用首次积分法求_Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确解本科毕业论文.doc

2015 年度本科生毕业论文（设计） 用首次积分法求 drinfeld-sokolov- wilson 方程的精确解 院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2011 级 学生姓名： 熊志海 学 号： 201101050163 导师及职称： 何 斌（教授） 2015 年 4 月 2015 annual graduation thesis (project) of the college undergraduate the first integral method for solving exact solutions of drinfeld- sokolov-wilson equation department: college of mathematics major: mathematics and applied mathematics grade: 2011 students name: xiong zhihai student no.: 201101050096 tutor: he bin (professor) april, 2015 毕业论文（设计）原创性声明 本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不 包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明 本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计） 的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版 和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计） 进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密 的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名： 日期： 日期： 熊志海熊志海 毕业论文（设计）答辩委员会毕业论文（设计）答辩委员会( (答辩小组答辩小组) )成员名单成员名单 姓名职称单位备注 李绍林副教授数学学院组长 何斌教授数学学院组员 刘伟讲师数学学院组员 红河学院本科毕业论文（设计） 摘要摘要 这篇文章利用首次积分法对 drinfeld-sokolov-wilson 方程进行了研究，并 借助前人某些辅助方程的研究结果得到了一些该方程在不同的参数条件下的精 确解，其中包括各种行波解、椭圆函数解、双曲函数解等，显示了运用首次积 分法求解非线性偏微分方程的有效性结合辅助方程求解所得到的结果更为丰 富，能解决一些其他学科所面临的不能解决的难题，非常具有理论价值和实用 价值因此能否求解或如何求解非线性微分方程，关系到科学研究的深入和发 展，越来越多的科学工作者在这一方面的研究都表示出了极大的兴趣论文由 四章组成：第一章主要介绍了非线性偏微分方程的研究背景、进展和研究现状， 提出了本课题的研究意义和研究内容第二章介绍了首次积分方法的思想和具 体步骤，以及补充了后人对此方法的部分完善第三章是利用首次积分方法求 解 drinfeld-sokolov-wilson 方程组并得到了方程的一些新的精确解第四章是 对本文所作的工作进行一个简单总结与展望 关键词：关键词：drinfeld-sokolov-wilson 方程；首次积分法；辅助方程；精确解 红河学院本科毕业论文（设计） abstract in this paper, we apply using the first integral method solve the drinfeld- sokolov-wilson equation, and using the result of auxiliary equation to solve the drinfeld-sokolov-wilson equation directly. under different parametric conditions, so some special exact traveling wave solutions are obtained for the equation. meanwhile, it implies the effectiveness of the fist integral method to solve the nonlinear partial differential equationgs. it is the result of combination of auxiliary equation is more abundant, can solve some of the other subjects facing cant solve the problem, very has the theory value and practical value. therefore whether or how to solve the nonlinear differential equation, with the development of scientific research, a growing number of scientific workers in this area of research have expressed great