高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件课时提升作业（五）1.2.2充要条件检测（含解析）.docx

课时提升作业(五)充要条件的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设,那么“”是“tantan”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设,那么“”是“tantan”的充要条件.2.(2015北京高考)设a,b是非零向量,“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由ab=|a|b|得cos=1,=0,所以a与b同向.而ab包括同向与反向两种情况.3.设a,b是实数,则“ab”是“a2b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.当abb不一定推出a2b2,反之也不一定成立.4.(2015湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.5.(2015烟台高二检测)已知a,bR,ab0,则“a0,b0”是“a+b2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a0,b0时由基本不等式可得.当且仅当a=b时取等号.反之,当时,由有意义结合a,b0,可得a,b同号,即a0,b0或a0,b0,而当a0,b0时0,b0成立,故“a0,b0”是“”的充要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015郑州高二检测)等差数列an的首项为a,公差为d,其前n项和为Sn,则数列Sn为递增数列的充要条件是.【解题指南】若Sn为递增数列,则Sn+1Sn(nN*),据此转化求解.【解析】由Sn+1Sn(nN*)(n+1)a+dna+d(nN*)dn+a0(nN*)d0且d+a0.因此数列Sn为递增数列的充要条件是d0且d+a0.答案:d0且d+a07.(2015三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是.【解析】直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于=|m+2|=2m=-4或0.答案:m=-4或0【补偿训练】“x2-2x0”的充要条件是.【解析】x2-2x0x(x-2)0x2或x2或x2且y3”是“x+y5”的充要条件;“b2-4ac0”是“不等式ax2+bx+c2且y3时,x+y5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x2且y3”是“x+y5”的充分不必要条件;不等式解集为R的充要条件是a0且b2-4ac0,y0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.求方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件.【解析】方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根等价于解得0k,所以方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件0k.10.(2015南京师大附中高二检测)已知数列an的前n项和Sn=pn+q(p0且p1),求证:数列an为等比数列的充要条件为q=-1.【证明】充分性:当q=-1时,a1=S1=p-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且n=1时也成立.于是=p(p0且p1),即an为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因为p0且p1,所以当n2时,=p,可知等比数列an的公比为p.故=p,即p-1=p+q,解得q=-1.综上可知,q=-1是数列an为等比数列的充要条件.【误区警示】本题易弄错充分性与必要性而导致错误.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2014福建高考)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“OAB的面积为12”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】小集合推出大集合.【解析】选A.直线过定点(0,1)在圆上,不妨设其为A点,而B点也在圆上,SOAB=sinAOB=sinAOB,因此AOB必为直角,所以SOAB=的等价条件是k=1.2.(2015西安高二检测)函数f(x)=a+sinx+3cosx有零点的充要条件为()A.a2B.a-2C.-2a2D.-2a2【解析】选D.函数f(x)=a+sinx+cosx有零点方程a+sinx+cosx=0有实数根方程-a=sinx+cosx有实数根,由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60),所以-2-a2,即-2a2.【延伸探究】本题改为函数没有零点的充要条件为.【解析】函数f(x)=a+sinx+cosx有零点方程a+sinx+cosx=0有实数根方程-a=sinx+cosx有实数根.由于-a=sinx+cosx=2sin(x+60),所以-2-a2,即-2a2.所以函数f(x)=a+sinx+cosx没有零点的充要条件为a2.答案:a2二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015佛山高二检测)数列an既是等差数列又是等比数列的充要条件为.【解析】依题意,an+1-an=d,且=q(d,q为常数),对一切正整数n都成立,则qan-an=d,所以an(q-1)=d对一切正整数n都成立,故d=0,q=1,数列an为常数列.由于an=0不是等比数列,所以数列an既是等差数列又是等比数列的充要条件是数列an是非零常数列.答案:数列an为非零常数列4.(2015广州高二检测)设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m-2,2m)内有定义,且不是单调函数的充要条件是.【解析】由题意知函数f(x)=|log2x|=要使f(x)在区间(m-2,2m)内有定义且不是单调函数,则0m-212m,所以2m0且在三角形中,故B=A-B,即A=2B.必要性:若A=2B,则A-B=B,sin(A-B)=sinB,又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB.所以sin(A+B)=sinB(1+2cosA).因为A,B,C为ABC的内角,所以sin(A+B)=sinC,即sinC=sinB(1+2cosA).所以=1+2cosA=1+=,即=.化简得a2=b(b+c).所以“a2=b(b+c)”是“A=2B”的充要条件.【补偿训练】已知an为等差数列,且a1+a4=10,a1+a3=8,前n项和为Sn.求证:a1,ak,Sk+2成等比数列的充要条件是k=6.【证明】设数列an的公差为d,由题意得解得所以an=2+2(n-1)=2n,由此得Sn=n(1+n).充分性:当k=6时,a1=2,ak=a6=12,S