：整理为： (3.2)令，则得： (3.3) 用“.”表示对t求导数，则(3.3)式可化为： (3.4)令，,则(4)式化为： (3.5)求正则模态矩阵，以及正则质量矩阵,正则刚度矩阵,正则阻尼矩阵,正则化的激振力令，系统的特征值问题为：设其解为：，代入上式 (3.6)故系统的特征方程为：即 (3.7)将式(3.7)展开得：(3.8)将式(3.8)中的代回到式(3.6)得： (3.10)(第1阶固有频率作用下质量块的振幅)将式(3.9)、式(3.10)展开得： (3.11) (3.12)在式(3.11)中令,则在式(3.12)中令，则则系统主振型为：,故系统的模态矩阵(振型矩阵)为：模态质量矩阵为(主质量矩阵)：令则 所以 则 则各阶模态质量为：则各正则化因子的值为：故正则化因子矩阵：故正则模态矩阵为：则正则质量矩阵为一个阶单位矩阵，即正则刚度矩阵为：其中为谱矩阵，正则阻尼矩阵为：(因为)正则化的激振力为：令，则令，则解耦后的单自由度系统：对式(3.5)作如下坐标交换：则系统的正则模态方程为： (3.13)将式(3.13)化成 (3.14) (3.15)则问题简化成两个自有度的系统：设的通解为：令：，则有：运动微分方程的形式解(用待定系数法求解)为：即： (3.17)， (3.18)用待定系数法求方程的稳态解，对于式(3.13)，其振动稳态过程时其解为式(3.16)后两项，即： (3.19) (3.20) (3.21)将式(3.19)、式(3.20)和式(3.21)代回到式(3.13)中，得：合并同类项得： (3.22)式(3.22)中，及不恒为零，上式成立，须有： (3.23) (3.24)由式(3.24)得： (3.25)将式(3.25)代入式(3.23)中，得：解得： (3.26)将式(3.26)代入式(3.25)式中，得： (3.27)将，代入式(3.26)得： (3.28)下面求：将，代入式(3.27)得 (3.29)振子的冲击方程为： (3.30)无量纲化为： (3.31)在适当的系统参数条件下，碰撞振动系统的运动能够表现出周期性态，即碰撞周期(无量纲化后t的时间间隔)为，(n=1,2)，则可知系统周期运动边界条件(初始位移为处)， (3.32)将式(3.32)代入式(3.17)和式(3.18)中，得: (3.33)(3.34) (3.35) (3.36)(3.37)令：，则式(3.33)和式(3.34)可变为： (3.38) (3.39) (3.40) (3.41) (3.42)展开得： (3.43) (3.44): (3.45): (3.46): (3.47)由式(3.43)、式(3.44)、式(3.45)和式(3.46)四式以，为四未知数可求出如下线性其次方程组： (3.48) (3.49): (3.50): (3.51): (3.52)由式(3.48)、式(3.49)两式(右端相同)得： (3.53)得：得：， (3.54)式(3.54)可写成： (3.55) (3.56)将式(3.55)、式(3.56)代入式(3.52)得：化简得：得： (3.57)， (3.58)将式(3.58)代入式(3.57)得： (3.59) 将式(3.55)、式(3.56)和式(3.59)三式代入式(3.48)得：(3.60)令，将其代入式(3.60)得： (3.61)将式(3.55)、式(3.56)和式(3.59)三式代入式(3.50)得：化简得：再化简得： (3.62)令 ， (3.63)将式(3.63)代入式(3.62)得： (3.64)用式得：整理得： (3.65)令 (3.66)将式(3.66)式代入式(3.65)得： (3.67)当时，则式(3.67)变为： 得：当时，令得： (3.68)否则，(时)有即： (3.69)将式(3.68)代入式(3.69)得：得： (3.70)令，代入式(3.70)得： (3.71)由式(3.64)得： (3.72)其中，见式(3.71)将式(3.72)代入式(3.59)得： (3.73)在式(3.71)中，周期运动需满足如下条件： (3.74)将式(3.68)、式(3.71)、式(3.72)、式(3.73)和式(3.54)代入式(3.17)的碰撞振动系统的解： ， (3.75)3.2 碰撞振动系统的稳定性分析扰动运动方程：(3.76) (3.77)求，设无量纲时间为0，(在与平面碰撞后瞬时)，则下一次振子与平面碰撞前瞬时，为，令，连续两次碰撞边界条件为(注(1)扰动活动初始条件的方法):(1) ,， 1(2) (4) ， (4) (1) ， (3) (2) (4) (3.78)并且将式(3.78)中的边界条件代入式(3.76)和式(3.77)中得： (3.79) (3.80) (3.81) (3.82)展开得： (3.83)： (3.84)： (3.85)： (3.86)为消去，将得：化简得：即： (3.87)令,则(3.87)变为解得： (3.88) 同理，将得：化简得： 即： 解得 (3.89)同理将得：即： (3.90)将式(2.88)带入式(3.90)得：解得： (3.91)同理：将得：即 (3.92)将式(3.89)代入式(3.92)得：整理得： (3.93)将式(3.78)中的边界条件(t=)代入式(3.76)和式(3.77)中得： (3.94) (3.95)定义函数为 (3.96)式(3.94)和式(3.95)中： (3.97) (3.98)由不动点存在的条件有 (3.99)假设，根据隐函数定理，由方程(3.96)可以解得： (3.100)将式(3.100)代入式(3.95)，可确定Poincare映射为：(3.101)Poincare映射式(3.101)在不动点处的线性理论矩阵为： (3.102)用表示容