interest. the paper consists of four chapters: the first chapter mainly introduces the nonlinear partial differential equation of the research background, research progress and present situation, proposed this topic research significance and research content. the second chapter introduces the ideas and concrete steps of the first integral method, and added to the posterity to this method. the third chapter is using the first integral method for solving drinfel d - sokolov - wilson equations obtained some new exact solutions of the equations. the fourth chapter is the work of this paper made a simple summary and prospect. keywords: drinfeld-sokolov-wilson equation; the first integral method; auxiliary equation; exact solution 红河学院本科毕业论文（设计） 目录 1. 绪论.1 1.1 研究背景及意义1 1.2 非线性方程的研究现状1 1.3 本文的主要内容2 2. 首次积分法的思想和基本步骤.3 2.1 首次积分与除法定理 3 2.2 首次积分方法的步骤 4 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 6 3.1 drinfeld-sokolov-wilson 方程.6 4. 总结与展望.25 参考文献26 附录28 致谢31 红河学院本科毕业论文（设计） 1 用首次积分法求用首次积分法求 drinfeld-sokolov-wilson 方程的精确解方程的精确解 1. 绪论绪论 1.1 研究背景及意义研究背景及意义 在数学里，有一种非线性关系，那就是非线性现象越来越多科学问题的 研究，都离不开对非线性偏微分方程和非线性常微分方程的描述与研究，它广 泛应用于地球科学、生命科学、工程技术、和应用数学的众多分支当中，如流 体力学、基本粒子物理、非线性光学、地球化学、生物学等等，因此能否求解 或如何求解非线性微分方程，关系到科学研究的深入和发展，越来越多的科学 工作者在这一方面的研究都表示出了极大的兴趣 由于非线性科学研究的深入和发展，人们对非线性现象的分析，从早期的 只是从理论上对一些比较简单的非线性现象作了线性近似，到现在随着科学技 术的发展，非线性科学也得到了迅速的发展人们普遍认识到，非线性科学不 仅是出于自然科学前沿的学科，而且是一门研究非线性现象共性的交叉学科， 因此它又被誉为 20 世纪以来，继相对论和量子力学之后的第三次“科学革命” 越来越多的数学家和物理学家能够在前人的基础上不断的研究出求解非线 性方程的新方法，得到的新的精确解能够帮助他们发现新的现象，从而解决一 些相关的问题研究精确解也能作为数值分析中求近似解的基础，解决一些其 他学科所面临的不能解决的难题，因此求解非线性方程的精确解是非常具有理 论价值和使用价值的 1.2 非线性方程的研究现状非线性方程的研究现状 近年来，由于计算机的进步和发展，加快了非线性科学的发展经过多年 的研究，目前求非线性微分方程的精确解已经发展了许多方法. 如：广田提出 的双线性方法1，gardner, greene, miura 等发现的反散射法2，王明亮教授和李 志斌教授提出的齐次平衡法3， malfliet 提出的双曲正切函数法4，张鸿庆提出 以代数化思想求解微分方程的理论，闫依据双曲函数法的构造思想提出了 sine- 1. 绪论 2 cosine 方法liu 等人提出的雅克比椭圆函数展开法6，冯兆生教授运用可交换 的代数理论，基于除法定理和 hilbert 零点定理提出的首次积分方法该方法求得 了很多非线性偏微分方程大量的精确解，例如 burgers-kdv 方程7，维空1n 间中一种近似的 sine-gorden 方程8，(2+1)维 burgers-kdv 方程9， zhang 等 人在椭圆函数展开法和双曲正切函数法的基础上提出的 f-展开法10 1.3 本文的主要内容本文的主要内容 本文利用首次积分法7并结合除法定理讨论了 drinfeld-sokolov-wilson 组的 精确解，给出在首次积分中的次数为 1 和 2 两种情况下方程的行波解特别y 地，并结合参照文献14,15得到更多 drinfeld-sokolov-wilson 的行波解 论文由四章组成，第一章主要介绍了非线性偏微分方程的研究背景、进展 和研究现状，提出了本课题的研究意义和研究内容第二章介绍了首次积分方 法的思想和具体步骤，以及补充了后人对此方法的部分完善，第三章是利用首 次积分方法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程组得到了方程的一些新的精确解， 第四章是对本文所作的工作进行一个简单总结与展望 红河学院本科毕业论文（设计） 3 2.首次积分法的思想和基本步骤 4 2. 