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线性方程组与矩阵秩的若干问题,福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿 2008年10月,引言,矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的,它是矩阵的最重要数字特征之一。 这里,我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容: 矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用; 矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。,一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用,m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为:,线性方程组(1)的矩阵表示为:,其中,,线性方程组有解的判定定理,线性方程组(1)有解的充分必要条件是,这里, 表示矩阵 的秩。特别地,,若 ,则线性方程组(1)有唯一解; 若 ,则线性方程组(1)有无穷多解。,利用上述定理,可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。,1. 直线与直线的位置关系,设几何空间中两条直线的方程分别为,这样, 与 的位置关系取决于线性方程组,解的情况。记,则有如下结论:,(i) 与 相交,(ii) 与 重合,(iii) 与 平行,(iv) 与 异面,2. 直线与平面的位置关系,设几何空间中直线和平面的方程分别为,记,则有如下结论:,(i) 与 相交,(ii) 在 上,(iii) 与 平行,3. 三个平面的位置关系,设几何空间中三个平面的方程分别为,记,则有如下结论:,(i)三个平面有一个公共点,(ii)三个平面有一条公共直线,(iii)三个平面平行,(iv)三个平面构成三棱柱,二. 矩阵秩不等式中的一些问题,关于矩阵的秩,有两个重要的不等式.,Sylvester不等式:,设 、 、 分别是 、 、 矩阵.,Frobenius不等式:,问题: 在这两个不等式中等号成立的条件是什么?,即以下等式成立的条件分别是什么?,许多教材以习题方式给出等式成立的充分必要条件:,当且仅当齐次线性方程组 与齐,次线性方程组 同解.,利用这一结果,可以得到等式成立的充分必要条件:,当且仅当齐次线性方程组 与 齐次线性方程组 同解.,对于等式和等式,文献3、文献4均做了研究,给出等式成立的充分必要条件.,文献3的结论:,的充分必要条件是存在矩阵,和 ,使得 .,的充分必要条件是存,在矩阵 和 ,使得 . 其中, 是,的任意取定的一个满秩分解.,文献4的结论:,的充分必要条件是,对于齐次,线性方程组 的任一解 ,都存在 使得 .或,的充分必要条件是,对,于齐次方程组 的任一形如 的解,都存在 ,使,得 .,者说, 的零空间包含于 的象空间,即 .,文献5利用矩阵的广义逆,分别给出等式等式成立的充分必要条件.,引理1 对于任意适维矩阵 、 、 ,有,这里列出其主要结果:,引理2 对于任意 、 ,有,引理3 设 有n列, 有n行,则对任意 、 , 有,定理1 在Sylvester不等式中,对任意 、 , 有,为列满秩;,为行满秩;,引理4 对任意 、 ,有,定理2 在Frobenius不等式中,对任意 、 ,有,参考文献,1 陈志杰. 高等代数与解析几何M. 北京: 高等教育出版社, 2000. 2 丘维声. 高等代数(第二版) M. 北京: 高等教育出版社, 2002. 3 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记J. 武汉科技大学学报, 2004, 27(3): 322-323. 4 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius等式问题J. 孝感
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