高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集及综合应用学案（含解析）新人教版.docx

第2课时补集及综合应用学习目标1.理解全集、补集的概念(难点).2.准确翻译和使用补集符号和Venn图(重点).3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点).知识点补集的概念(1)全集：定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.记法：全集通常记作U.(2)补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA符号语言UAx|xU且xA图形语言【预习评价】(1)设集合U1，2，3，4，5，A1，2，B2，3，4，则U(AB)_.(2)已知集合A3，4，m，集合B3，4，若AB5，则实数m_.解析(1)AB1，2，3，4，U(AB)5.(2)由AB5知5A且5B，即53，4，m，故m5.答案(1)5(2)5题型一补集的基本运算【例1】(1)设集合UR，Mx|x2或x2，则UM()A.x|2x2 B.x|2x2C.x|x2 D.x|x2或x2(2)已知全集U1，2，a22a3，A1，a，UA3，则实数a_.解析(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知UMx|2x2.(2)由题意可知解得a2.答案(1)A(2)2规律方法求补集的方法(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.【训练1】(1)已知全集Ux|x3，集合Ax|34.(2)UA1，2，A0，3，0，3是方程x2mx0的两个根，m3.答案(1)x|x3或x4(2)3题型二集合交、并、补的综合运算【例2】已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB).解利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图.则UAx|x2，或3x4，UBx|x3，或2x4.所以ABx|2x2；(UA)Bx|x2，或3x4；A(UB)x|2x3.规律方法1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.2.求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分.【训练2】已知集合Sx|1x7，Ax|2x5，Bx|3x7.求：(1)(SA)(SB)；(2)S(AB)；(3)(SA)(SB)；(4)S(AB).解(1)如图所示，可得ABx|3x5，ABx|2x7，SAx|1x2或5x7，SBx|1x37.由此可得：(1)(SA)(SB)x|1x27.(2)S(AB)x|1x27.(3)(SA)(SB)x|1x3x|5x7x|1x3或5x7.(4)S(AB)x|1x3x|5x7x|1x3或5x7.互动探究题型三根据补集的运算求参数的值或范围【探究1】如果aUB，那么元素a与集合B有什么关系？“aA(UB)”意味着什么？解如果aUB，那么aB；“a(A(UB)”意味着aA且aB.【探究2】是否存在元素a，使得aA且aUA？若集合Ax|2x3，则RA是什么？解不存在a，使得aA且aUA；若Ax|23.【探究3】(1)已知集合Ax|x2ax12b0和Bx|x2axb0，满足B(UA)2，A(UB)4，UR，求实数a，b的值；(2)已知集合Ax|2a2xa，Bx|1x2，且ARB，求a的取值范围.解(1)B(UA)2，2B，但2A.A(UB)4，4A，但4B.解得a，b的值分别为，.(2)RBx|x1或x2.ARB，分A和A两种情况讨论.若A，此时有2a2a，a2.若A，则有或a1.综上所述，a的取值范围为a|a1或a2.规律方法由集合的补集求解参数的方法(1)若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.(2)若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.【训练3】设全集U2，3，a22a3，A|2a1|，2，UA5，求实数a的值.解UA5，5U，且5A.a22a35，解得a2或a4.当a2时，|2a1|35，此时A3，2，U2，3，5，符合题意.当a4时，|2a1|9，此时A9，2，U2，3，5，不满足条件UA5，故a4舍去.综上知a2.课堂达标1.设全集U1，2，3，4，5，集合A1，2，则UA()A.1，2 B.3，4，5C.1，2，3，4，5 D.解析根据补集的定义计算.U1，2，3，4，5，A1，2，UA3，4，5.答案B2.设全集UR，集合Ax|1x4，集合Bx|2x5，则A(UB)()A.x|1x2 B.x|x2C.x|x5 D.x|1x2解析UBx|x2或x5，A(UB)x|1x0，B2，1，0，1，则(RA)B()A.2，1 B.2C.1，0，1 D.0，1解析因为集合Ax|x1，所以RAx|x1，则(RA)Bx|x12，1，0，12，1.答案A4.已知全集Ux|1x5，Ax|1xa，若UAx|2x5，则a_.解析Ax|1xa，UAx|2x5，A(UA)Ux|1x5，且A(UA)，因此a2.答案25.已知全集Ux|5x3，Ax|5x1，Bx|1x1，求UA，UB，(UA)(UB).解将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，则UAx|1x3；UBx|5x1，或1x3；法一(UA)(UB)x|1x3.法二ABx|5x1，(UA)(UB)U(AB)x|1x3.课堂小结1.补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当作全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想.(3)从符号角度来看，若xU，AU，则xA和xUA二者必居其一.2.若集合中元素有无限个时，与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.3.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.4.补集的相关性质(1)A(UA)U，A(UA).(2)U(UA)A，UU，UU.(3)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB).基础过关1.若全集U0，1，2，3且UA2，则集合A的真子集共有()A.3个 B.5个C.7个 D.8个解析A0，1，3，真子集有2317(个).答案C2.已知全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A2，3，5，6，集合B1，3，4，6，7，则集合A(UB)()A.2，5 B.3，6C.2，5，6 D.2，3，5，6，8解析UB2，5，8，所以A(UB)2，5，故选A.答案A3.设集合Ax|1x4，Bx|1x3，则A(RB)等于()A.x|1x4B.x|3x4C.x|1x3D.x|1x2x|3x4解析Bx|1x3，RBx|x3，A(RB)x|1x4x|x3x|3x4.答案B4.设全集U1，2，3，4，5，6，7，8，集合A1，2，3，5，B2，4，6，则图中的阴影部分表示的集合为_.解析由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(UA)B，UA4，6，7，8，(UA)B4，6.答案4，65.已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0，若全集UR，且AUB，则a的取值范围为_.解析UBx|x2.答案a|a26.设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求：(1)AB；(2)RA；(3)R(AB).解(1)Ax|3x7，Bx|2x10，ABx|3x7.(2)全集为R，Ax|3x7，RAx|x3或x7.(3)ABx|2x10，R(AB)x|x2或x10.7.已知集合A1，3，x，B1，x2，是否存在实数x，使得B(AB)A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由.解假设存在x，使B(AB)A，BA.(1)若x23，则x1，符合题意.(2)若x2x，则x1，不符合题意.存在x1，使B(AB)A，此时A1，3，1，B1，3.能力提升8.已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N(IM)，则MN等于()A.M B.N C.I D.解析如图，因为N(IM)，所以NM，所以MNM.答案A9.设全集UR，集合Ax|x1或x3，集合Bx|kxk1，kR，且B(UA)，则()A.k3 B.2k3C.0k3 D.1k3解析Ax|x1或x3，UAx|1x3.若B(UA)，则k11或k3，即k0或k3，若B(UA)，则0k3.答案C10.已知全集U2，3，a2a1，A2，3，若UA1，则实数a的值是_.解析U2，3，a2a1，A2，3，UA1，1U，a2a11，即a2a20，解得a1或a2.答案1或211.已知集合Ax|x2ax10，Bx|x22xa0，Cx|x22ax20，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是_.解析假设三个方程均无实根，则有即解得a1，当a或a1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集，故a的取值范围为a|a或a1.答案a|a或a112.设全集UR，集合Ax|x2或x5，Bx|x2.求：(1)U(AB)；(2)记U(AB)D，Cx|2a3xa，且CDC，求a的取值范围.解(1)由题意知，Ax|x2或x5，Bx|x2，则ABx|x2或x5，又全集UR，则U(AB)x|2x5.(2)由(1)得Dx|2x5，由CDC得CD.当C时，有a1；