首次积分法的首次积分法的思想和基本步骤思想和基本步骤 首次积分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一个首次积分 进而求得偏微分方程的精确解16, 该方法是冯兆生于 2002 年提出7 其主要 思想是：首先作变换，将原偏微分方程（组）转化为常微分方程（组） ，然后通 过积分，并作相应的计算，将方程组转化为二阶的常微分方程，再次作变换， 将方程转化为一个常微分方程组，最后利用多项式整出原理，并借助于数学软 件求出方程组的一些精确解 2.1 首次积分与除法定理首次积分与除法定理 首次积分首次积分： 例如一阶常微分方程： (2-1), dyx dxy 将(2-1)变量分离得到 ,ydyxdx (2-2) 两边积分得 (2-3) 22 , 222 yxc 因此(2-1)的通解为 (2-4) 22 ,yxc 将原方程的任一解代入(2-4)得到恒等式 xy (2-5) 22 ,x yyxc 则(2-5)就成为原方程的一个首次积分. 以上结果很容易推广到一阶常微分方程组： (2-6) , , , 1 12 2 11 1 nn n n n yyxf dx dy yyxf dx dy yyxf dx dy 红河学院本科毕业论文（设计） 5 如果(2-6)的任何一个解使得连续可微的函数 xyxyxy n , 21 1 , jn x yy 成立，则称为方程组(2-6)的个首次积分,1,2, j cjn 1 , jnj x yycn 除法定理除法定理：设式复数域上的多项式，并且在复数域 zwqzwp,azwp, 上不可约，如果在的所有零点处都有，那么存在复数域上azwp,0,zwq 的多项式使得zwg, zwgzwpzwq, 2.2 首次积分方法的步骤首次积分方法的步骤 步骤一：设非线性偏微分方程 (2-7) , ,.0. xtxxxt p u u u uu 通过行波变换可化为下列二阶常微分方程： ,u x tuxctcr . (2-8) 0, uuuq 步骤二：引进新的独立变量此时将常微分方程(2-8)化为一阶常微, uyux 分方程组 (2-9) , ,. xy yfx y 如果在相同条件下能获得(2-9)的一个首次积分，则可直接获得它的一般 解但通常情况下，这是非常难实现的，因为对于一个给定的平面自治系统， 既没有一个系统的理论，也没有一种常规方法来获得它的一个首次积分因此 可以利用除法定理找到(2-9)的一个首次积分，它可以将(2-9)化成一阶可积的常 微分方程组，然后直接积分就可以得到原方程的精确解 步骤三：设首次积分为 (2-10)其 , 0, 0 m i i i yxayxq 中是复数域上关于的待定多项式由除法定理知在复 mixai, 2 , 1 , 0x 数域上存在多项式使得 yxxyxh, (2-11)通 ,yxqyxx d dq 过方程(2-11)可以确定多项式，从而求出的表达式在 xxxai,yxq, 通常情况下假设如有，与已知条件矛盾，直接考虑 0xai mixai0 , 0 下一种情况在文献18中，当时遇到，此时将所得结果2m 0xai 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 6 代入首次积分，依然得到了原方程的精确解本文如遇到此种情 0 0 m i i i yxa 况，借鉴了该方法 步骤四：将代入方程组，求解常微分方程就可得 0 0 m i i i yxa xy, yf x,y , 到原方程的精确解 红河学院本科毕业论文（设计） 7 3.首次积分法求解首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程方程 3.1 drinfeld-sokolov-wilson 方程方程 考虑 drinfeld-sokolov-wilson 方程： (3-1) 0, 0, tx txxxxx uvv vvuvu v 假设方程组(3-1)具有如下形式的行波解： (3-2)( , )( ), ( , )( ),u x tuv x tvxct 将(3-2)代入(3-1)得到 (3-3) 0,cuvv (3-4) (3-+ u0. x cvvuvv 3)式对积分一次，积分常数为得； 2 r (3-5)将 22 1 1 0,+, 22c r cuvruv c (3-5)代入(3-4)得到方程组(3-1)的等价方程 (3-6) 2 1 ()()0, 2 r cvvv v cc 对（3-6）再对积分一次得，并令=0 得到方程组（3-1）的等价方程 2 r （3- 3 1 1 ()(). 32 r vcvv cc 7） 令则方程(3-6)等价于,xv yv (3-8) 3 1 , 1 ()(). 32 xy r ycxx cc 假设是方程组(3-8 的非平凡解， yyxx, yxq, 是复数域中不可约多项式，满足 m i i i yxa 0 a (3-9) , 0, 0 m i i i yxayxq 其中是关于的待定多项式，则(3-9)称为(3-8)的首次 0,1,2, i aximx 积分 下面就和两种情况进行讨论1m2m 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 8 情形一 设，由(3-9)得到1m (3-10) , 0 10 yxaxa 注意到的多项式，并且必然有 根据除法定yx d dq 和是 0,yxq0. dq d 理，在复数域中存在一个多项式使得a ,h x yxx y (3-11) 01 0 , dqq dxq dy xx yaxax y dx dy d 即 yyxaxaxxayxxayxxaxxa 000 2 110 3 1 1 1 ()(), 32 r axcxx cc 比较上式两边的各次幂系数，得到y , (3-12) xxaxa 10 , (3-13) xxaxxaxa 100 (3-14) 3 1 10 1 ()(). 