高中数学第三章两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）学案.docx

31.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案tan()，分子分母同除以coscos，便可得到思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用替换tan()中的即可得到梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()，均不等于k(kZ)两角差的正切T()tan()，均不等于k(kZ)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tantantan()(1tan_tan_)tantantantantan()tan()tantan1.(2)T()的变形：tantantan()(1tan_tan_)tantantantantan()tan()tantan1.1对于任意角，总有tan() .()提示公式成立需，k，kZ.2使公式tan()有意义，只需，k(kZ)即可()提示还应使k，kZ.3若，k，kZ，则tan()tantantantantan()恒成立()4k，且k，kZ时，tan.()类型一正切公式的正用例1(1)(2017江苏)若tan，则tan_.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案解析方法一tan.6tan61tan (tan 1)，tan .方法二tan tan.(2)设tan，tan是方程x23x20的根，则tan()的值为()A3B1C1D3考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案A解析由题意知tantan3，tantan2，所以tan()3.反思与感悟(1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T中的符号规律是“分子相同、分母相反”(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧跟踪训练1已知tan2，tan()，则tan的值为_考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案3解析tantan()3.类型二正切公式的逆用与变形使用例2(1)_.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案解析原式tan(4515)tan60.(2)化简：tan23tan37tan23tan37.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简解方法一tan23tan37tan23tan37tan(2337)(1tan23tan37)tan23tan37tan60(1tan23tan37)tan23tan37.方法二tan(2337)，tan23tan37tan23tan37，tan23tan37tan23tan37.反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式tan tan tan()(1tan tan )或1tan tan .当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果跟踪训练2在ABC中，AB，且tanAtanBtanAtanB，则角C的值为()A.B.C.D.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求角答案A解析tan Atan Btan AtanBtan(AB)(1tan AtanB)(tan AtanB1)(*)若1tan AtanB0，则cosAcosBsin AsinB0，即cos(AB)0.0AB，AB与题设矛盾由(*)得tan(AB)，即tan C.又0C，C.1若tan3，tan，则tan()等于()A.BC3D3考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案A解析tan().2若tan2，则tan的值为()A.BC.D考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案A解析tan2，解得tan.3已知AB45，则(1tanA)(1tanB)的值为()A1B2C2D不确定考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案B解析(1tanA)(1tanB)1(tanAtanB)tanAtanB1tan(AB)(1tanAtanB)tanAtanB11tanAtanBtanAtanB2.4._.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案1解析原式tan(3075)tan451.5已知cos，cos，其中，都是锐角求：(1)sin()的值；(2)tan()的值考点和、差角公式的综合应用题点综合运用和、差角公式化简求值解(1)因为，都是锐角，所以sin ，sin ，所以sin()sin coscossin .(2)tan 2，tan ，所以tan()2.1公式T()的结构特征和符号规律(1)公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan与tan的和或差，分母为1与tantan的差或和(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”2应用公式T()时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，(或)的终边不能落在y轴上，即不为k(kZ)(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan1，tan，tan等特别要注意tan，tan.(3)公式的变形应用只要用到tantan，tantan时，有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路特别提醒：tantan，tantan，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型一、选择题1(2017衡水高一检测)(1tan18)(1tan27)的值是()A.B1C2D2(tan18tan27)考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案C解析(1tan18)(1tan27)1tan18tan27tan18tan271tan45(1tan18tan27)tan18tan272.2已知，则(1tan)(1tan)等于()A1B2C2D3考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案C解析(1tan)(1tan)1(tantan)tantan1tan()(1tantan)tantan11tantantantan2.3已知tan()，tan，则tan的值为()A.B.C.D.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案A解析因为()，所以tan.4(2017成都高一检测)在ABC中，若(tanBtanC)tanBtanC1，则sin2A等于()AB.CD.考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案B解析在ABC中，因为(tanBtanC)tanBtanC1，所以tan(BC)，所以BC150，所以A30，所以sin2Asin60.5A，B，C是ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x25x10的两个实数根，则ABC是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D无法确定考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案A解析tanAtanB，tanAtanB，tan(AB)，tanCtan(AB)，C为钝角，即ABC为钝角三角形6设向量a(cos，1)，b(2，sin)，若ab，则tan等于()AB.C3D3考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案B解析由ab2cossin0，得tan2.tan.7已知tanlg10a，tanlg，且，则实数a的值为()A1B.C1或D1或10考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案C解析，tan()1，tantan1tantan，即lg10alg1lg10alg，11lg10alg，lg10alg0.lg10a0或lg0.得a或a1.二、填空题8._.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案解析原式tan(7515)tan60.9已知是第四象限角，且sin，则tan_.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案解析由题意，得cos，tan.tantan.10已知tan2，则的值为_考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案解析tan2，2，解得tan .11.如图，在ABC中，ADBC，D为垂足，AD在ABC的外部，且BDCDAD236，则tanBAC_.考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案解析ADBC且BDCDAD236，tanBAD，tanCAD，tanBACtan(CADBAD).三、解答题12已知tan，tan2，求：(1)tan的值；(2)tan()的值考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值解(1)tantan.(2)tan()tan23.13已知tan，tan是方程x23x40的两根，且，求的值考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求角解由根与系数的关系得tan tan 3，tan tan 4，tan 0，tan 0，tan()，又，且tan 0，tan 0.0，0，0，.四、探究与拓展14如果tan，tan是方程x23x30两根，则_.考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切