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文档简介

系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性。,例2-11:考虑如下二阶系统:,2-3 线性系统的可观性,其状态转移阵为,一、可观测性的定义,这个例子说明,通过对系统输入和输出信息的测量,经过一段时间的积累和加权处理之后,我们可以唯一地确定出系统的初始状态,也就是说,输出对系统的初始状态有判断能力。初始状态一旦确定,则系统在任何时刻的状态就完全掌握了。,定义2-6:若对状态空间中任一非零初态x(t0),存在一个有限时刻t1t0,使得由输入ut0,t1和输出yt0,t1能够唯一确定初始状态x(t0),则称动态方程,在t0时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。,定理2-8:动态方程,在t0时刻可观测的充分必要条件是存在一个有限时刻t1t0,使得矩阵,的 n 个列在t0, t1上线性无关。,二、可观测性的一般判别准则,1)研究,分析() 式:q 个方程,n 个未知数,因此只利用 t0 时刻的输出值无法唯一确定x(t0) 。,(),证明:充分性:,2). 利用 y 在t0, t1的值,通过加权处理, 即在() 式两边左乘:,经过整理后有:,3). 对上式两边由t0 到 t1 积分,有,对照定理2-1,可知 V(t0, t1) 非奇异的充分必要条件是C(t) (t, t0) 在t0, t1上列线性无关。,证完。,注:在讨论上述方程的可解性时,不妨令u=0,即只讨论从零输入响应中求初态。,类似于定理2-5,有 定理2-10 设状态方程(A(t), B(t), C(t)中的矩阵A(t), C(t)是(n1)次连续可微的。若存在有限时间t1t0,使得,则系统在t0 时刻可观测。,这里,,三、可重构性,与可到达性概念相仿,可引入可重构的概念。,定义2-7与定义2-6在因果性上有区别:可重构 是用过去的信息来判断现在的状态;而可观测性则 是用未来的信息来判断现在的状态。,定理2-9:系统,(21),四、线性系统的对偶性,同理可证2)。,(2) CeAt的各在0, )上是复数域线列线性无关。,(1) 在0, )中的每一个 t0 ,(2-21)可观测;,(3)对于任何t0 0 及任何 t t0 ,矩阵,非奇异;,下列提法等价:,定理2-11:对于n 维线性不变状态方程,五、线性时不变系统的可观测性判据,(2-21),(5) 在复数域上,矩阵C(sIA)1的列是线性无关的;,(6) 对于A 的任一特征值 ,都有,证明:利用对偶原理即可证明。,而,不可观测的振型及相应的模式 若定理2-11,6的条件不满足,即存在,这说明 是A的属于特征值0的特征向量,它在C的核空间中,0 是不可观的模态。它对应的特征向量落在C 的核中,输出 y 不反映0对应的运动模式。,例题,2- 4 若当型动态方程 的可控性和可观测性,一、等价变换的性质,令 , ,则经等价变换后有,其中:,定理2-13:在任何等价变换之下,线性时不变系统的可控性和可观测性不变。,注:定理2-13可以推广到线性时变系统(习题(2-11)。,但,证完。,二、若当动态方程的可控性和可观测性判据,典型的若当矩阵:,0,0,0,0,-5,-5,5,5,5,5,0,0,0,0,0,0,-5,-5,5,5,5,5,0,0,当系统矩阵有重特征值时,常常可以化为若当形,这时A、 B、C的形式如下:,1. A 有m个相异的特征值1, 2 ., m ;,Ai :所有与i 对应的若当块构成的矩阵,共有 ri 块; Bi :B中与Ai 对应的的子块; Ci :C中与Ai 对应的的子块; Aij :表示Ai 的第 j 个若当块; Bij : Bi 中与Aij 对应的的子块; Cij : Ci 中与Aij 对应的的子块;,3. bLij : Bij 的最后一行;,4. c1ij :Cij的第一列。,定 理2-14 (可控、可观性判据) 若当型动态系统(2-26)可控的充分必要条件为下列矩阵行线性无关,若当型动态系统(2-26)可观测的充分必要条件为下列矩阵列线性无关 :,证明:,令Ai是ni 阶子块,只需考虑,根据PBH检验法,,行满秩,则肯定有,证完。,例题,考察系统的可控性和可观测性。,行线性无关,行线性无关,按照上述记号,可知A有二个不同的特征值1,2,特征值1对应有三个若当块,特征值2对应有两个若当块,判别可控性的行向量为,每组的行向量线性无关,满足判据的要求,故系统可控。,再来考察这个系统的可观测性。,由于 c121=0 该系统不可观测。,推论2-14: (1)若当型动态方程 (A, b) 可控的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块,且向量b 中所有与若当块最后一行相对应的元素不为零; (2)若当型动态方程 (A, c) 可观测的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块,且向量c 中所有与若当块第一列相对应的元素不为零。,利用PBH检验法,立即可知这个系统是可控的。,例215 设有两个若当型状态方程,由推论214可知,状态方程(229)可控。 方程(230)是时变的,虽然A阵具有若当型且对所有的t,b(t)的各分量非零,但并不能应用推论214来判断可控性。,事实上,由定理24,对任一固定的t0有,显然对所有tt0,矩阵 的各行线性相关,故方程(230)在任何t0均不可控。,习题2-14,用若当标准形来做比较直接。首先找出全部运动模式出现在输出中的条件(充要条件),将它与系统可观测的条件比较。为了简单,只用下例说明:,运动模式有三个:,出现在矩阵指数第一行;对应于最高阶若当块的第一行,当C的第一列为非零向量时,对恰当选取的x(0),y(t)中就包含了三个运动模式。而这一条件比要求C中一、四列线性无关的条件(即可观测)要弱。 因此,最高阶若当块对应的特征向量不在C的核中时, y(t)中就包含了这一若当块所对应的全部模式。,示意图如下:,若A阵每一个特征值只有一个若当块(即A是循环矩阵)时,模式全出现就和可观等价了。,关于值域、核与正交补,核空间:KerA=xxX Ax=0,这里, KerA是A的不变子空间,即有,X n 维线性空间 定义域,一个 mn矩阵 A可看作 n 维线性空间X到m维线性空间Y的映射,Y m 维线性空间 值域,若A是 nn 矩阵,可以看作 n 维空间到自身的线性变换, A是这一线性变换的矩阵表示。,2. 值域:ImA=yy Y 存在xX ,Ax=y dim ImA=rank A ImA是A的列向量所张成的空间。可以表示

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