旋涡理论vortextheory.ppt

旋涡理论(vortex theory),本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学内容。,旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究,即流场中,课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？,本章讨论内容：,1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）,2.司托克斯定理,3.汤姆逊定理,4.海姆霍兹定理,5.毕奥沙伐尔定理,6.旋涡诱导速度的一般提法,7.兰金组合涡,旋涡运动的基本概念,一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。,自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。,园盘绕流尾流场中的旋涡,园球绕流尾流场中的旋涡,园柱绕流尾流场中的旋涡,有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡,弯曲槽道内的二次流,流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。,旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机 翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。,旋涡场的几个基本概念：,涡线上所有流体质点在 同瞬时的旋转角速度矢量 与此线相切。,涡线(vortex line)：,一、涡线,涡管,旋涡强度,涡线微分方程：,取涡线上一段微弧长,该处的旋转角速度,由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得涡线微分方程式：,若已知 ，积分上式可得涡线。 与流线的积分一样，将看成参数。取定 值就得到该瞬时的涡线。,涡管（ vortex tube ）：,在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是 涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成 的管状曲面称涡管。,涡管中充满着作旋转运动的 流体，称为涡束。截面积为无 限小的涡束称为涡索（涡丝）。,涡丝（vortex filament）：,则 dnd,为d上的旋涡强度(涡通量),若是涡管的截面，则称为涡管强度。,问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？,任取微分面积d， 法线分量为,沿面积分得旋涡强度：,表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量,二、速度环量（velocity circulation）,某瞬时在流场中任取曲线AB,在 向的投影,微元弧,速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方 向相同时（成锐角）为正,反之为负。,线积分方向相反的速度环量相差一负号，即,ABBA,速度环量的其他表示形式：,沿封闭周线C的速度环量,对于无旋流场:,对于有旋场:,速度环量的计算,1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量,由公式 计算,2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量,对于无旋场:,对于有旋场:,此式称为斯托克斯定理,三、斯托克斯定理,沿任意闭曲线的速度环等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强 度的两倍,即 J,斯托克斯定理：,环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。,证 明:,流场中取微元矩形abcd,而,微矩形面积ds上的环量：,将C域分为若干微矩形, 对各微分面积求d,推广到有限大平面,两邻矩形公共边积分 反向,速度环量其和为零。,内部线段环量相互抵消，只剩外部边界的环量。,证毕,上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”,AB线将切开，则沿周线 ABB，A，EA前进所围的区域 为单连通域。,用斯托克斯定理有:,区域在走向的左侧,积分路线相反，抵消掉了。,：沿外边界逆时针的环量,L ：沿内边界顺时针的环量,这就是双连通域的斯托克斯定理。,反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为零的结论。,但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。,则 有：,即,即 (与积分路径方向一致时),（3）正压流体（流体密度仅为压力的数）,假设：,（1）理想流体；,（2）质量力有势；,汤姆逊定理,证明:,导数：,第二项积分可写成,因此,由欧拉方程,而积分式,第一项积分可写成,若质量力有势则,若流体正压则,证毕,所以,在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。,汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：,2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。,例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。,注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄一层为有旋运动。,又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，流动仍保持为无旋运动。,海姆霍兹定理,海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理,（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）,涡管上任取截面和，并将涡管表面在 处切开。,由斯托克斯定理,因为,故得,即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截 面上的旋涡强度都相同。,若涡管很小， 垂直于 d ，则上式可写成 d const.,由斯托克斯定理上式写成:,或,而,不可能 的情况,因为,涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。,海姆霍兹第二定理涡管保持定理,正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。,由斯托克斯定理知沿周线C的=0,由汤姆逊定理该速度环量永远为零,即C所围的区域永远没有涡线通过。,即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。,海姆霍兹第三定理 涡管旋涡强度不随时间而变,正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。,由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。,海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。,海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。,因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。,毕奥一沙伐尔定理,已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节要讨论的问题,问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其 它区域全为无旋区。,例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为 旋涡诱导速度场。,涡丝诱导的速度场的计算:,为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中的毕奥沙伐尔定理引用过来。,诱导速度场与电磁场的类比,电磁场与诱导速度场的类比,电磁学中，电流强度为的导线，微元导线ds对场点所产生的磁场强度由毕奥沙伐尔公式得:,垂直于ds和所在的平面，按右手法则确定。,: ds离场点P的矢径,式中：,: 是ds与的夹角,dH的方向:,流体力学中毕奥沙伐尔公式的形式,旋涡强度为（环量2）的ds段涡丝对于点所产生的诱导速度：,流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿整个涡丝积分：,该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场,流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。,典型实例：无限长直涡丝,dx段对点的诱 导速度是：,直涡丝,段对点的 诱导速度：,方向垂直于纸面向外,在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动 都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面 点涡。如环量为，则在平面极坐标内的诱导速 度为:,R为场点至点涡的距离,已证明这种速度场是无旋的。,如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。,兰金（Rankin）组合涡,设流场中有一半径为的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。,已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就是。,这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。,一、速度分布,（1）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动,（r R）,在旋涡中心（0rR）：速度呈线性分布,（2）旋涡外部,由无限长直涡线的诱导速度公式：,（rR）,式中：,外部流速与成反比。,二、压力分布,（1）旋涡外部：流动定常且无旋,由欧拉积分式确定速度和压力的关 系。略去质量力有：,由边界条件，,该处0，则有0,结论：,1.愈靠近中心，速度值愈大，压力愈小。,2.在旋涡边界上，r=R，VVR，如相应 的压力为P,则,即在边缘R上，压力较无穷远处下降了,（2）旋涡内部: 定常有旋流动,由伯努利方程有：,流线为同心圆族，不同流线上压力不同。,由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力） 求解：,因 Vxy，Vy，代入上式得：,将以上两式分别乘 的dx 和 dy， 再相加得：,或,积分得：,在旋涡边缘上：,旋涡内部压力分布：,旋涡中心,旋涡中心的相对压力为,旋涡外部:速度越大压力越小,旋涡内部:速度越小压力越小,兰金（Rankine）涡:具有自由表面流场中的铅 直方向的圆柱形涡。,压力分布：,水面旋涡的涡量在中心附近为最大，向外逐渐减少，作为一种近似，可认为是由涡量均匀分布的核心部分（称涡核）和其外部的无旋流动两部分所组成。可直接应用本节的结果。,实际情况：,兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心的物理模型。,例5.2 设流场的速度分布为Vr， V= r， const，求涡线方程。,解：,容易验证: xy,涡线方程:,积分得: =1 =2 垂直于xo