概率论参数估计习题课.pdf

第六章第六章 参数估计参数估计 习习 题题 课课 一、重点与难点一、重点与难点 三、典型例题三、典型例题 二、主要内容二、主要内容 一、重点与难点一、重点与难点 1.重点重点 最大似然估计最大似然估计. 一个正态总体参数的区间估计一个正态总体参数的区间估计. 2.难点难点 显著性水平显著性水平 与置信区间与置信区间. 矩估计量矩估计量 估 计 量 的 评 选 估 计 量 的 评 选 二、主要内容二、主要内容 最大似然估最大似然估 计量计量 最大似然估计的性质最大似然估计的性质 似 然 函 数 似 然 函 数 无偏性无偏性 正态总正态总 体均值体均值 方差的方差的 置信区置信区 间与上间与上 下限下限 有效性有效性 置信区间和上下限置信区间和上下限 求置信区间的求置信区间的 步骤步骤 相合性相合性 矩估计量矩估计量 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩, ,用样本矩的连续用样本矩的连续 函数来估计总体矩的连续函数函数来估计总体矩的连续函数, ,这种估计法称这种估计法称 为为矩估计法矩估计法. 矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法: , 2, 1,klAl l 令令 , 21 的方程组的方程组个未知参数个未知参数这是一个包含这是一个包含 k k ., 21k 解出其中解出其中 ., , , , 2121 量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量 的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解 kk 最大似然估计量最大似然估计量 )(, 21 Lxxx n 选取使似然函数选取使似然函数时时得到样本值得到样本值 , 的估计值的估计值作为未知参数作为未知参数取得最大值的取得最大值的 ).;,(max) ;,( 2121 nn xxxLxxxL 即即 )(可能的取值范围可能的取值范围是是其中其中 ),( , 21 21 n n xxx xxx 记为记为有关有关与样本值与样本值这样得到的这样得到的 ),( 21n XXX , 的最大似然估计值的最大似然估计值参数参数 . 的最大似然估计量的最大似然估计量参数参数 最大似然估计的性质最大似然估计的性质 .)() (, )();( , )( , )( 的最大似然估计的最大似然估计是是则则计计 的最大似然估的最大似然估中的参数中的参数形式已知形式已知 的概率密度函数的概率密度函数是是又设又设数数 具有单值反函具有单值反函的函数的函数设设 uuu fxf XUuu uu 似然函数似然函数 属离散型属离散型设总体设总体X. 1 ),;();,()( 1 21 n i in xpxxxLL .)(称为样本似然函数称为样本似然函数 L 属连续型属连续型设总体设总体X. 2 ),;();,()( 1 21 n i in xfxxxLL .)(称为样本的似然函数称为样本的似然函数 L 正态总体均值方差的置信区间与上下限正态总体均值方差的置信区间与上下限 . 1的置信区间的置信区间均值均值 单个正态总体单个正态总体 ,)1( 2为已知 为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 . 2/ z n X ,)2( 2为未知 为未知 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为 .)1( 2/ nt n S X 1 2 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为方差方差 . )1( )1( , )1( )1( 2 2/1 2 2 2/ 2 n Sn n Sn . 2 2 的置信区间的置信区间方差方差 , 未知未知 1的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为标准差标准差 . )1( 1 , )1( 1 2 2/1 2 2/ n Sn n Sn . 1 21 的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,)1( 2 2 2 1 均为已知均为已知和和 1 21 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 . 2 2 2 1 2 1 2/ nn zYX 两个正态总体两个正态总体 ,)2( 2 2 2 1 均为未知均为未知和和 1 21 的近似置信区间的近似置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 . 2 2 2 1 2 1 2/ n S n S zYX ,)3( 22 2 2 2 1 为未知为未知但但 1 21 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 . 11 )2( 21 212/ nn SnntYX w ., 2 )1()1( 2 21 2 22 2 11 2 www SS nn SnSn S 其中其中 . 2 2 2 2 1 的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 . , 21 为未知的情况为未知的情况仅讨论总体均值仅讨论总体均值 1 2 2 2 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 . )1, 1( 1 , )1, 1( 1 212/1 2 2 2 1 212/ 2 2 2 1 nnFS S nnFS S 正态总体均值与方差的单侧置信区间正态总体均值与方差的单侧置信区间 ,),1( nt n S X 1的置信下限的置信下限的置信水平为的置信水平为 ).1( nt n S X 1的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 , )( , 2 均为未知均为未知方差是方差是的均值是的均值是设正态总体设正态总体 X 1 2 的单侧置信区间的单侧置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 , )1( )1( , 0 2 1 2 n Sn 1 2 的单侧置信上限的单侧置信上限的置信水平为的置信水平为 . )1( )1( 2 1 2 2 n Sn 的置信区间是的置信区间是 的置信水平为的置信水平为则则为未知参数为未知参数其中其中 的分布律为的分布律为布的总体布的总体 分分它来自它来自的大样本的大样本设有一容量设有一容量 1 , 1, 0 ,)1();( , )10(,50 1 ppx pppxfXX n xx , 2 4 , 2 4 22 a acbb a acbb , 2 2/ zna 其中其中),2( 2 2/ zXnb . 