32 r axcxxaxx cc 由方程(3-12)可得出是常数且不失一般性，可以 xa1 0,x 1, 1 xa 从而方程(3-13)、(3-14)化为 (3-15) , 0 xxa (3-16) 3 1 0 1 ()(). 32 r cxxaxx cc 平衡的次数，可以得到的次数只能为 ，否则如果 xxa、 0 x1 由方程(3-15)推出方程(3-16)推出与 1,xm 0 1,xm 1m 矛盾类似的如果可以推出 由方程(3-16)推出矛1m 0x 0 1,x 盾 设由方程(3-15)得 ,xaxb (3-17)其 , 2 2 0 dbxx a xa 红河学院本科毕业论文（设计） 9 中是积分常数将代入方程(3-15)并取的系数为d xxa、 0 3 , 2 , 1 , 0ix i 零，得到 (3-18) 2 1 2 =0 1 2ad+b =(c+), 30, 2=(+ ), 32 bd r c ab a c ， 解方程组(3-18)，可得 (3-19) 2 11 1 0,(),(), 6 rr bdcac baccc 将(3-19)代入(3-10)式，得到方程组(3-8)的一个首次积分 (3-20) 22 1 12 a() . 2 yxcr c a 两边平方得 （3- 24 22222 11 22 1 ()() . 4 a xa ycr xcr cc 21） 利用辅助方程，通过查表一，知，当 2 42 ( ) ( )( ) df pfqfr d （3- 2 2 22 1 22 1 22 , 4 ()(1), 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 22） 时，即 ，方程（3-1）的解为 22 1 1 2 , crc akr c （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 23） 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 10 当时，解（3-23）变为1k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ), 2cc 24）当时，解（3-23）变为0k （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 25） 当 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a p a qcrk c rcrk c 26）即，方程（3-1）的解为 22 1 1 2 2 , 1 crc air c k （3- 2 1 v( )dn( ,k), r u( )dn ( ,k), 2cc 27） 且当时，解（3-27）变为1k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ), 2cc 28） 当 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()(1), 1 (), a p a qcrk c rcrk c 29） 红河学院本科毕业论文（设计） 11 即，方程（3-1）的解为 22 1 1 2, crc ar ck （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 30） 且当时，解（3-30）变为1k (3-31) 2 1 v( )coth( ), r u( )coth ( ), 2cc 当时，解（3-30）变为0k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ). 2cc 32） 当 （3- 2 2 22 1 22 1 22 1 4 ()2 1 ()1 a pk a qcrk c rcr c 33） 即，方程（3-1）的解为 22 2 1 1 21, 1 crc akr c （3- 2 1 v( )nd( ,k), r u( )nd ( ,k), 2cc 34） 且当时，解（3-34）变为1k （3- 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ). 2cc 35） 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 12 当 （3-36） 2 2 22 1 22 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 即，方程（3-1）的解为 22 2 1 1 2 1, crc akr c （3- 2 1 v( )sc( ,k), r u( )sc ( ,k), 2cc 37） 且当时，解（3-37）变为1k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 38） 当时，解（3-37）变为0k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ). 2cc 39） 当 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()2, 1 ()1, a p a qcrk c rcrk c 40） 即，方程（3-1）的解为 22 1 1 2 2, 1 crc ar ck 红河学院本科毕业论文（设计） 13 （3- 2 1 v( )cs( ,k), r u( )cs ( ,k), 2cc 41） 且当时，解（3-41）变为1k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 42） 当时，解（3-41）变为0k （3- 2 1 v( )cot( ), r u( )cot ( ). 