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文档简介

高考数学知识点对称问题分类探析对称问题是高中数学的重要内容之一,在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题,为使对称问题的知识系统化,本文特作以下归纳。一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x,y)关于点(a,b)对称点为P(x,y),x=2a-x由中点坐标公式可得:y=2b-y2、点P(x,y)关于直线L:Ax+By+C=O的对称点为x=x-(Ax+By+C)P(x,y)则y=y-(AX+BY+C)事实上:PPL及PP的中点在直线L上,可得:Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。(-)=-1(B0)特别地,点P(x,y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x,-y)和(-x,y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x,y)和(x,2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y,x)和(-y,-x)例1光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射,再经过y轴反射,反射光线经过点B(1,5),求射入y轴后的反射线所在的直线方程。解:如图,由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A(5,0),B关于y轴对称点B为(-1,5),直线AB的方程为5x+6y-25=0C(0,)直线BC的方程为:5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x,y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时,只须将曲线F(x,y)=O上任意一点(x,y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x,y)=0中相应的作称即得,由此我们得出以下结论。1、曲线F(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x,2b-y)=02、曲线F(x,y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C),y-(Ax+By+C)=0特别地,曲线F(x,y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x,-y)和F(-x,y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x,y)=0和F(x,2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y,x)=0和F(-y,-x)=0除此以外还有以下两个结论:对函数y=f(x)的图象而言,去掉y轴左边图象,保留y轴右边的图象,并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1:1)写出曲线C1的方程2)证明曲线C与C1关于点A(,)对称。(1)解知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s(2)证明在曲线C上任取一点B(a,b),设B1(a1,b1)是B关于A的对称点,由a=t-a1,b=s-b1,代入C的方程得:s-b1=(t-a1)3-(t-a1)b1=(a1-t)3-(a1-t)+sB1(a1,b1)满足C1的方程B1在曲线C1上,反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证:点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y),为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程,得:s-y=(t-x)3-(t-x)y=(x-t)3-(x-t)+s此即为C1的方程,C关于A的对称曲线即为C1。三、曲线本身的对称问题曲线F(x,y)=0为(中心或轴)对称曲线的充要条件是曲线F(x,y)=0上任意一点P(x,y)(关于对称中心或对称轴)的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。例如抛物线y2=-8x上任一点p(x,y)与x轴即y=0的对称点p(x,-y),其坐标也满足方程y2=-8x,y2=-8x关于x轴对称。例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲线:A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称C、关于原点对称D、关于直线x-y=0对称解:在方程中以-x换x,同时以-y换y得(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x,即xy2-x2y=2x方程不变曲线关于原点对称。函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论:1、函数f(x)定义线为R,a为常数,若对任意xR,均有f(a+x)=f(a-x),则y=f(x)的图象关于x=a对称。这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称,且其函数值相等,说明这两点关于直线x=a对称,由x的任意性可得结论。例如对于f(x)若tR均有f(2+t)=f(2-t)则f(x)图象关于x=2对称。若将条件改为f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)结论又如何呢?第一式中令t=1+m则得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m,也得f(2+m)=f(2-m),所以仍有同样结论即关于x=2对称,由此我们得出以下的更一般的结论:2、函数f(x)定义域为R,a、b为常数,若对任意xR均有f(a+x)=f(b-x),则其图象关于直线x=对称。我们再来探讨以下问题:若将条件改为f(2+t)=-f(2-t)结论又如何呢?试想如果2改成0的话得f(t)=-f(t)这是奇函数,图象关于(0,0)成中心对称,现在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移,由此我们猜想,图象关于M(2,0)成中心对称。如图,取点A(2+t,f(2+t)其关于M(2,0)的对称点为A(2-x,-f(2+x)-f(2+X)=f(2-x)A的坐标为(2-x,f(2-x)显然在图象上图象关于M(2,0)成中心对称。若将条件改为f(x)=-f(4-x)结论一样,推广至一般可得以下重要结论:死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。唐宋或更早之前,针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目,其相应传授者称为“博士”,这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者,又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋,乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者;而后者则于西晋武帝时代即已设立了,主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问,其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席,也是当朝打眼的学官。至明清两代,只设国子监(国子学)一科的“助教”,其身价不谓显赫,也称得上朝廷要员。至此,无论是“博士”“讲师”,还是“教授”“助教”,其今日教师应具有的基本概念都具有了。3、f(X)定义域为R,a、b为常数,若对任意xR均有f(a+x)=-f(b-x),则其图象关于点M(,0)成中心对称。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想

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