高中数学第一章函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值练习.docx

第2课时函数的最大(小)值课时过关能力提升基础巩固1.函数f(x)=x+1在x-1,1上的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析:f(x)=x+1在x-1,1上单调递增,f(x)max=f(1)=2.答案:D2.已知函数f(x)在-2,2上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由图象可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C3.函数y=-x2-4x+1,x-3,3的值域是()A.(-,5B.5,+)C.-20,5D.4,5解析:f(x)的图象开口向下,对称轴为x=-2,f(x)max=f(-2)=5,f(x)min=f(3)=-20.答案:C4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量单位:辆.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元解析:设在甲地销售了x辆,则在乙地销售了(15-x)辆,所获得利润为y万元,则由已知得y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30,其图象对称轴为x=192.由xN得,当x=9或10时,ymax=120万元.答案:B5.函数f(x)=4x-1,x12,1的值域是.解析:f(x)=4x-1在12,1上是增函数,则f12f(x)f(1).又f12=412-1=1,f(1)=41-1=3,故1f(x)3.答案:1,36.函数y=x-1x在x1,2上的最小值为.解析:由函数单调性的定义知y=x-1x在x1,2上为增函数.故当x=1时,函数y取最小值为0.答案:07.函数f(x)=x2+2x-3在x-2,2上的最大值为.解析:f(x)的图象开口向上,且对称轴为x=-1,故f(-2),f(2)中的一个值为最大值.又f(-2)=4-4-3=-3,f(2)=4+4-3=5,f(x)在-2,2上的最大值为5.答案:58.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.解:设一个正方形的边长为xcm,两个正方形的面积和为Scm2,则另一个正方形的边长为12-4x4=3-x(cm),0x3,则S=x2+(3-x)2=2x-322+92.当x=32时,S取最小值92,即这两个正方形面积之和的最小值为92cm2.9.已知函数f(x)=2xx+1,x-3,-2,求函数f(x)的最大值和最小值.解:设x1,x2是区间-3,-2上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x1x1+1-2x2x2+1=2x1(x2+1)-2x2(x1+1)(x1+1)(x2+1)=2(x1-x2)(x1+1)(x2+1).由于-3x1x2-2,则x1-x20,x1+10,x2+10.所以f(x1)-f(x2)0,f(x1)f(x2).所以函数f(x)=2xx+1,x-3,-2是增函数.又因为f(-2)=4,f(-3)=3,所以函数f(x)的最大值是4,最小值是3.10.已知函数f(x)=-2x-1.(1)求证:函数f(x)在2,3上是增函数;(2)求f(x)在2,3上的最大值和最小值.(1)证明设x1,x2是区间2,3上的任意两个实数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-2x1-1-2x2-1=-21x1-1-1x2-1=-2(x2-1)-(x1-1)(x1-1)(x2-1)=-2x2-x1(x1-1)(x2-1).2x10,x1-10,x2-10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)=-2x-1在2,3上是增函数.(2)解:由(1),得f(x)在2,3上的最大值是f(3)=-1,最小值是f(2)=-2.能力提升1.已知函数f(x)=2x-3,当x1时,恒有f(x)m成立,则实数m的取值范围是()A.RB.(-,-1C.-1,+)D.解析:f(x)=2x-3是增函数,当x1时,f(x)f(1)=21-3=-1,则m-1.答案:B2.函数f(x)=2x,0x1,2,1x2,3,x2的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析:当0x1时,f(x)的最大值是f(1)=2;当1x1)上的最小值是14,则b=.解析:f(x)在1,b上是减函数,f(x)在1,b上的最小值为f(b)=1b=14,b=4.答案:44.若函数f(x)=x2+bx+1的最小值是0,则实数b=.解析:f(x)是二次函数,二次项系数10,则f(x)的最小值为f-b2=b24-b22+1=0,解得b=2.答案:25.记mina,b=a,ab,b,ab.若f(x)=minx+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为.答案:66.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,最大月产量是400台.已知总收益满足函数R(x)=400x-12x2,其中x是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:台)的函数;(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少?(总收益=总成本+利润)解:(1)设月产量为x台时,利润为y元,则总成本为(20000+100x)元,所以y=R(x)-(20000+100x)=400x-12x2-20000-100x=-12x2+300x-20000,0x400.(2)由(1)得y=-12(x-300)2+25000,当x=300时,y有最大值25000,即当月产量为300台时,公司所获得利润最大,最大利润为25000元.7.求函数y=x2-2ax-1在0,2上的最值.解:y=(x-a)2-1-a2.当a0时,0,2是函数的递增区间,如图.故函数在x=