2cc 43） 当 (3-44) 2 2 22 1 22 1 22 , 4 ()(1), 1 ()1, a pk a qcrk c rcr c 即，方程（3-1）的解为 22 1 1 2 , crc akr c （3- 2 1 v( )cd( ,k), r u( )cd ( ,k), 2cc 45） 且当时，解（3-45）变为0k （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 46） 当 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 14 （3- 2 22 1 222 1 22 1, 4 ()(1), 1 (), a p a qcrk c rcrk c 47） 即，方程（3-1）的解为 22 1 1 2, crc ar ck （3- 2 1 v( )dc( ,k), r u( )dc ( ,k), 2cc 48） 且当时，解（3-48）变为0k （3- 2 1 v( )sec( ), r u( )sec ( ). 2cc 49） 情形二 设，由(3-8)得到2m (3-50) , 0 2 210 yxayxaxa 方程(3-50)变 2 012 0 , dqq dxq dy xx yaxax yax y dx dy d 比较上式左右两边的各次幂系数得到： y 的系数: 0 y （3- 3 1 101 1 ()() ()()()(), 32 r a x yaxxa xcxx cc 51） 的系数： 1 y （3- 2 2 ()() (),axaxx 52） 2 y 的系数： 红河学院本科毕业论文（设计） 15 (3-53) 121 ()() ()() (),axaxxa xx 的系数： 3 y (3-54) 0210 ()2() () ()() ().axax ya xxaxx 由方程(3-52)可得出必为常数且，不失一般性，取 xa2 0x 1, 2 xa 第一种情形：当；时，取，代入到（3- 1( ) 0a x ( )0x 2 1ax 0x 51） （3-52） 、 （3-53） 、 （3- 54）得 （3- 1( )(),axx 55） （3- 01 ()2 () (),axya xx 56） 求得 (为常数)，将 24 1 02 1 ()()() 62 r axcxxr cc 2 r 代入（3-50）得到 012 ();();()axa xax （3- 2 42 1 2 1 ()(). 62 r yxcxr cc 57） 令，则当 1 2 1 (),(), 62 r pqcrr cc （3- 2 2 1 2 (), 62 1 ()(1), 1, ppk c r qck c rr 58） 即,方程（3-1）有解为 1 2 22 () 2 ,1 6(1) r c c r c kk 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 16 （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 59） 且当时，解（3-59）变为1k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ), 2cc 60） 当时，解（3-59）变为0k （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 61） 当 （3- 2 2 1 2 2 (), 62 1 ()21, 1, ppk c r qck c rrk 62） 即，方程（3-1）的解为 1 2 2 22 () 2 ,1 621 r c c rk c kk （3- 2 1 v( )cn( ,k), r u( )cn ( ,k), 2cc 63） 且当时，解（3-63）变为1k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ), 2cc 64） 当时，解（3-63）变为0k 红河学院本科毕业论文（设计） 17 （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 65） 当 （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()2, 1, pp c r qck c rrk 66） 即，方程（3-1）的解为 1 2 2 2 () 2 ,1 62 r c c rk ck （3- 2 1 v( )dn( ,k), r u( )dn ( ,k), 2cc 67） 且当时，解（3-67）变为1k （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ). 2cc 68） 当 （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()(1), , pp c r qck c rrk 69） 即，方程（3-1）的解为 1 2 2 2 () 2 , 6(1) r c c rk ck 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 18 （3- 2 1 v( )ns( ,k), r u( )ns ( ,k), 2cc 70） 且当时，解（3-70）变为1k (3-71) 2 1 v( )coth( ), r u( )coth ( ), 2cc 当时，解（3-70）变为0k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ). 