高中数学第三章两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）学案.docx

31.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法知识点一两角和的余弦公式思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案用代换cos()coscossinsin中的便可得到梳理公式cos()coscossinsin简记符号C()使用条件，都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二两角和与差的正弦公式思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案sin()coscoscoscossinsinsincoscossin.思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案用代换，即可得sin()sincoscossin.梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S()S()公式形式sin()sincoscossinsin()sincoscossin记忆口诀：“正余余正，符号相同”1不存在角，使得cos()coscossinsin.()提示如0，cos()cos01，coscossinsin1.2任意角，都有sin()sincoscossin.()提示由两角和的正弦公式知结论正确3存在角，使sin()sincoscossin.()提示由两角差的正弦公式知不存在角，使sin()sincoscossin.4存在角，使sin()sincoscossin.()提示如0时，sin()0，sincoscossin0.类型一给角求值例1(1)(2017衡水高一检测)已知角的终边经过点(3,4)，则sin的值为()A.BC.D考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案C解析因为角的终边经过点(3,4)，则sin，cos，所以sinsincoscossin.(2)计算：sin14cos16sin76cos74.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值解原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin30.反思与感悟解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟踪训练1求值：.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案2解析原式2.类型二给值求值例2已知sin，cos，且0，求cos()考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值解0，0.又sin，cos，cos，sin.cos()sinsinsincoscossin.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解跟踪训练2已知cos，x(0，)，则sinx的值为()A.B.C.D.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案B解析由题意得x，所以sin，所以sinxsinsincoscossin.类型三辅助角公式例3(1)求值：cossin.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案解析原式22sin.(2)当函数ysinxcosx(0x2)取得最大值时，x.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案解析y2sin，0x2，x，当x，即x时，ymax2.反思与感悟一般地，对于asinbcos形式的代数式，可以提取，化为Asin(x)的形式，公式asinbcossin()(或asinbcoscos()称为辅助角公式利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值跟踪训练3sincos.考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案解析原式2222sin2sin.1sin7cos37sin83sin37的值为()ABC.D.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案B解析原式sin7cos37cos7sin37sin(30)sin30.2计算cossin的值是()A.B2C2D.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案B解析cossin222sin2sin2.3已知锐角，满足sin，cos，则.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求角答案解析，为锐角，sin，cos，cos，sin.sin()sincoscossin.又0，.4.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案解析原式sin30.5求函数f(x)sinxcos的值域考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用解f(x)sinxsinxcosxsin，故函数f(x)的值域为，1公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C()C()S()S()(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C()，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S()，S()可记为“异名相乘，符号同”(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C()，C()，S()，且公式sin()sincoscossin，角，的“地位”不同也要特别注意2应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1sin2cos2，1sin90，cos60，sin60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.一、选择题1sin20cos10cos160sin10等于()AB.CD.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案D解析sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30.2已知，sin，则sin等于()A.B.C或D考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案B解析由，得，所以cos.所以sin sin sincoscossin，故选B.3(2017江西上饶高一期末考试)已知cos()，sin，且，则sin等于()A.B.CD考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案A解析0.又cos()，sin().0，cos0，由(sincos)212sincos.可得sincos.解得sin，cos.因为coscoscoscossinsin，sinsinsincoscossin，则sinsincoscossin.6(2017安徽马鞍山模考)函数f(x)sinsin是()A周期为的偶函数B周期为2的偶函数C周期为的奇函数D周期为2的奇函数考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用答案B解析因为f(x)sinsinsinxcoscosxsinsinxcoscosxsincosx，所以函数f(x)的最小正周期为2.又f(x)cos(x)cosxf(x)，所以函数f(x)为偶函数7已知cossin，则sin的值为()AB.CD.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案C解析cossin，coscossinsinsin，cossin，即cossin，sin.sinsin.二、填空题8(2017全国)函数f(x)2cosxsinx的最大值为考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案解析f(x)2cosxsinx，设sin，cos，则f(x)sin(x)，函数f(x)2cosxsinx的最大值为.9sin15sin75的值是考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案解析sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos30.10.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式化简答案1解析原式tan451.11已知sin，则cosxcos.考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值答案1解析因为sin，所以cosxcoscosxcosxsinxcosxsinxsin1.三、解答题12已知，cos()，sin()，求sin2的值考点两角和与差的正弦公式题点利用两角和与差的正弦公式求值解因为，所以0，0，所以0.所以sin，cos()，sin(2)sin()sincos()cossin().(2)sinsin()sincos()cossin().又因为，所以.四、探究与拓展14定义运算adbc.若cos，0，则.考点两角和与差的正弦公式题点两角和与差的正弦公式的综合应用答案解析由题意，得sincoscos