高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性学案.docx

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点).知识点1增函数与减函数【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知f(x)，因为f(1)f(2)，所以函数f(x)是增函数.()(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x1，x2”可以改为“存在两个自变量的值x1，x2”.()(3)若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1，3)上为增函数.()提示(1)由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量.(2)不能改为“存在两个自变量的值x1，x2”.(3)反例：f(x)知识点2函数的单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.【预习评价】(1)函数f(x)x22x3的单调减区间是_.(2)函数y|x|在区间2，1上()A.递减 B.递增C.先减后增 D.先增后减解析(1)二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x1，故其单调减区间是(，1).(2)函数y|x|的单减区间是(，0)，又2，1(，0)，所以函数y|x|在区间2，1上递减.答案(1)(，1)(2)A题型一求函数的单调区间【例1】(1)如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图象，则函数的单调递减区间是_、_，在区间_、_上是增函数.(2)画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间.(1)解析观察图象可知，yf(x)的单调区间有5，2，2，1，1，3，3，5.其中yf(x)在区间5，2，1，3上是增函数，在区间2，1，3，5上是减函数.答案2，13，55，21，3(2)解y即y函数的大致图象如图所示，单调增区间为(，1，0，1，单调减区间为1，0，1，).规律方法根据函数的图象求函数单调区间的方法(1)作出函数图象；(2)把函数图象向x轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间.【训练1】函数y的单调减区间是_.解析y的图象可由函数y的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(，1)和(1，).答案(，1)，(1，)题型二证明函数的单调性【例2】证明函数f(x)x在区间(2，)上是增函数.证明任取x1，x2(2，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2).因为2x1x2，所以x1x24，x1x240，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)x在(2，)上是增函数.规律方法利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】证明函数f(x)在(，0)上是增函数.证明设x1，x2是区间(，0)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(，0)上是增函数.题型三利用单调性解不等式【例3】已知函数yf(x)在定义域(1，1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求实数a的取值范围.解由题知解得0a，即所求a的取值范围是.规律方法利用函数的单调性解不等式的方法当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.【训练3】已知函数f(x)为定义在区间1，1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围是_.解析由题意得解得1x0，即k，故k的取值范围是.答案4.若函数f(x)是R上的减函数，且f(a1)f(2a)，则a的取值范围是_.解析由条件可知a11.答案(1，)5.证明f(x)x2x在(0，)上是增函数.证明任取x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x1)f(x2)xx1xx2(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x21).因为x1x20，所以x1x20，x1x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)x2x在(0，)上是增函数.课堂小结1.对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)x1x2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.2.单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设任意x1，x2D且x1x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论.其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了地判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号.基础过关1.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是()A.y5x B.yx22C.y D.y|x|解析选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数yx22在(0，2)上是增函数.答案B2.已知函数f(x)x24xc，则()A.f(1)cf(2) B.cf(2)f(1)f(2) D.f(1)cf(2)解析二次函数f(x)x24xc图象的对称轴为x2，且开口向上，所以在2，)上为增函数，所以f(2)f(0)cf(2).答案D3.若函数yx2(2a1)x1在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A. B.C.(3，) D.(，3解析函数yx2(2a1)x1的图象是开口向上，以直线x为对称轴的抛物线，又函数在区间(，2上是减函数，故2，解得a，故选B.答案B4.函数yx(2x)的递增区间是_.解析yx(2x)x22x，其图象开口向下，其对称轴是x1，故其递增区间是(，1.答案(，15.定义在(2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1a)f(a)，则实数a的取值范围是_.解析由题设知实数a应满足：解得ax21，x1x20，x110，x210，0，即y1y20，y1y2，y在(1，)上是增函数.7.已知f(x)(1)画出这个函数的图象；(2)求函数的单调区间.解(1)f(x)作出其图象如图所示.(2)由f(x)的图象可得，单调递减区间为：3，2，0，1)，3，6；递增区间为：2，0)，1，3.能力提升8.下列有关函数单调性的说法，不正确的是()A.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为增函数B.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为减函数C.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为增函数D.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为减函数解析若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)的增减性不确定.例如f(x)x2为R上的增函数，当g(x)x时，则f(x)g(x)2为增函数；当g(x)3x，则f(x)g(x)2x2在R上为减函数.故不能确定f(x)g(x)的单调性.答案C9.已知f(x)是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是()A. B.C. D.解析要使f(x)在(，)上为减函数，必须同时满足3个条件：g(x)(3a1)x4a在(，1)上为减函数；h(x)x1在1，)上为减函数；g(1)h(1).所以所以a.答案C10.函数f(x)在(a，)上单调递减，则a的取值范围是_.解析函数f(x)的单调减区间为(1，)，(，1)，又f(x)在(a，)上单调递减，所以a1.答案1，)11.函数yf(x)在(2，2)上为增函数，且f(2m)f(m1)，则实数m的取值范围是_.解析由题意知解得m1.答案12.利用函数单调性的定义证明f(x)在(1，1)上单调递减.证明设任意x1，x2(1，1)，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x10.又0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(1，1)上单调递减.13.(选做题)函数f(x)对任意的a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)5，解不等