2cc 72） 当 （3- 2 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()21, , ppk c r qck c rrk 73） 即，方程（3-1）的解为 1 2 2 22 () 2 , 6(1)21 r c c rk ckk （3- 2 1 v( )nc( ,k), r u( )nc ( ,k), 2cc 74） 且当时，解（3-74）变为1k (3-75) 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ), 2cc 当时，解（3-74）变为0k 红河学院本科毕业论文（设计） 19 （3- 2 1 v( )sech( ), r u( )sech ( ). 2cc 76） 当 （3- 2 2 1 2 ()1, 62 1 ()2, 1, ppk c r qck c rr 77） 即，方程（3-1）的解为 1 2 22 () 2 ,1 6(1)2 r c c r ckk （3-78） 2 1 v( )nd( ,k), r u( )nd ( ,k), 2cc 且当时，解（3-78）变为1k （3- 2 1 v( )cosh( ), r u( )cosh ( ). 2cc 79） 当 （3- 2 2 1 2 ()1, 62 1 ()2, 1, ppk c r qck c rr 80） 即，方程（3-1）的解为 1 2 22 () 2 ,1 6(1)2 r c c r ckk 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 20 （3- 2 1 v( )sc( ,k), r u( )sc ( ,k), 2cc 81） 且当时，解（3-81）变为1k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 82） 当时，解（3-81）变为0k （3- 2 1 v( )tan( ), r u( )tan ( ). 2cc 83） 当 （3- 22 2 1 2 ()(1), 62 1 ()21, 1, ppkk c r qck c rr 84） 即，方程（3-1）的解为 1 2 222 () 2 ,1 6(1)21 r c c r c kkk （3- 2 1 v( )sd( ,k), r u( )sd ( ,k), 2cc 85） 且当时，解（3-85）变为1k （3- 2 1 v( )sinh( ), r u( )sinh ( ), 2cc 86） 当时，解（3-85）变为0k 红河学院本科毕业论文（设计） 21 （3- 2 1 v( )sin( ), r u( )sin ( ). 2cc 87） 当 （3- 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()2, 1, pp c r qck c rrk 88） 即方程（3-1）的解为 1 2 2 2 () 2 ,1 62 r c c rk ck （3- 2 1 v( )cs( ,k), r u( )cs ( ,k), 2cc 89） 且当时，解（3-89）变为1k （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 90） 当时，解（3-89）变为0k （3- 2 1 v( )cot( ), r u( )cot ( ). 2cc 91） 当 （3- 2 2 1 2 (), 62 1 ()(1), 1, ppk c r qck c rr 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 22 92） 即，方程（3-1）的解为 1 2 22 () 2 ,1 6(1) r c c r c kk （3- 2 1 v( )cd( ,k), r u( )cd ( ,k), 2cc 93） 且当时，解（3-93）变为0k （3- 2 1 v( )cos( ), r u( )cos ( ). 2cc 94） 当 （3- 2 1 22 2 ()1, 62 1 ()21, (1), pp c r qck c rrkk 95） 即，方程（3-1）的解为 1 22 2 2 () 2 ,(1) 621 r c c rkk ck （3- 2 1 v( )ds( ,k), r u( )ds ( ,k), 2cc 96） 且当时，解（3-96）变为1k 红河学院本科毕业论文（设计） 23 （3- 2 1 v( )csch( ), r u( )csch ( ), 2cc 101） 当时，解（3-96）变为0k （3- 2 1 v( )csc( ), r u( )csc ( ). 2cc 102） 当 （3-103） 2 1 2 2 ()1, 62 1 ()(1), , pp c r qck c rrk 即，方程（3-1）的解为 1 2 2 2 () 2 , 6(1) r c c rk ck （3- 2 1 v( )dc( ,k), r u( )dc ( ,k), 2cc 104） 且当时，解（3-104）变为0k （3- 2 1 v( )sec( ), r u( )sec ( ). 2cc 105） 第二种情况，取，代入到（3-51） （3-53） （3-54）化 2 1ax 0x 简 （3- 10 () () ().ax yaxx 106） （3- 1( )().axx 107） 3.首次积分法求解 drinfeld-sokolov-wilson 方程 24