2 Xnc 分布的置信区间分布的置信区间 )10( 无偏性无偏性 的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXX n , 21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体X )(的取值范围的取值范围是是 . ,) ( ,) ( ),( 21 的无偏估计量的无偏估计量是是 则称则称有有且对于任意且对于任意存在存在 的数学期望的数学期望若估计量若估计量 EE XXX n 有效性有效性 . , , , 212 1 21 有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较 的观察值在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本容量在样本容量 如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好. . ), () ( , ),( ),( 21 21 21222111 有效有效较较则称则称 若有若有的无偏估计量的无偏估计量都是都是 与与设设 DD XXXXXX nn 相合性相合性 . , ),( , ,),( 21 21 的相合估计量的相合估计量为为则称则称依概率收敛于依概率收敛于 时时当当若对于任意若对于任意 的估计量的估计量为参数为参数若若 n n XXXn XXX 置信区间和置信上限、置信下限置信区间和置信上限、置信下限 ,1),(),( ),(),( , 1),(0 , );( 2121 2121 21 nn nn n XXXXXXP XXXXXX X XX xFX 满足满足和和 确定的两个统计量确定的两个统计量 若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数 含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体 .1 , 1 , 1),( 为置信水平为置信水平上限上限区间的置信下限和置信区间的置信下限和置信 的双侧置信的双侧置信分别称为置信水平为分别称为置信水平为和和区间区间 的置信的置信的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 单侧置信区间的定义单侧置信区间的定义 ,1 , ),( , ,1)(0 21 21 P XXXX XX nn 满足满足 对于任意对于任意确定的统计量确定的统计量 若由样本若由样本对于给定值对于给定值 . 1 , 1) ,( 信下限信下限 的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间 的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 ,1 ),( 21 P XXX n 满足满足意意 对于任对于任又如果统计量又如果统计量 . 1 , 1 ), ( 信上限信上限 的单侧置的单侧置的置信水平为的置信水平为称为称为侧置信区间侧置信区间 的单的单的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤 . )( , );,( :, )1( 21 21 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参 的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数 的函数的函数寻求一个样本寻求一个样本 Z XXXZZ XXX n n .1);,( ,1 )2( 21 bXXXZaP ba n 使使 定出两个常数定出两个常数对于给定的置信水平对于给定的置信水平 .1 ),( ,),( , ),( , );,( )3( 21 21 21 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 就是就是那么那么都是统计量都是统计量 其中其中的不等式的不等式 得到等价得到等价若能从若能从 n n n XXX XXX bXXXZa 三、典型例题三、典型例题 解解 . , )10(, 21 的无偏估计量的无偏估计量并验证它是达到方差界并验证它是达到方差界 的最大似然估计量的最大似然估计量求参数求参数分布的一个样本分布的一个样本 的的是来自参数为是来自参数为设设 pp pXXX n , 1, 0,)1();( 1 xpppxf xx );()( 1 pxfpL n i i ,)1( 11 n i i n i i xnx pp )(lnpL),1ln(ln 11 pxnpx n i i n i i 例例1 p pL d )(lnd , 1 11 p xn p x n i i n i i , 0 d )(lnd p pL 由由,)1( 11 n i i n i i xnpxp得得 的最大似然估计值为的最大似然估计值为故参数故参数 p, 1 1 n i i x n p 的最大似然估计量为的最大似然估计量为参数参数 p, 1 1 XX n p n i i )()(XEpE n i i X n E 1 1 ,)( 1 1 pXE n n i i . 的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以pp , 1, 0,)1();( 1 xpppxf xx 又因为又因为 ),1ln()1(ln);(lnpxpxpxf p pxf);(ln , 1 1 p x p x 2 );(ln p pxf E 1 ,0 1 2 )1( 1 1 x xx pp p x p x p p p p 22 1 )1( )1( 1 , )1( 1 pp 都满足不等式都满足不等式 的任何一个无偏估计量的任何一个无偏估计量的参数的参数因为因为 ), ( );( 21n XXXp ppxf , )1( );(ln )( 2 n pp p pxf E n pD 的无偏估计量的无偏估计量对于参数对于参数 p, 1 1 n i i X n Xp n i i X n DpD 1 1 )( n i i XD n1 2 )( 1 )1( 1 2 ppn n ),1( 1 pp n . 偏估计量偏估计量 的无的无的达到方差界的达到方差界是总体分布参数是总体分布参数故故pXp 解解 ?)05. 0( ,0025. 0 ,7 .12 ,16,0.01 , , ),( 2 2 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定 算得算得个点个点今抽测今抽测