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第二章 重点,注：用矩阵的初等变换可解决： 判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵的逆矩阵； 解矩阵方程； 求矩阵的秩； 求矩阵的标准形。 （矩阵的初等变换还有许多用处，见以后各章）,矩阵可逆的判别、矩阵的秩的概念、 矩阵的初等变换。,1. 逆矩阵的运算规则,(A,B皆为方阵),三、一些结论,2. n 阶方阵A可逆的充要条件,A可逆,3. 关于矩阵秩的关系式,第三、四章内容总结,一、理论发展脉络,秩、最大 无关组,线性相关,基、维数,向量组等 价讨论,基础解 系、维数,解的结构,1 向量,解线性方程组,矩阵的秩,求向量组 的秩和最 大无关组,2 矩阵,求向量空 间的基和 维数,判别向量 组的线性 相关性,求向量在 基下的坐标,解矩阵方程,求可逆矩阵的逆矩阵,2 若向量组 是向量空间V的一个基，则 V可表示为,一些概念：向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间,向量空间,1 等价的向量组所生成的向量空间相同。,一些结论,结论2表明，此时V中向量可用一个统一的式子表出。,内容 回顾,定义 称解空间S的基为方程组 AX=0 的基础解系。,结论 2 若R(A)= r , 则解空间S的维数等于 nr 。 （其中 n 为方程组中未知变量的个数）,结论 1 齐次线性方程组 AX=0 的解的全体是一个向量 空间。（记为 S，称S为解空间。）,称（*）式为齐次方程组AX=0的通解。,B,解：应填 .,03年考研题,以上命题中正确的是,练 习,例 (P94 例 2)求解方程组,解 对系数矩阵施行初等行变换变为行最简形,同解方 程组：,通解 为：,例 设A,B都是 n 阶方阵, 且AB= 0, 证明 R(A)+R(B)n,见P94例3,证 将矩阵 B 按列分块,则,由 AB = 0,即B的每一个列向量皆为方程组 AX=0 的解向量。,又若R(A)= r，则解空间S的维数：维(S)=nr。,非齐次线性方程组,设有非齐 次方程组,向量 形式,矩阵形式 AX=b 其中Amn为系数矩阵 (6),结论 对非齐次方程组(4)来说,下面四种说法等价：, 方程组（4）有解； 向量 b 能由向量组 a1, a2, ,an 线性表示； 向量组 a1, a2, ,an 与向量组 a1, a2, ,an , b 等价； 矩阵 A= (a1, a2, ,an ) 与B= (a1, a2, ,an , b)的秩相等。,通常称 A为系数矩阵，称 B= (A，b)为增广矩阵。,定理 1 非齐次方程组有解的充分必要条件为：它的系数 矩阵A与增广矩阵B的秩相等。,即 AX= b 有解 充要条件为 R(A)= R(B)。 故知 当R(A) R(B)时，方程组无解。,利用增广矩阵,方程组(4)的解的判定条件常表述为：,非齐次方程组的解的结构。,性质 2,非齐次方程的通解 = 对应齐次方程的通解 + +非齐次方程的一个特解,是对应齐次方程的基础解系，,若设,则非齐次方程 AX=b的通解可表示为,对于非齐次线性方程组,在有无穷多解时，通解为, 向量组的相关性讨论, 向量组的秩和最大无关组的讨论 求向量组的秩和最大无关组、并将其余向量用此 最大无关组线性表示。 关于矩阵秩命题的讨论 解齐次、非齐次方程组； 带有参数的非齐次方程组的解的讨论； 一些综合问题。,二、典型习题类型,1. n 阶方阵A可逆的充要条件,A可逆,三、一些结论,2. 关于矩阵秩的关系式,答 应选 C).,因为 线性相关,而 线性无关,补充例题,答 应选 D). 注意线性无关的向量组不可能由个数比它少的向量组 线性表示。,补充例题,例3,证 设有一组数,98年考研题,例4,补充例题,(1) 设非齐次方程组 AX = b，R(A) = n -1, 其中 n 是 未知数的个数，,是方程组的两个不同的解，则,方程组的通解为 。,补充例题,(2) 若线性方程组,有解,则常数 应满足条件( )。,例5,(2) 若线性方程组,有解,则常数 应满足条件( )。,解 增广矩阵,易见，方程组有解,证 由于A组、B组皆可由C 组线性表示，故有,例6 (P87第1题) 设向量组A： 的秩为 r1 ，向量组B： 的秩为 r2 ，向量组 C： 的秩为 r3，证明：,下证,当 r1=0，r2=0时，结论显然成立。,从而，,补充例题,于是C组中任一向量可由,在 r10，r20时，可不妨设：,是A组的最大无关组,是B组的最大无关组,线性表示，从而,例6 (P87第1题) 设向量组A： 的秩为 r1 ，向量组B： 的秩为 r2 ，向量组 C： 的秩为 r3，证明：,答 应选 B).,例 7,04年考研题,评点：请注意A*与A的秩之间的关系(参见P104习题7).,02年考研题,例 8,解,(A),(B),(D),例 9,02年考研题,注意: A)表示有唯一解, C)表示两两有公共解, D)表示某 方程分别与另两方程有公共解.,(A),(B),(D),抽象的线性空间与线性变换 其基本内容如下,第六章 总结,典 型 例 题,一、线性空间的判定,二、子空间的判定,三、求向量在给定基下的坐标,四、由基和过渡矩阵求另一组基,五、过渡矩阵的求法,六、线性变换的判定,七、有关线性变换的证明,八、线性变换在给定基下的矩阵,九、线性变换在不同基下的矩阵, 线性空间的定义,那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（ 或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量,简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间, 线性空间的性质, 子空间,定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭,定义, 线性空间的维数、基与坐标,定义, 基变换, 坐