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文档简介

第3课时同角三角函数的基本关系 核心必知1预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P18P20的内容,回答下列问题(1)观察教材P19图1.28,图中的正弦线、余弦线各是什么?提示:正弦线是MP,余弦线为OM.(2)若P点坐标为(x,y),则sin ,cos 各为何值?sin 与cos 有什么关系?提示:sin_y,cos_x,sin2cos2x2y21.(3)若k,kZ,能否用sin 和cos 来表示tan ?如果能,试写出它们的关系式提示:能tan .2归纳总结,核心必记同角三角函数的基本关系(1)平方关系:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2cos21.(2)商数关系:同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切,即tan_.问题思考(1)对任意,都有sin2cos21成立吗?提示:是(2)对任意,都有tan 成立吗?提示:只有当k,kZ时,tan 才成立(3)对任意的角,sin22cos221是否成立?提示:成立(4)当2k,kZ时,tan 2是否成立?提示:成立课前反思(1)同角三角函数的平方关系: ;(2)同角三角函数的商数关系: ;(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件: .知识点1利用同角三角函数的基本关系求值讲一讲1(1)已知cos ,求sin 和tan .(2)已知tan 3,求下列各式的值;sin2acos2.尝试解答(1)sin21cos2122,因为cos 0,所以是第二或第三象限角,当是第二象限角时,sin ,tan ;当是第三象限角时,sin ,tan .(2)原式;原式;原式.类题通法已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin m,可以先应用公式cos 求得cos 的值,再由公式tan 求得tan 的值(2)若已知cos m,可以先应用公式sin 求得sin 的值,再由公式tan 求得tan 的值(3)已知tan m,可以求或的值,将分子分母同除以cos 或cos2,化成关于tan 的式子,从而达到求值的目的(4)对于asin2bsin cos ccos2的求值,可看成分母是1,利用1sin2cos2进行代替后分子分母同时除以cos2,得到关于tan 的式子,从而可以求值练一练1(1)已知sin ,并且是第二象限角,求cos 和tan .(2)已知tan ,且是第三象限角,求sin ,cos 的值(3)已知tan 2,求4sin23sin cos 5cos2的值解:(1)cos21sin2122,又是第二象限角,所以cos 0,cos ,tan .(2)由tan ,得sin cos ,又sin2cos21,由得cos2cos21,即cos2.又是第三象限角,故cos ,sin cos .(3)4sin23sin cos 5cos21.知识点2sin cos 与sin cos 关系的应用讲一讲2已知sin cos ,0.(1)求sin cos 的值;(2)求sin cos 的值尝试解答(1)由sin cos ,得(sin cos )2,sin22sin cos cos2,sin cos .(2)因为0,sin cos 0,所以sin 0,cos 0sin cos 0.sin cos .类题通法(1)sin cos ,sin cos ,sin cos 三个式子中,已知其中一个,可以利用平方关系求其他两个,即“知一求二”(2)求sin cos 或sin cos 的值,要注意判断它们的符号练一练2(1)若sin cos ,求tan 的值(2)已知sin cos ,且,求cos sin 的值解:(1)由已知得(sin cos )22,所以sin cos .所以tan 2.(2)(cos sin )212sin cos 12.因为,所以cos sin ,即cos sin 0,所以cos sin .知识点3三角函数式的化简与证明讲一讲3化简下列各式:(1);(2).尝试解答(1)原式1.(2)法一:原式.法二:原式.法三:原式.类题通法(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法化切为弦,减少函数名称,便于约分化简;对含根号的,应先把被开方式化为完全平方,去掉根号,为防止出错,去掉根号后首先用绝对值号表示,然后考虑正负;对含有高次的三角函数式,可借助于因式分解,或构造平方关系,以便于降幂化简(2)简单的三角恒等式的证明思路从一边开始,证明它等于另一边;证明左、右两边等于同一个式子;逐步寻找等式成立的条件,达到由繁到简练一练3求证:1.证明:1.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin cos 与sin cos 关系的应用难点是三角函数式的化简与证明2要掌握sin cos 与sin cos 之间的转换(1)(sin cos )212sin cos ;(2)(sin cos )212sin cos ;(3)(sin cos )2(sin cos )22;(4)(sin cos )2(sin cos )24sin cos .3要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用(1)利用同角三角函数的基本关系求值,见讲1;(2)sin cos 与sin cos 关系的应用,见讲2;(3)三角函数式的化简与证明的方法,见讲3.4本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin 、cos 的值时,易忽视对角所处象限的讨论,造成sin 、cos 漏解或多解的错误,如讲1的第(1)题课下能力提升(五)学业水平达标练题组1利用同角三角函数的基本关系求值1若是第二象限的角,则下列各式中成立的是()Atan Bcos Csin Dtan 解析:选B由同角三角函数的基本关系式,知tan ,故A,D错误;又因为是第二象限角,所以sin 0,cos 0,故C错误2已知角的终边经过点(6,8),则()A. B.C7 D.解析:选C由三角函数的定义可知tan ,所以7.3若cos ,是第三象限角,则sin _,tan _.解析:由sin2cos21得sin21cos212.已知是第三象限角,则sin 0,于是sin .从而tan .答案:4已知2cos23cos sin 3sin21,.求:(1)tan ;(2).解:(1)2cos23cos sin 3sin2,则1,即4tan23tan 10.解得tan 或tan 1.a,为第二象限角,tan 0,tan .(2)原式.题组2sin cos 与sin cos 关系的应用5已知是第三象限角,且sin4cos4,则sin cos 的值为()A. BC. D解析:选A由sin4cos4,得(sin2cos2)22sin2cos2.sin2cos2.是第三象限角,sin 0,cos 0,sin cos .6已知sin cos ,且0,则sin cos _.解析:由sin cos ,得sin22sin cos cos212sin cos .sin cos .(sin cos )212sin cos .sin cos 0,且00,cos 0.sin cos .答案:7已知0,且sin cos ,求sin cos ,tan 的值解:sin cos ,(sin cos )2.解得sin cos .0,且sin cos 0,sin 0,cos 0.sin cos .由得tan .题组3三角函数式的化简与证明8(1)化简:(1cos )_.(2)若为第二象限角,化简tan _.解析:(1)原式(1cos )(1cos )sin .(2)原式tan .因为为第二象限的角,所以cos 0,原式1.答案:(1)sin (2)19求证:.证明:法一:右边左边,原等式成立法二:左边,右边,左边右边,原等式成立能力提升综合练1已知sin ,则sin4cos4的值为()A B C. D.解析:选Bsin ,cos21sin21.sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos22.故选B.2若为第三象限角,则的值为()A3 B3 C1 D1解析:选B为第三象限角,原式3.3若sin sin21,则cos2cos6cos8的值为()A0 B1C1 D.解析:选B由sin sin21,得sin 1sin2cos2,cos2cos6cos8sin sin3sin4sin sin2(sin sin2)sin sin21.4若0,2),且sin cos ,则的取值范围是()A. B.C. D.解析:选B|sin |cos |sin cos ,sin 0且cos 0. 又0,2),.故选B.5已知sin ,cos (m0),则m_,tan _.解析:sin2cos21,1.得m0(舍),或m8.sin ,cos ,tan .答案:86已知,且4,则_.解析:12sin cos (sin cos )2,12sin cos (sin cos )2,|sin cos |,|sin cos |.又,sin cos 0,sin cos 0.由题意,得4,sin 2cos .答案:7证明:sin cos .证明:左边sin

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